Université Paris 8 Introduction aux Probabilités — B. Mariou & P. Guillot U.F.R. M.I.T.S.I.C. Printemps 2015 Examen partiel — 6 mai 2015 carte d’étudiant obligatoire — aucun document n’est autorisé — la calculatrice non plus interdits : électronique (téléphone, walkman, organizer,. . .), Communication , Sacs et vêtements sur la table. • N’oubliez pas nom, prénom et numéro sur chaque copie. Durée : 2h30 heures — Barème 3 4 5 12 2 12 5 Exercice 1 On dispose de deux dés, l’un jaune, l’autre bleu, tous les deux à n faces numérotées de 1 à n, et tous les deux équilibrés (chaque face à la même probabilité de sortir que toutes les autres). On lance ces deux dés. a) Quelle est la probabilité d’obtenir un score identique sur les deux dés ? b) Déduisez-en la probabilité que le dé jaune ait un score strictement supérieur au score du dé bleu. Exercice 2 Une boîte F contient deux billes noires et une bille rouge ; et une boîte P contient une bille de chaque couleur. On lance une pièce équilibrée. Puis on pioche une bille dans la boîte F si la pièce est tombée sur face, dans la boîte P si la pièce est tombée sur pile. a) Calculez la probabilité de piocher une bille rouge. b) Lorsque la bille piochée est rouge, quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur face Exercice 3 On dispose de six jetons portant respectivement les numéros 0,0,0,1,1,2. On en pioche deux au hasard. On appelle X la somme des deux numéros piochés et Y leur produit. a) Pour chacune des variables aléatoires X et Y , décrivez la loi, et calculez l’espérance et la variance. b) Décrivez la loi conjointe des deux variables X et Y c) Sont-elles indépendantes. Exercice 4 Vous avez passé un examen. L’enseignant a enfin corrigé les copies et vous annonce que la moyenne des notes est 11. Que pouvez-vous dire, alors, de la probabilité que votre note soit au moins 16 ? Exercice 5 Une urne contient 6 boules orange et 4 violettes. On pioche 2 boules sans remise. a) Quelle est la probabilité de piocher deux boules orange ? b) On pose X = 1 si les deux boules sont orange, X = 0 sinon. De quelle variable aléatoire s’agit-il ? Quelle est sa loi ? Son espérance ? c) On réitère cette expérience n fois en prenant la précaution de replacer dans l’urne les boules piochées avant de procéder à la nouvelle pioche. On pose Y = nombre de fois où on a obtenu 2 orange. De quelle variable aléatoire s’agit-il ? Donnez la formule générale de p(Y = k) et de E[Y ]. d) Calculez p(Y 6 2). Université Paris 8 Introduction aux Probabilités — B. Mariou & C. Ehrhardt U.F.R. M.I.T.S.I.C. Printemps 2014 Examen partiel — 30 avril 2014 carte d’étudiant obligatoire — aucun document n’est autorisé — calculatrice autorisée interdits : Autre électronique (téléphone, walkman, organizer,. . .), Communication , Sacs et vêtements sur la table. • N’oubliez pas nom, prénom et numéro sur chaque copie. — Durée : 3 heures — Barème 3 12 3 12 5 5 3 Exercice 1 On lance deux dés équilibrés, un jaune, un orange. On considère les événements A =“le score du dé jaune est pair” et B =“le score du dé jaune est strictement supérieur au score du dé orange”. a) Que valent p(A) et p(B) ? b) Que vaut p(A ∩ B) ? c) Déduisez-en p(A ∪ B). d) Que vaut p(A ∩ B) ? e) Que vaut pA (B) ? f) Les événements A et B sont-ils indépendants ? Exercice 2 Du 16 au 18 avril 1917, une offensive française au Chemin des Dames fit des dizaines de milliers de morts. Cette tuerie fut une des causes des mutineries de mai et juin 1917. Les données de l’exercice ne prétendent pas être conformes à la réalité historique. On estime que 5% des soldats sont des officiers. La probabilité de survivre à une année de guerre dans les tranchées est de 90% pour un officier, et de 60% pour un non officier. a) Quelle et la probabilité, pour un soldat choisi au hasard, de survivre après une année de guerre des tranchées ? b) Si un soldat survit une année, quelle est la probabilité que ce soit un officier ? c) Quelle est la probabilité, pour un soldat, de survivre à deux années de guerre dans les tranchées ? Exercice 3 On tire sans remise trois boules dans une urne qui en contient 2 rouges et 4 noires. On appelle X le nombre de boules rouges piochées et Y le rang de la première boule noire tirée. a) Décrivez l’arbre pondéré des possibilités de cette expérience (l’information à retenir de chaque pioche est seulement la couleur de la boule). b) Calculez la loi de X. Puis son espérance et sa variance. c) Calculez la loi de Y . d) Calculez la loi conjointe de X et Y . Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes ? Exercice 4 On dispose de trois lots identiques de 4 billes : 1 verte et 3 rouges. Dans chaque lot i (= 1, 2 ou 3), on pioche une bille au hasard. Et on appelle Wi le nombre de bille verte ainsi piochée dans le lot i ; et V le nombre total de billes vertes piochées. a) Comment s’appelle la variable aléatoire Wi et quel est son paramètre ? b) Quel est le lien entre V, W1 , W2 et W3 ? Déduisez-en l’espérance de V . c) Expliquez pourquoi les Wi sont indépendantes. Déduisez-en la variance de V . d) Comment s’appelle la loi de la variable aléatoire V et quels sont ses paramètres ? e) Calculez explicitement la loi de V . Quelle est sa médiane ? Exercice 5 Soit X une variable aléatoire positive et soit un réel a > 0. On définit la variable aléatoire Y de la façon suivante Y = a si a 6 X 0 si 0 6 X < a. a) Considérez X − Y pour prouver que E[X] > E[Y ]. b) Montrez que E[Y ] = a · p(a 6 X). c) Déduisez-en une inégalité liant E[X], a et p(a 6 X). Comment appelle-t-on habituellement cette inégalité ? d) La note d’un étudiant à cet examen est une variable aléatoire d’espérance 10. Donnez une majoration de la probabilité, pour cet étudiant, d’avoir au moins 15 à l’examen ? Corrigé du partiel du 30 avril 2014 a) L’événement A ne concerne que le dé jaune. On est en situation d’équiprobabilité donc, |{2; 4; 6}| # scores réalisant A = = 3/6 = 1/2. selon la formule de Laplace, p(A) = # total de scores possibles |{1; 2; 3; 4; 5; 6}| |{(a, b)|1 6 b < a 6 a}| De même pour B, l’équiprobabilité entre les 36 résultats possibles donne p(B) = . 36 Et on peut compter les tirages favorables : (6, 1) . . . (6, 5) (5, 1) . . . (5, 4) (4, 1) . . . (4, 3) (3, 1)(3, 2) (2, 1). Exercice 1 | {z 5 }| {z 4 }| {z 3 }| {z 2 } | {z } 1 Donc p(B) = 15/36 = 5/12. Variante pour p(B). Dans le cas où les deux scores ne sont pas égaux, il est aussi probable que ce soit le dé orange ou que ce soit le dé jaune qui a le score strictement supérieur à l’autre. Ainsi si on pose E =“les deux scores sont égaux”, on a p(B) = 21 p(E). On a p(E) = p(“obtenir un double”) = /1 6. Et donc p(E) = 5/6. Donc p(B) = 1/2 × 5/6. b) On peut, ici aussi, compter les tirages favorables à A ∩ B : (6, 5) (6, 4) (6, 3) (6, 2) (6, 1) (4, 3) (4, 2) |A ∩ B| (4, 1) (2, 1). Formule de Laplace p(A ∩ B) = = 9/36 = 1/4. |Ω| c) On a toujours p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B) (formule de Poincaré). 1 5 1 6+5−3 Donc p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = + − = = 2/3. 2 12 4 12 d) On a A ∩ B = A ∪ B (loi de De Morgan). Donc p(A ∩ B) = p(A ∪ B) = 1 − p(A ∪ B) = 1/3. p(A ∩ B) 1/4 e) Par définition pA (B) = donc pA (B) = 1/2 = 1/2. p(A) f) On a p(A) × p(B) = 1/2 × 5/12 = 5/24 6= 1/4 = p(A ∩ B). Donc A et B ne sont pas des événements indépendants. Exercice 2 Posons S =“le soldat survit une année” et O =“le soldat est un officier”. On a, dans l’énoncé, les données suivantes : p(O) = 0, 05, pO (S) = 0, 9 et pO (S) = 0, 6. 1 9 19 6 a) On cherche p(S). Formule des probabilités totales : p(S) = p(O)pO (S)+p(O)pO (S) = 20 × 10 + 20 × 10 = 123 = 0, 615 = 61, 5%. 200 p(O)pO (S) 1/20 × 9/10 9/200 b) On cherche pS (O). Formule de Bayes : pS (O) = = = = p(S) 123/200 p(O)pO (S) + p(O)pO (S) 9/123 = 3/41 ' 7, 3%. c) On appelle S2 l’événement “le soldat survit à deux années dans les tranchées”. D’après l’énoncé, un officier a une probabilité 0, 9 × 0, 9 de survivre deux ans : pO (S2) = (0, 9)2 = 81%. Et pour un non officier : 1 81 36 765 pO (S2) = (0, 6)2 = 36%. Alors p(S2) = p(O)pO (S2) + p(O)pO (S2) = 20 × 100 + 19 × 100 = 2000 = 38, 25%. 