Examen partiel — 6 mai 2015 - UFR 6

Université Paris 8 Introduction aux Probabilités — B. Mariou & P. Guillot
U.F.R. M.I.T.S.I.C. Printemps 2015
Examen partiel — 6 mai 2015
carte d’étudiant obligatoire —aucun document n’est autorisé —la calculatrice non plus
interdits : électronique (téléphone, walkman, organizer,. . .), Communication , Sacs et vêtements sur la table.
•N’oubliez pas nom, prénom et numéro sur chaque copie.
Durée : 2h30 heures — Barème 3 4 51
221 25
Exercice 1 On dispose de deux dés, l’un jaune, l’autre bleu, tous les deux à nfaces numérotées de 1à
n, et tous les deux équilibrés (chaque face à la même probabilité de sortir que toutes les autres).
On lance ces deux dés.
a) Quelle est la probabilité d’obtenir un score identique sur les deux dés ?
b) Déduisez-en la probabilité que le dé jaune ait un score strictement supérieur au score du dé bleu.
Exercice 2 Une boîte Fcontient deux billes noires et une bille rouge ; et une boîte Pcontient une bille
de chaque couleur.
On lance une pièce équilibrée. Puis on pioche une bille dans la boîte Fsi la pièce est tombée sur face, dans
la boîte Psi la pièce est tombée sur pile.
a) Calculez la probabilité de piocher une bille rouge.
b) Lorsque la bille piochée est rouge, quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur face
Exercice 3 On dispose de six jetons portant respectivement les numéros 0,0,0,1,1,2. On en pioche deux
au hasard. On appelle Xla somme des deux numéros piochés et Yleur produit.
a) Pour chacune des variables aléatoires Xet Y, décrivez la loi, et calculez l’espérance et la variance.
b) Décrivez la loi conjointe des deux variables Xet Y
c) Sont-elles indépendantes.
Exercice 4 Vous avez passé un examen. L’enseignant a enfin corrigé les copies et vous annonce que la
moyenne des notes est 11. Que pouvez-vous dire, alors, de la probabilité que votre note soit au moins 16 ?
Exercice 5 Une urne contient 6 boules orange et 4 violettes. On pioche 2 boules sans remise.
a) Quelle est la probabilité de piocher deux boules orange ?
b) On pose X= 1 si les deux boules sont orange, X= 0 sinon. De quelle variable aléatoire s’agit-il ? Quelle
est sa loi ? Son espérance ?
c) On réitère cette expérience nfois en prenant la précaution de replacer dans l’urne les boules piochées
avant de procéder à la nouvelle pioche. On pose Y=nombre de fois où on a obtenu 2 orange. De quelle
variable aléatoire s’agit-il ? Donnez la formule générale de p(Y=k)et de E[Y].
d) Calculez p(Y62).

Université Paris 8 Introduction aux Probabilités — B. Mariou & C. Ehrhardt
U.F.R. M.I.T.S.I.C. Printemps 2014
Examen partiel — 30 avril 2014
carte d’étudiant obligatoire —aucun document n’est autorisé —calculatrice autorisée
interdits : Autre électronique (téléphone, walkman, organizer,. . .), Communication , Sacs et vêtements sur la table.
•N’oubliez pas nom, prénom et numéro sur chaque copie. — Durée : 3 heures — Barème 31
231 25 5 3
Exercice 1 On lance deux dés équilibrés, un jaune, un orange. On considère les événements A=“le
score du dé jaune est pair” et B=“le score du dé jaune est strictement supérieur au score du dé orange”.
a) Que valent p(A)et p(B)?
b) Que vaut p(A∩B)?
c) Déduisez-en p(A∪B).
d) Que vaut p(A∩B)?
e) Que vaut pA(B)?
f) Les événements Aet Bsont-ils indépendants ?
Exercice 2 Du 16 au 18 avril 1917, une offensive française au Chemin des Dames fit des dizaines de
milliers de morts. Cette tuerie fut une des causes des mutineries de mai et juin 1917.
