Corrigé

1L1 Option Mathématiques
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Exercice 1
a) 10 !=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=2*3*22*5*2*3*7*23*32*2*5=28*34*52*7.
Le nombre 2 apparaît à la puissance 8
100 !=1*2*3*…*98*99*100
Parmi les entiers de 2 à 100, on peut distinguer les nombres qui sont :
- multiples de 26 : 64
- multiples de 25 mais pas de 26 : 32 et 96
- multiples de 24 mais pas de 25 : 16 – 48 – 80
- multiples de 23 mais pas de 24 : 8 – 24 – 40 – 56 – 72 – 88
- multiples de 22 mais pas de 23 : 4 – 12 – 20 – 28 – 36 – 44 – 52 – 60 – 68 – 76 – 84 – 92 -
100
- multiples de 2 mais pas de 22 : les pairs non déjà cités. Il y en a 50 entre 1 et 100 dont 25 déjà
cités. Il en reste donc 25.
Or les puissances de 2 contenues dans chacun de ces nombres sont multipliées dans le calcul de
100 !.
En conséquence, le nombre de facteurs 2 est égal à 1*6+2*5+3*4+6*3+13*2+25=97
La puissance de 2 dans l’écriture primaire de 100 ! est donc 297.
Pour indication, voici la valeur exacte de 100! (qui est un nombre considérable)
100!= 297*524*988129741544672714759449664977520685231957147766803785376
2810667968023095834839075329261976769165978884198811117
b) Pour qu’un entier se termine par un zéro, ce nombre doit être multiple de 10=2*5, donc il doit
contenir un facteur 2 et un facteur 5 dans son écriture primaire.
Comme 10 ! contient deux 5 et six 2, on peut constituer deux produits (2*5).
10! se termine donc par deux zéros.
Pour 100!, on procède comme pour les puissances de 2. On isole les multiples de 25 inférieurs à
100 (ils contiennent chacun deux facteurs 5) : ce sont 25 – 50 – 75 et 100.
Puis les autres multiples de 5. Ils sont au nombre de 20 – 4 = 16.
100! comporte donc 4*2+16 = 24 facteurs 5 (et au moins autant de 2).
100! se termine donc par 24 zéros.
Exercice 2
a) En parcourant la table des premiers nombres premiers, on voit les paires de nombres premiers
jumeaux:
{3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19}, {29, 31}, {41, 43}, {59, 61}, {71, 73}, {101, 103}, {107,
109}, {137, 139}, {149, 151}, {179, 181}, {191, 193}, {197, 199} etc.
Pour chacune de ces paires l’école est de deux unités.
b) Supposons que le couple (n,n+2) soit formé de nombres premiers jumeaux.
Comme n est premier, il ne peut pas être divisible par 3 sauf si n=3.
Son reste dans la division euclidienne par 3 est donc 1 ou 2. Si le reste est 1, cela signifie que
n=3q+1. Dans ce cas, n+2=3q+1+2 donc n+2=3q+3=3(q+1). Ceci signifie que n+2 est
divisible par 3, ce qui est impossible car n+2 est aussi un nombre premier.

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Conclusion: si n>3, alors n a pour reste 2 dans la division par 3.
c) n 2+2n=n (n+2). Cette écriture est l’écriture primaire de n 2+2n. Ceci montre que
les diviseurs de n 2+2n sont 1; n; n+2 et n 2+2n.
Par exemple si n=5, on a n 2+2n=5*7 qui a pour diviseurs 1;5;7;et 35.
Exercice 3
Le produit des âges est 72. Les différents produits de trois entiers donnant 72 et les sommes des âges
correspondantes sont:
Produit
des âges
Somme
des âges
Produit
des âges
Somme
des âges
Produit
des âges
Somme
des âges
1*1*72 74 1*6*12 19 2*4*9 15
1*2*36 39 1*8*9 18 2*6*6 14
1*3*24 28 2*2*18 22 3*3*8 14
1*4*18 23 2*3*12 17 3*4*6 13
Si l’ami Bob ne peut pas conclure au vu du numéro de la rue, qu’il connaît, donc, c’est parce que ce
numéro est le 14, et qu’il y a deux combinaisons possibles qui correspondent.
Sachant qu’Alice a un aîné, on peut éliminer le cas où les deux aînés seraient jumeaux: 6-6-2.
Les enfants d’Alice ont donc 8 ans et ses jumeaux 3 ans.
Exercice 4
N= 2p *3q donc N possède (p+1) (q+1) diviseurs.
12N=22*3*2p *3q =2p+2*3q+1 donc 12N possède ((p+2)+1) ((q+1)+1)=(p+3) (q+2) diviseurs.
Pour que 12N ait deux fois plus de diviseurs que N, il faut que
2*(p+1) (q+1)= (p+3) (q+2) qui équivaut à 2p*q+2p+2q+2=p*q+2p+3q+6
qui équivaut à p*q−q=4
donc à (p−1) q=4.
Comme 4=2*2 ou 1*4 alors on a soit (p−1=1 et q=4) soit (p-1=2 et q=2) soit (p-1=4 et q=1).
Ce qui donne avec p=2 et q=4, N=22*34=324
avec p=3 et q=2, N=23*32=72
avec p=5 et q=1, N=25*31=96
Les seuls entiers convenant sont donc N=72, N=96 et N=324.
On vérifiera aisément (avec le programme LISTDIV par exemple) que 72 et 96 ont chacun 12 diviseurs
et que 324 en a 15; puis que 12*72 et 12*96 ont bien 24 diviseurs et que 12*324 en a 30.