20 Exercice 3 a) La seule subtilité de l’arbre est le fait qu’après avoir pioché deux boules rouges, on pioche obligatoirement une noire : l’arbre est binaire mais n’est pas complet (7 branches au lieu de 8). 1/5 R —— N 2/30 = 1/15 / / /R / 2/6 / / \ \ \ \ 4/6 N \ \N 4/5 /R \ 3/4 N 8/120 = 1/15 /R \ 3/4 N 8/120 = 1/15 1/4 1/4 /R / 2/5 \ \N 24/120 = 3/15 24/120 = 3/15 b) La variable X peut prendre les valeurs 0, 1, 2. On peut calculer sa loi grâce à l’arbre ou en dénombrant (équiprobabilité, formule de Laplace). p(X = 0) = C43 /C63 = 4/20 = 1/5 = p(N N N ) p(X = 1) = C21 × C42 /C63 = 2 × 6/20 = 3/5 = p(RN N, N RN, N N R) p(X = 2) = C22 × C41 /C63 = 4/20 = 1/5 = p(RRN, RN R, N RR) Alors E[X] = 51 × 0 + 35 × 1 + 15 × 2 = 1. Et E[X 2 ] = 51 × 0 + 35 × 1 + 15 × 4 = 7/5. Donc var(X) = E[X 2 ] − E[X]2 = 2/5. c) De même, on peut calculer la loi de Y à l’aide de l’arbre ou en calculant avec les probabilités conditionnées. La variable Y peut prendre les valeurs 1, 2, 3. / R 24/120 = 3/15 \ 2/4 N 24/120 = 3/15 ere p(Y = 1) = p(“1 boule piochée est noire”) = 4/6. p(Y = 2) = p(“1ere rouge & 2e noire”) = p(“1ere rouge”) × p“1ere rouge” (“2e noire”) = 2/6 × 4/5 = 8/30. p(Y = 3) = p(RRN ) = 1/15. Donc i 1 2 3 3/5 2/4 p(Y = i) 10/15 4/15 1/15 Université Paris 8 U.F.R. M.I.T.S.I.C. Introduction aux probabilités — Mariou & Guillot Licence Informatique — Printemps 2015 Examen final — 26 mai 2015 carte d’étudiant obligatoire — aucun document n’est autorisé — calculatrice autorisée interdits : Autre électronique (téléphone, walkman, organizer,. . .), Communication , Sacs et vêtements sur la table. Indiquez vos nom, prénom et numéro sur chaque copie. — Durée : 2h30 — Barème : Exercice 1 Soit une expérience aléatoire d’ensemble fondamental Ω et soit F la tribu des événements (parmi lesquels on trouve les sous-ensembles finis de Ω, par exemple). a) Rappelez les trois axiomes de Kolmogorov demandés à une application p : F → IR pour dire qu’elle est une loi de probabilité. b) Soit p0 : F → IR, la fonction constamment nulle. Lesquels des axiomes satisfait-elle ? Est-ce une loi de probabilité ? (Justifiez vos réponses.) c) Mêmes questions pour p1 : F → IR, la fonction qui vaut constamment 1. Exercice 2 Les biscuits Choco BM offrent une image dans chaque paquet. Blaise espère pouvoir réunir les cinq images de la collection. a) Si Blaise a déjà i image(s) (i entier entre 0 et 4), on appelle pi la probabilité qu’il a d’obtenir, au prochain paquet acheté, une image qu’il ne possède pas encore. Calculez pi (en supposant qu’il y autant de paquets en vente comportant chacune des cinq images). b) Lorsque Blaise possède i image(s), on appelle Ni le nombre de paquets qu’il achètera afin d’obtenir sa i+1-ème image. Quelle est la loi de la variable aléatoire Ni ? Quelle est son espérance ? c) Combien de paquets, en moyenne, Blaise devra-t-il acheter pour obtenir la collection complète des cinq images ? Exercice 3 Le nombre C de carpes prises par Siméon pendant le concours de pêche suit une loi de Poisson. La probabilité qu’il prenne au moins une carpe est d’environ 94%. a) Quel est le paramètre de la loi de C ? Quelle est l’espérance de C ? b) Quelle est la probabilité que Siméon prenne au moins deux carpes durant le concours ? c) Le concours dure 4 heures. Quelle est la probabilité que Siméon prenne au moins une carpe durant la première heure ? Exercice 4 Soit X une variable aléatoire normale d’espérance 9,9 et de variance 9. Quelle est la probabilité que X soit plus grand que 12 ? z p(0 < Z < z) Extrait de la table de la variable normale centrée réduite Z 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 000 0, 040 0, 079 0, 118 0, 155 0, 192 0, 226 0, 258 0, 8 0, 288 0, 9 0, 