Les données de l’exercice ne prétendent pas être conformes à la réalité historique.
On estime que 5% des soldats sont des officiers. La probabilité de survivre à une année de guerre dans les
tranchées est de 90% pour un officier, et de 60% pour un non officier.
a) Quelle et la probabilité, pour un soldat choisi au hasard, de survivre après une année de guerre des
tranchées ?
b) Si un soldat survit une année, quelle est la probabilité que ce soit un officier ?
c) Quelle est la probabilité, pour un soldat, de survivre à deux années de guerre dans les tranchées ?
Exercice 3 On tire sans remise trois boules dans une urne qui en contient 2 rouges et 4 noires. On
appelle Xle nombre de boules rouges piochées et Yle rang de la première boule noire tirée.
a) Décrivez l’arbre pondéré des possibilités de cette expérience (l’information à retenir de chaque pioche
est seulement la couleur de la boule).
b) Calculez la loi de X. Puis son espérance et sa variance.
c) Calculez la loi de Y.
d) Calculez la loi conjointe de Xet Y. Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes ?
Exercice 4 On dispose de trois lots identiques de 4 billes : 1 verte et 3 rouges. Dans chaque lot i(= 1,2
ou 3), on pioche une bille au hasard. Et on appelle Wile nombre de bille verte ainsi piochée dans le lot i;
et Vle nombre total de billes vertes piochées.
a) Comment s’appelle la variable aléatoire Wiet quel est son paramètre ?
b) Quel est le lien entre V, W1, W2et W3? Déduisez-en l’espérance de V.
c) Expliquez pourquoi les Wisont indépendantes. Déduisez-en la variance de V.
d) Comment s’appelle la loi de la variable aléatoire Vet quels sont ses paramètres ?
e) Calculez explicitement la loi de V. Quelle est sa médiane ?
Exercice 5 Soit Xune variable aléatoire positive et soit un réel a > 0. On définit la variable aléatoire
Yde la façon suivante Y=asi a6X
0 si 06X < a.
a) Considérez X−Ypour prouver que E[X]>E[Y].
b) Montrez que E[Y] = a·p(a6X).
c) Déduisez-en une inégalité liant E[X],aet p(a6X). Comment appelle-t-on habituellement cette inéga-
lité ?
d) La note d’un étudiant à cet examen est une variable aléatoire d’espérance 10. Donnez une majoration
de la probabilité, pour cet étudiant, d’avoir au moins 15 à l’examen ?

Corrigé du partiel du 30 avril 2014
Exercice 1 a) L’événement Ane concerne que le dé jaune. On est en situation d’équiprobabilité donc,
selon la formule de Laplace, p(A) = # scores réalisant A
# total de scores possibles =|{2; 4; 6}| |{1; 2; 3; 4; 5; 6}| = 3/6 = 1/2.
De même pour B, l’équiprobabilité entre les 36 résultats possibles donne p(B) = |{(a, b)|16b < a 6a}|
36 .
Et on peut compter les tirages favorables : (6,1) . . . (6,5)
| {z }
5
(5,1) . . . (5,4)
| {z }
4
(4,1) . . . (4,3)
| {z }
3
(3,1)(3,2)
| {z }
2
(2,1)
|{z}
1
.
Donc p(B) = 15/36 = 5/12.
Variante pour p(B). Dans le cas où les deux scores ne sont pas égaux, il est aussi probable que ce soit
le dé orange ou que ce soit le dé jaune qui a le score strictement supérieur à l’autre. Ainsi si on pose
E=“les deux scores sont égaux”, on a p(B) = 1
2p(E). On a p(E) = p(“obtenir un double”) = 1 /6. Et donc
p(E) = 5/6. Donc p(B) = 1/2×5/6.
b) On peut, ici aussi, compter les tirages favorables à A∩B:(6,5) (6,4) (6,3) (6,2) (6,1) (4,3) (4,2)
(4,1) (2,1). Formule de Laplace p(A∩B) = |A∩B|
|Ω|= 9/36 = 1/4.
c) On a toujours p(A∪B) + p(A∩B) = p(A) + p(B)(formule de Poincaré).
