Exercice 1

1L1 Option Mathématiques
Devoir Maison n°2
pour le mardi 7 novembre
Exercice 1 Une nouvelle notation
L'entier 1*2*3*4*... * n s'écrit n! et se lit « factorielle n ».
a) À quelle puissance figure le nombre 2 dans la décomposition en produits de
facteurs premiers de (10 !) ? de (100 !) ?
b) Par combien de zéros se termine (10 !) ? et (100 !) ?
Exercice 2 Nombres premiers jumeaux
Deux nombres premiers sont dits «jumeaux » s'ils diffèrent seulement de deux
unités : 11 et 13 sont des nombres premiers jumeaux.
a) Donner au moins trois autres exemples de nombres premiers jumeaux.
b) Si le couple (n, n +2) est constitué de nombres premiers jumeaux, montrer
que nécessairement n a pour reste 2 dans la division par 3.
c) Montrer que, toujours dans ce cas, n + 4 est nécessairement divisible par 3.
d) Quels sont alors tous les diviseurs de n2 + 2n ?
Exercice 3 Impossible problème
Alice a trois enfants et rencontre Bob, qu'elle n'a plus revu depuis longtemps. Il
lui demande l'âge de ses enfants, et elle, facétieuse, lui répond par une petite
énigme :
- Le produit de leurs âges est 72 ;
- Cela ne me suffit pas, dit-il...
− La somme de leurs âges est exactement le numéro de la maison qui est là
devant toi;
− Cela ne me suffit toujours pas, répond-il ;
− Mon aînée a peur des chiens ;
- Alors je connais leurs trois âges, dit Bob.
Saurez-vous, vous aussi, les trouver?
Exercice 4 Des diviseurs en nombre…
On rappelle la propriété suivante:
N étant un entier dont l’écriture en produit de facteurs premiers est
N=p1a*p2b*p3c*…
alors le nombre des diviseurs de N est (a+1)*(b+1)*(c+1)…
Par exemple, N=1400=23*52*7 possède (3+1)*(2+1)*(1+1)=24 diviseurs.
En utilisant ce résultat, trouver un entier N sachant que:
− N=2p*3q
− le nombre 12N possède deux fois plus de diviseurs que N.
O. WALTER http://www.chantematique.fr