316 Exercice 5 Deux lois ”sans mémoire”. a) Loi discrète. Soit X une variable aléatoire géométrique de paramètres p. Montrez que si n et k sont deux entiers naturels, on a pX>n (X > n + k) = p(X > k). b) Loi continue. Soit Y une variable aléatoire dite exponentielle de paramètre λ, réel positif. La fonction de répartition cumulative de Y est donnée par FY (a) = 1 − e−λa , pour tout réel a. Montrez que pour tout a réel et d réel > 0, on a pY >a (Y > a + d) = p(Y > d). Quelle est la fonction de densité de la variable Y ? Université Paris 8 U.F.R. M.I.T.S.I.C. Introduction aux probabilités — Mariou & Ehrhardt Licence Informatique — Printemps 2014 Examen final — 26 mai 2014 carte d’étudiant obligatoire — aucun document n’est autorisé — calculatrice autorisée interdits : Autre électronique (téléphone, walkman, organizer,. . .), Communication , Sacs et vêtements sur la table. Indiquez vos nom, prénom et numéro sur chaque copie. — Durée : 3h — Barème : 2 2 5 3 4 5 Exercice 1 Une urne contient trois boules vertes. Combien de boules rouges doit-on ajouter pour que, lorsqu’on pioche au hasard et simultanément deux boules dans l’urne, on ait autant de chances de piocher deux boules de même couleur que de piocher deux boules de couleurs différentes ? (Justifiez.) Exercice 2 Deux soirs sur trois, Charles mange chez Mac Crado ; les autres soirs il mange chez Berk Chicken. Charles a l’estomac fragile et il a du mal à digérer dans 10% des cas en sortant de chez Mac Crado et dans 15% des cas en revenant de chez Berk Chicken. La nuit dernière, Charles a eu des problèmes digestifs. Quelle est la probabilité qu’il ait dîné chez Mac Crado ? Exercice 3 Un jeu de société propose de simuler des courses de rallye automobile : chaque joueur choisit une trajectoire avec des risques plus ou moins élevés et des jets de dés indiquent si la voiture sort de la route. Sur un parcours A, la trajectoire la plus rapide présente un risque de sortie de route de 95%. a) Il y a 30 participants qui tentent la trajectoire la plus rapide. On note X le nombre de ces joueurs qui finissent le parcours sans sortie de route. Quelle est la loi de la variable aléatoire X et quels sont ses paramètres ? (Justifiez.) Combien de joueurs, en moyenne, réussissent la trajectoire rapide sans sortie de route ? b) Par quelle loi, dont les valeurs sont plus faciles à calculer, peut-on approcher la loi de X ? Utilisez-la pour trouver une approximation de p(X = 0), p(X = 1), p(X = 2) et p(X > 3). c) On passe à un parcours B, plus court et moins sinueux. La probabilité de réussir la trajectoire parfaite est de 20%. Il y a maintenant 100 joueurs qui tentent cette trajectoire. Soit Y le nombre de ces joueurs qui réussissent. Quelle est l’espérance de Y ? Quelle loi permet d’approcher la loi de Y ? Indiquez la démarche à suivre pour calculer p(16 6 Y 6 24). Exercice 4 a) Soit une expérience aléatoire d’ensemble de résultats possibles Ω et soit F une famille d’événements sur Ω. Rappelez les axiomes d’une loi de probabilité sur l’espace probabilisable (Ω, F). b) Supposons qu’on répète l’expérience aléatoire N fois, et que pour tout événement E, on appelle n(E) le nombre de fois que l’événement E a été réalisé au cours de ces N répétitions. On pose alors, pour tout événement E, f (E) = n(E) N . Montrez que f satisfait les axiomes d’une loi de probabilité. Exercice 5 On considère la fonction f : t 7→ αt2 si t ∈ [0; 1] ; et 0 sinon. a) Pour quelle valeur de α, f est-elle une fonction de densité de probabilité ? Dans ce cas, on appelle X la variable aléatoire de densité de probabilité f . b) On appelle F la fonction de répartition (cumulative) de la variable aléatoire X définie par F (a) = p(X 6 a), pour tout réel a. Calculez ce que vaut F (a). c) Que vaut p( 21 6 X 6 1) ? d) Calculez l’espérance µ de X. Puis calculez sa médiane m (telle que F (m) = 21 ). e) Représentez la situation graphiquement : graphe de f , p( 12 6 X 6 1), µ, m, ...