Corrigé

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Exercice 1
a) 10 !=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=2*3*22*5*2*3*7*23*32*2*5=28*34*52*7.
Le nombre 2 apparaît à la puissance 8
100 !=1*2*3*…*98*99*100
Parmi les entiers de 2 à 100, on peut distinguer les nombres qui sont :
- multiples de 26 : 64
- multiples de 25 mais pas de 26 : 32 et 96
- multiples de 24 mais pas de 25 : 16 – 48 – 80
- multiples de 23 mais pas de 24 : 8 – 24 – 40 – 56 – 72 – 88
- multiples de 22 mais pas de 23 : 4 – 12 – 20 – 28 – 36 – 44 – 52 – 60 – 68 – 76 – 84 – 92 100
- multiples de 2 mais pas de 22 : les pairs non déjà cités. Il y en a 50 entre 1 et 100 dont 25 déjà
cités. Il en reste donc 25.
Or les puissances de 2 contenues dans chacun de ces nombres sont multipliées dans le calcul de
100 !.
En conséquence, le nombre de facteurs 2 est égal à 1*6+2*5+3*4+6*3+13*2+25=97
La puissance de 2 dans l’écriture primaire de 100 ! est donc 297 .
Pour indication, voici la valeur exacte de 100! (qui est un nombre considérable)
100!= 297*524*988129741544672714759449664977520685231957147766803785376
2810667968023095834839075329261976769165978884198811117
b) Pour qu’un entier se termine par un zéro, ce nombre doit être multiple de 10=2*5, donc il doit
contenir un facteur 2 et un facteur 5 dans son écriture primaire.
Comme 10 ! contient deux 5 et six 2, on peut constituer deux produits (2*5).
10! se termine donc par deux zéros.
Pour 100!, on procède comme pour les puissances de 2. On isole les multiples de 25 inférieurs à
100 (ils contiennent chacun deux facteurs 5) : ce sont 25 – 50 – 75 et 100.
Puis les autres multiples de 5. Ils sont au nombre de 20 – 4 = 16.
100! comporte donc 4*2+16 = 24 facteurs 5 (et au moins autant de 2).
100! se termine donc par 24 zéros.
Exercice 2
a) En parcourant la table des premiers nombres premiers, on voit les paires de nombres premiers
jumeaux:
{3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19}, {29, 31}, {41, 43}, {59, 61}, {71, 73}, {101, 103}, {107,
109}, {137, 139}, {149, 151}, {179, 181}, {191, 193}, {197, 199} etc.
Pour chacune de ces paires l’école est de deux unités.
b) Supposons que le couple ( n,n+2) soit formé de nombres premiers jumeaux.
Comme n est premier, il ne peut pas être divisible par 3 sauf si n=3.
Son reste dans la division euclidienne par 3 est donc 1 ou 2. Si le reste est 1, cela signifie que
n=3q+1. Dans ce cas, n+2=3q+1+2 donc n+2=3q+3=3( q+1). Ceci signifie que n+2 est
divisible par 3, ce qui est impossible car n +2 est aussi un nombre premier.
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Conclusion: si n>3, alors n a pour reste 2 dans la division par 3.
c)
n 2+2n=n ( n+2). Cette écriture est l’écriture primaire de n 2+2n. Ceci montre que
les diviseurs de n 2+2n sont 1; n; n+2 et n 2+2n .
Par exemple si n=5, on a n 2+2n=5*7 qui a pour diviseurs 1;5;7;et 35.
Exercice 3
Le produit des âges est 72. Les différents produits de trois entiers donnant 72 et les sommes des âges
correspondantes sont:
Produit
des âges
1*1*72
1*2*36
1*3*24
1*4*18
Somme
des âges
74
39
28
23
Produit
des âges
1*6*12
1*8*9
2*2*18
2*3*12
Somme
des âges
19
18
22
17
Produit
des âges
2*4*9
2*6*6
3*3*8
3*4*6
Somme
des âges
15
14
14
13
Si l’ami Bob ne peut pas conclure au vu du numéro de la rue, qu’il connaît, donc, c’est parce que ce
numéro est le 14, et qu’il y a deux combinaisons possibles qui correspondent.
Sachant qu’Alice a un aîné, on peut éliminer le cas où les deux aînés seraient jumeaux: 6-6-2.
Les enfants d’Alice ont donc 8 ans et ses jumeaux 3 ans.
Exercice 4
N= 2p *3q donc N possède (p+1) ( q+1) diviseurs.
12N=22*3*2p *3q =2 p+2 *3 q+1 donc 12N possède ( (p+2)+1) ((q+1)+1)=(p+3) ( q+2) diviseurs.
Pour que 12N ait deux fois plus de diviseurs que N, il faut que
2* ( p+1) ( q+1)= ( p+3) ( q+2) qui équivaut à 2p*q+2p+2q+2= p*q+2p+3q+6
qui équivaut à p*q− q=4
donc à
( p−1) q=4.
Comme 4=2*2 ou 1*4 alors on a soit (p−1=1 et q=4) soit ( p-1=2 et q=2) soit ( p -1=4 et q=1).
Ce qui donne
avec p=2 et q=4,
avec p=3 et q=2,
avec p=5 et q=1,
N=22*34=324
N=23*32=72
N=25*31=96
Les seuls entiers convenant sont donc N=72, N=96 et N=324.
On vérifiera aisément (avec le programme LISTDIV par exemple) que 72 et 96 ont chacun 12 diviseurs
et que 324 en a 15; puis que 12*72 et 12*96 ont bien 24 diviseurs et que 12*324 en a 30.
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