ENSEMBLES ET APPLICATIONS exercices

Lycée Auguste Brizeux
PCSI B
ENSEMBLES ET APPLICATIONS
exercices Exercice 1 :
Soient I un intervalle, et f une fonction dénie sur I à valeurs réelles.
Exprimer, à l'aide de quanticateurs, et avec le formalisme mathématique, les assertions suivantes :
1. la fonction f s'annule ;
2. la fonction f est identiquement nulle ;
3. la fonction f est périodique (on supposera, ici, I = R) ;
4. la fonction f n'est pas injective ;
5. la fonction f n'est pas surjective ;
6. la fonction f prend des valeurs arbitrairement grandes.
Exercice 2 :
Soit f une application dénie sur R et à valeurs réelles.
Préciser si les assertions suivantes peuvent être vériées, et, le cas échéant, ce qu'elles signient :
1. ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R | y = f (x) ;
2. ∃ y ∈ R | ∀ x ∈ R, y = f (x) ;
3. ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R | y = f (x) ;
4. ∃ x ∈ R | ∀ y ∈ R, y = f (x) ;
5. ∀ x ∈ R, ∃ M ∈ R | f (x) ≤ M ;
6. ∃ M ∈ R | ∀ x ∈ R, f (x) ≤ M .
Exercice 3 :
Voici la dénition (très formelle !) de la continuité d'une fonction f dénie sur un intervalle I en un point
x0 ∈ I :
∀ ε > 0, ∃ η > 0 | ∀ x ∈ I,
(|x − x0 | < η =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε) .
Ecrire, dans le même formalisme, l'assertion : f n'est pas continue en x0 .
Exercice 4 :
Soit n ∈ N.
Montrer l'implication : Si n2 est impair, alors n est impair .
On pourra raisonner par contraposition.
Exercice 5 :
Soit E = {a, b, c} un ensemble.
Peut-on écrire :
1. a ∈ E ;
2. a ⊂ E ;
Exercice 6 :
Résoudre l'équation
3. {a} ⊂ E ;
4. ∅ ∈ E ;
5. ∅ ⊂ E ;
√
x2 − 2x + 2 = x − 2, d'inconnue réelle x.
Exercice 7 :
Soient A et B deux parties d'un ensemble E telles que A ∪ B = A ∩ B .
Montrer que A = B .
1
Exercice 8 :
Soient A, B et C trois parties d'un ensemble E .
Montrer que A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
Exercice 9 :
Montrer les égalités suivantes :
1. R =
[
[−n, n] ;
\ 1 1
− ,
2. {0} =
.
n n
n∈N∗
n∈N
Exercice 10 :
Soit f la fonction dénie sur R par : f (x) =
2x
.
1 + x2
1. (a) Etant donnés deux réels x et x0 , montrer que f (x) = f (x0 ) si et seulement si (x − x0 )(1 − xx0 ) = 0.
(b) f est-elle injective ?
2. (a) Soit y ∈ R.
Déterminer, suivant les valeurs de y , le nombre de solutions de l'équation yx2 − 2x + y = 0,
d'inconnue x ∈ R.
(b) f est-elle surjective ?
(c) Montrer que Im(f ) = [−1, 1].
(d) Re-justier la réponse à la question 1.(b).
Exercice 11 :
2x + 1
Montrer que l'application f dénie par f (x) =
établit une bijection de R \ − 23 sur R \
3x + 2
puis expliciter sa bijection réciproque.
2
3
,
Exercice 12 :
Soit f : C −→ C dénie par f (z) = z 2 .
1. f est-elle injective ? est-elle surjective ?
2. Soit P = {z ∈ C ; Re(z) > 0}.
On note g la restriction de f à P .
Montrer que g réalise une bijection de P vers une partie de C que l'on précisera.
Exercice 13 :
Soient E et F deux parties de R, et f la fonction dénie sur E , à valeurs dans F , par f (x) = x4 .
1. Dans chacune des cas suivants, f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
(a) E = R, F = R ;
(b) E = R+ , F = R ;
(c) E = R, F = R+ ;
(d) E = R+, F = R+ .
