Test n°3 - Intégrales et primitives

Nom :
Classe : T ES
Test n°3
Intégrales et Primitives
le 29/03/2017
Note :
… / …
Avis de l’élève Avis du
professeur
Méthodes évaluées Oui Non Oui Non
Connaissance du cours
Application des méthodes
Cours : Compléter :
1. Soit une fonction ……………… et ……………… sur un intervalle [a ; b] et c sa représentation
graphique dans le repère orthogonal (O ; I , J). On appelle intégrale de entre a et b …………………
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
On la note : ………
2. Si, pour tout réel de [a ; b] on a : = alors : = ………
3. Relation de Chasles : Quels que soient les réels a, b et c on a : …………………………………………
4. Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. La fonction F définie sur [a ; b] par
est dérivable sur [a ; b] et : ∀ ∈ [a ; b], ……………
Dans ce cas, on dit que … est une primitive de …
De plus, toutes les fonctions définies par = ………… (avec … ∈ R) sont des primitives de …
5. a) Compléter le tableau des primitives ci-dessous :
Primitive
= = …………
= (avec ≠ - 1) = …………
= = …………
= = …………
= = …………
= = …………
b) Soit une fonction dérivable sur I. Une primitive de ……… est .
Exercice 1 : est la fonction définie sur R par =
1) Démontre que la fonction définie sur R par = – + est une primitive de .
2) Détermine la primitive de qui s'annule pour = 0.
Exercice 2 : Détermine une primitive de chacune des fonctions suivantes.
a) = b) = 1 – c) = + d) = 5 +
Exercice 3 : A l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu :
En déduire une primitive sur ]0 ; +∞[ de = –
R
b
a
f(x) dx
F(x) = R
x
a
f(t) dt
x
x
f(x)
k
f
f
f
G
G(x)
f(x)
F(x)
f(x)
k
F(x)
f(x)
x
n
F(x)
f(x)
1
x
2
F(x)
f(x)
1
x
F(x)
f(x)
e
x
F(x)
f(x)
1
px
F(x)
u
e
u
f
f(x)
G
f
x
F
F(x)
f
2x
1
2
2¡x+ 4x
2
¡6
x
2
4
3
x
3
+ 2e
-3x
e
-3x
2x
3
4
x
1
2x
2
2
px
a(x)
b(x)
c(x)
d(x)
e
3x
2
¡4x+1
(8 ¡12x)
f(x)
1
(x+1)
2
2x+ 1
n

Correction du Test n°3
Cours : Compléter :
1. Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] et c sa représentation graphique dans le
repère orthogonal (O ; I , J). On appelle intégrale de entre a et b l'aire du domaine situé entre la courbe
c, l'axe des abscisses et les droites d'équations = a et = b. On la note : .
2. Si, pour tout réel de [a ; b] on a : = alors : =
3. Relation de Chasles : Quels que soient les réels a, b et c on a : + =
4. Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. La fonction F définie sur [a ; b] par
est dérivable sur [a ; b] et : ∀ ∈ [a ; b], = .
Dans ce cas, on dit que est une primitive de .
De plus, toutes les fonctions définies par = (avec ∈ R) sont des primitives de .
5. a) Compléter le tableau des primitives ci-dessous :
Primitive
= =
= (avec ≠ - 1) =
= =
= =
= =
= =
b) Soit une fonction dérivable sur I. Une primitive de est .
Exercice 1 : est la fonction définie sur R par =
1) Démontre que la fonction définie sur R par = – + est une primitive de .
∀ ∈ R, = – + = =
Donc est une primitive de .
2) Détermine la primitive de qui s'annule pour = 0.
étant une autre primitive de , il existe un réel tel que : = = – +
s'annule en 0 donc : = 0
– + = 0
= 0
= - 2
Finalement, la seule primitive de qui s'annule pour = 0 est définie par :
= – +
Exercice 2 : Détermine une primitive de chacune des fonctions suivantes.
a) = Donc : = × =
b) = 1 – = 1 – × Donc : =
c) = + = × + × Donc : = × + × = –
d) = 5 + = 5 – = 5 – avec : =
Donc : = – = –
f
f
x
f(x)
k
R
b
a
f(x) dx
f
F(x) = R
x
a
f(t) dt
x
G
G(x)
f(x)
F(x)
f(x)
k
F(x)
f(x)
x
n
F(x)
f(x)
1
x
2
F(x)
f(x)
1
x
F(x)
f(x)
e
x
F(x)
f(x)
1
px
F(x)
u
e
u
f
f(x)
2¡x+ 4x
2
¡6
e
-3x
F
F(x)
2x
1
2
x
2
4
3
x
3
+ 2e
-3x
f
G
f
x
a(x)
2x
3
b(x)
4
x
c(x)
2
px
1
2x
2
d(x)
(8 ¡12x)
e
3x
2
¡4x+1
x
x
R
b
a
f(x) dx
k(b¡a)
R
b
a
f(x) dx
R
c
b
f(x) dx
R
c
a
f(x) dx
F
0
(x)
f(x)
F
f
F(x) + k
f
k
kx
x
n+1
n+1
-1
x
ln(x)
n
e
x
2px
u
0
e
u
x
1
2
4
3
F
0
(x)
2
£2x
£3x
2
+ 2 £(-3)e
-3x
2¡x+ 4x
2
¡6
e
-3x
f(x)
F
f
k
G
f
G(x)
F(x) + k
G
G(0)
k
f
x
G(x)
A(x)
2
x
4
4
x
4
2
4
1
x
B(x)
x¡4ln(x)
2
1
px
1
2
1
x
2
C(x)
2
2px
1
2
-1
x
4px
1
2x
2(6x¡4)
e
3x
2
¡4x+1
2u
0
(x)
e
u(x)
u(x)
3x
2
¡4x+ 1
D(x)
5x
2
e
u(x)
5x
2
e
3x
2
¡4x+1
2x
1
2
x
2
4
3
x
3
+ 2e
-3x
+k
1
2
4
3
2£0
0
2
0
3
+ 2e
0
+k
2 + k
2x
1
2
x
2
4
3
x
3
+ 2e
-3x
¡2

Exercice 3 : A l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu :
En déduire une primitive sur ]0 ; +∞[ de = –
= – = – = × –
A l'aide du logiciel, on sait que la dérivée de est .
On en déduit que est une primitive de .
Ainsi : = × –
f(x)
1
(x+1)
2
2x+ 1
f(x)
1
(x+1)
2
2x+ 1
1
x
2
+2x+1
2x+ 1
1
2
2
x
2
+2x+1
2x+ 1
2
x
2
+2x+1
x¡1
x+1
2
x
2
+2x+1
x¡1
x+1
F(x)
x¡1
x+1
1
2
x
2
+x