Test n°3 - Intégrales et primitives

Nom :
Classe : T ES
Test n°3
Intégrales et Primitives
Note :
…/…
le 29/03/2017
Avis de l’élève
Méthodes évaluées
Connaissance du cours
Application des méthodes
Oui
Non
Avis du
professeur
Oui
Non
Cours : Compléter :
1. Soit f une fonction ……………… et ……………… sur un intervalle [a ; b] et c sa représentation
graphique dans le repère orthogonal (O ; I , J). On appelle intégrale de f entre a et b …………………
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
On la note : ………
Rb
2. Si, pour tout réel x de [a ; b] on a : f (x) = k alors : a f (x) dx = ………
3. Relation de Chasles : Quels que soient les réels a, b et c on a : …………………………………………
4. Soit f une
fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. La fonction F définie sur [a ; b] par
Rx
F (x) = a f (t) dt est dérivable sur [a ; b] et : ∀ x ∈ [a ; b], ……………
Dans ce cas, on dit que … est une primitive de …
De plus, toutes les fonctions G définies par G(x) = ………… (avec … ∈ R) sont des primitives de …
5. a) Compléter le tableau des primitives ci-dessous :
f (x)
Primitive F (x)
f (x) = k
F (x) = …………
f (x) = xn (avec n ≠ - 1)
F (x) = …………
f (x) = x2
1
F (x) = …………
1
F (x) = …………
f (x) = x
f (x) = ex
1
f (x) = px
F (x) = …………
F (x) = …………
b) Soit u une fonction dérivable sur I. Une primitive de ……… est eu.
Exercice 1 : f est la fonction définie sur R par f (x) = 2 ¡ x + 4x2 ¡ 6 e-3x
4 3
-3x
2
1) Démontre que la fonction F définie sur R par F (x) = 2x – 1
est une primitive de f .
2 x + 3 x + 2e
2) Détermine la primitive G de f qui s'annule pour x = 0.
Exercice 2 : Détermine une primitive de chacune des fonctions suivantes.
2
4
1
a) a(x) = 2x3
b) b(x) = 1 – x
c) c(x) = p2x + 2x
d) d(x) = 5 + (8 ¡ 12x)e3x ¡4x+1
2
Exercice 3 : A l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu :
1
En déduire une primitive sur ]0 ; +∞[ de f (x) = (x+1)
2 – 2x + 1
Correction du Test n°3
Cours : Compléter :
1. Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] et c sa représentation graphique dans le
repère orthogonal (O ; I , J). On appelle intégrale de f entre a et b l'aire du domaine situé entre la courbe
Rb
c, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b. On la note : a f (x) dx.
Rb
2. Si, pour tout réel x de [a ; b] on a : f (x) = k alors : a f (x) dx = k(b ¡ a)
Rc
Rc
Rb
3. Relation de Chasles : Quels que soient les réels a, b et c on a : a f (x) dx + b f (x) dx = a f (x) dx
4. Soit f une
fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. La fonction F définie sur [a ; b] par
Rx
F (x) = a f (t) dt est dérivable sur [a ; b] et : ∀ x ∈ [a ; b], F 0 (x) = f (x).
Dans ce cas, on dit que F est une primitive de f .
De plus, toutes les fonctions G définies par G(x) = F (x) + k (avec k ∈ R) sont des primitives de f .
5. a) Compléter le tableau des primitives ci-dessous :
f (x)
Primitive F (x)
f (x) = k
F (x) = kx
f (x) = xn (avec n ≠ - 1)
F (x) = n+1
xn+1
1
F (x) = x
1
F (x) = ln(x)
f (x) = x2
f (x) = x
f (x) = ex
1
f (x) = px
-1
F (x) = ex
p
F (x) = 2 x
b) Soit u une fonction dérivable sur I. Une primitive de u0 eu est eu.
Exercice 1 : f est la fonction définie sur R par f (x) = 2 ¡ x + 4x2 ¡ 6 e-3x
4 3
-3x
2
1) Démontre que la fonction F définie sur R par F (x) = 2x – 1
est une primitive de f .
2 x + 3 x + 2e
4
2
-3x
∀ x ∈ R, F 0 (x) = 2 – 1
= 2 ¡ x + 4x2 ¡ 6 e-3x = f (x)
2 £2x + 3 £3x + 2 £ (-3)e
Donc F est une primitive de f .
2) Détermine la primitive G de f qui s'annule pour x = 0.
1
4
G étant une autre primitive de f , il existe un réel k tel que : G(x) = F (x) + k = 2x – 2 x2 + 3 x3 + 2e-3x + k
G s'annule en 0 donc : G(0) = 0
1
4
2 £ 0 – 2 02 + 3 03 + 2e0 + k = 0
2+k=0
k=-2
Finalement, la seule primitive de f qui s'annule pour x = 0 est définie par :
1
4
G(x) = 2x – 2 x2 + 3 x3 + 2e-3x ¡ 2
Exercice 2 : Détermine une primitive de chacune des fonctions suivantes.
4
4
Donc : A(x) = 2 × x4 = x2
4
1
b) b(x) = 1 – x
=1–4×x
Donc : B(x) = x ¡ 4ln(x)
a) a(x) = 2x3
p
p
1
1 -1
1
p1 + 1 × 12
c) c(x) = p2x + 2x
Donc
:
=
×
+
×
=
C(x)
2
2
x
4
x – 2x
2 = 2 ×
2
x
2
x
x
2
2
d) d(x) = 5 + (8 ¡ 12x)e3x ¡4x+1 = 5 – 2(6x ¡ 4)e3x ¡4x+1 = 5 – 2u0 (x)eu(x) avec : u(x) = 3x2 ¡ 4x + 1
2
Donc : D(x) = 5x – 2eu(x) = 5x – 2e3x ¡4x+1
Exercice 3 : A l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu :
1
En déduire une primitive sur ]0 ; +∞[ de f (x) = (x+1)
2 – 2x + 1
1
1
1
2
f (x) = (x+1)2 – 2x + 1 = x2 +2x+1 – 2x + 1 = 2 × x2 +2x+1 – 2x + 1
2
A l'aide du logiciel, on sait que la dérivée de x¡1
x+1 est x2 +2x+1 .
2
On en déduit que x¡1
x+1 est une primitive de x2 +2x+1 .
x¡1
2
Ainsi : F (x) = 1
2 × x+1 – x + x