2. On suppose ici E = F = R.
Déterminer f (R), f (R+ ), f ([1, 2]), f ([−1, 2]), f −1 (R+ ), f −1 (R∗+ ), f −1 ([1, 4]), f −1 ([−1, 4]), et f −1 ({y}),
pour y ∈ R.
Exercice 14 :
z+1
.
z−1
1. Préciser les ensembles f −1 (R), f −1 (iR) et f −1 (U).
Soit f l'application dénie sur C \ {1} par f (z) =
2. Déterminer f (U).
2
Exercice 15 :
Etudier la bijectivité de l'application :
f : [0, 2[∪]2, +∞[ −→ ] − ∞, 0]∪]1, +∞[
x2
x
7−→
2
x −4
Déterminer, le cas échéant, sa bijection réciproque.
Exercice 16 :
1. On considère l'application
f :
R2
−→
R2
(x, y) 7−→ (x + y, x − y)
f est-elle bijective ?
Si oui, déterminer sa bijection réciproque.
2. Mêmes questions avec l'application
g :
R2
−→
R2
(x, y) 7−→ (x + y, x + y)
Exercice 17 :
Soit f : N −→ Z dénie par :
n
2
f (n) =
 −n + 1
2


si n est pair
sinon
Montrer que f est bien dénie et bijective.
Exercice 18 :
1. On considère l'application
f :
N
−→
N
n 7−→ 2n
f est-elle surjective ? injective ? bijective ?
2. Mêmes questions pour l'application g : N −→ N dénie par :
g(x) =
si x est pair
x si x est impair
x
2
3. Déterminer les applications g ◦ f et f ◦ g . Sont-elles surjectives ? injectives ?
Exercice 19 :
Soient a, b et c trois réels tels que c 6= 0 et an2 +obc 6= 0.
ax + b
a
On considère l'application f dénie sur R \
par f (x) =
.
cx − a
c
1. Montrer que Im(f ) ⊂ R \
nao
.
cn o
a
2. Simplier, pour tout x ∈ R \
, l'expression f (f (x)).
c
3. Déduire de ce qui précède que f est une bijection, et préciser sa bijection réciproque.
3
Exercice 20 :
Soient E , F et G trois ensembles, f une application de E vers F et g une application de F vers G.
1. Montrer que, si g ◦ f est surjective, g est surjective.
2. Montrer que, si g ◦ f est injective, alors f est injective.
Exercice 21 :
Soient E , F et G trois ensembles, f une application de E vers F et g une application de F vers G.
1. Démontrer que, si g ◦ f est surjective et g est injective, alors f est surjective.
2. Démontrer que, si g ◦ f est injective et f est surjective, alors g est injective.
Exercice 22 :
Soient E et F deux ensembles, f ∈ A(E, F ) et g ∈ A(F, E) telles que f ◦ g ◦ f est bijective.
Montrer que f et g sont bijectives.
Exercice 23 :
Soit p une application dénie sur un ensemble E ayant pour but E lui-même, et telle que p ◦ p = p.
Montrer que, si p est injective ou surjective, alors p = Id E .
Exercice 24 :
Soient E un ensemble, et f une application dénie sur E , à valeur dans E , telle que f ◦ f ◦ f = f .
Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective.
Exercice 25 :
Soient E un ensemble et f et g deux applications dénies sur E , à valeurs dans E .
On suppose que f ◦ g ◦ f = g et g ◦ f ◦ g = f , et on suppose f injective.
1. Montrer que g est injective.
2. Soit y ∈ E . Montrer qu'il existe x ∈ E tel que f (y) = (f ◦ g ◦ f )(x).
En déduire qu'il existe x0 ∈ E vériant y = g(x0 ).
Qu'a-t-on montré concernant l'application g ?
3. Montrer que f et g sont bijectives.
Exercice 26 :
Soient E et F deux ensembles, f une application de E vers F , A ⊂ E et B ⊂ F .
Montrer que f (A ∩ f −1 (B)) = f (A) ∩ B .
4