Donc p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B) = 1
2+5 12 −1 4=6 + 5 −3 12 = 2/3.
d) On a A∩B=A∪B(loi de De Morgan). Donc p(A∩B) = p(A∪B) = 1 −p(A∪B) = 1/3.
e) Par définition pA(B) = p(A∩B)
p(A)donc pA(B) = 1/4
1/2= 1/2.
f) On a p(A)×p(B)=1/2×5/12 = 5/24 6= 1/4 = p(A∩B). Donc Aet Bne sont pas des événements
indépendants.
Exercice 2 Posons S=“le soldat survit une année” et O=“le soldat est un officier”. On a, dans l’énoncé,
les données suivantes : p(O) = 0,05,pO(S) = 0,9et pO(S) = 0,6.
a) On cherche p(S). Formule des probabilités totales : p(S) = p(O)pO(S)+p(O)pO(S) = 1
20 ×9 10 +19 20 ×6 10 =
123
200 = 0,615 = 61,5%.
b) On cherche pS(O). Formule de Bayes : pS(O) = p(O)pO(S)
p(O)pO(S) + p(O)pO(S)=1/20 ×9/10
p(S)=9/200 123/200 =
9/123 = 3/41 '7,3%.
c) On appelle S2l’événement “le soldat survit à deux années dans les tranchées”. D’après l’énoncé, un
officier a une probabilité 0,9×0,9de survivre deux ans : pO(S2) = (0,9)2= 81%. Et pour un non officier :
pO(S2) = (0,6)2= 36%. Alors p(S2) = p(O)pO(S2)+p(O)pO(S2) = 1
20 ×81 100 +19 20 ×36 100 =765 2000 = 38,25%.
Exercice 3
a) La seule subtilité de l’arbre est le fait qu’après avoir
pioché deux boules rouges, on pioche obligatoirement
une noire : l’arbre est binaire mais n’est pas complet
(7 branches au lieu de 8).
2/6/R
/
/
/
1/5/R
/
—— N 2/30 = 1/15
\
4/5\N1/4/R8/120 = 1/15
3/4\N24/120 = 3/15
\\\
4/6\N
2/5/R
/
1/4/R8/120 = 1/15
3/4\N24/120 = 3/15
\
3/5\N2/4/R24/120 = 3/15
2/4\N24/120 = 3/15
b) La variable Xpeut prendre les valeurs 0, 1, 2.
On peut calculer sa loi grâce à l’arbre ou en dé-
nombrant (équiprobabilité, formule de Laplace).
p(X= 0) = C3
4/C3 6= 4/20 = 1/5 = p(NNN)
p(X= 1) = C1
2×C2 4/C3 6= 2 ×6/20 = 3/5 =
p(RNN, NRN, N NR)
p(X= 2) = C2
2×C1 4/C3 6= 4/20 = 1/5 =
p(RRN, RNR, NRR)
Alors E[X] = 1
5×0 + 3 5×1 + 1 5×2 = 1.
Et E[X2] = 1
5×0 + 3 5×1 + 1 5×4 = 7/5.
Donc var(X) = E[X2]−E[X]2= 2/5.
c) De même, on peut calculer la loi de Yà l’aide
de l’arbre ou en calculant avec les probabilités
conditionnées.
La variable Ypeut prendre les valeurs 1, 2, 3.
p(Y= 1) = p(“1ere boule piochée est noire”) = 4/6.
p(Y= 2) = p(“1ere rouge &2enoire”) = p(“1ere rouge”)×p“1ere rouge”(“2enoire”) = 2/6×4/5 = 8/30.
p(Y= 3) = p(RRN) = 1/15. Donc i 1 2 3
p(Y=i)10/15 4/15 1/15

Université Paris 8 Introduction aux probabilités — Mariou & Guillot
U.F.R. M.I.T.S.I.C. Licence Informatique — Printemps 2015
Examen final — 26 mai 2015
carte d’étudiant obligatoire —aucun document n’est autorisé —calculatrice autorisée
interdits : Autre électronique (téléphone, walkman, organizer,. . .), Communication , Sacs et vêtements sur la table.
Indiquez vos nom, prénom et numéro sur chaque copie. — Durée : 2h30 — Barème :
Exercice 1 Soit une expérience aléatoire d’ensemble fondamental Ωet soit Fla tribu des
événements (parmi lesquels on trouve les sous-ensembles finis de Ω, par exemple).
a) Rappelez les trois axiomes de Kolmogorov demandés à une application p:F → IR pour dire
qu’elle est une loi de probabilité.
b) Soit p0:F → IR, la fonction constamment nulle. Lesquels des axiomes satisfait-elle ? Est-ce une
loi de probabilité ? (Justifiez vos réponses.)
c) Mêmes questions pour p1:F → IR, la fonction qui vaut constamment 1.
Exercice 2 Les biscuits Choco BM offrent une image dans chaque paquet. Blaise espère pouvoir
réunir les cinq images de la collection.
a) Si Blaise a déjà iimage(s) (ientier entre 0 et 4), on appelle pila probabilité qu’il a d’obtenir,
au prochain paquet acheté, une image qu’il ne possède pas encore. Calculez pi(en supposant qu’il
y autant de paquets en vente comportant chacune des cinq images).
b) Lorsque Blaise possède iimage(s), on appelle Nile nombre de paquets qu’il achètera afin
d’obtenir sa i+1-ème image. Quelle est la loi de la variable aléatoire Ni? Quelle est son espérance ?
c) Combien de paquets, en moyenne, Blaise devra-t-il acheter pour obtenir la collection complète
des cinq images ?
Exercice 3 Le nombre Cde carpes prises par Siméon pendant le concours de pêche suit une loi
de Poisson. La probabilité qu’il prenne au moins une carpe est d’environ 94%.
a) Quel est le paramètre de la loi de C? Quelle est l’espérance de C?
b) Quelle est la probabilité que Siméon prenne au moins deux carpes durant le concours?
c) Le concours dure 4 heures. Quelle est la probabilité que Siméon prenne au moins une carpe
durant la première heure ?
Exercice 4 Soit Xune variable aléatoire normale d’espérance 9,9 et de variance 9. Quelle est
la probabilité que Xsoit plus grand que 12 ?
Extrait de la table de la variable normale centrée réduite Z
z0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
p(0 < Z < z) 0,000 0,040 0,079 0,118 0,155 0,192 0,226 0,258 0,288 0,316
Exercice 5 Deux lois ”sans mémoire”.
a) Loi discrète. Soit Xune variable aléatoire géométrique de paramètres p. Montrez que si net k
sont deux entiers naturels, on a pX>n(X>n+k) = p(X>k).
b) Loi continue. Soit Yune variable aléatoire dite exponentielle de paramètre λ, réel positif. La
fonction de répartition cumulative de Yest donnée par FY(a)=1−e−λa, pour tout réel a.
Montrez que pour tout aréel et dréel >0, on a pY>a(Y>a+d) = p(Y>d).
Quelle est la fonction de densité de la variable Y?

Université Paris 8 Introduction aux probabilités — Mariou & Ehrhardt
U.F.R. M.I.T.S.I.C. Licence Informatique — Printemps 2014
Examen final — 26 mai 2014
carte d’étudiant obligatoire —aucun document n’est autorisé —calculatrice autorisée
interdits : Autre électronique (téléphone, walkman, organizer,. . .), Communication , Sacs et vêtements sur la table.
Indiquez vos nom, prénom et numéro sur chaque copie. — Durée : 3h — Barème : 2 2 5 3 4 5
Exercice 1 Une urne contient trois boules vertes. Combien de boules rouges doit-on ajouter
pour que, lorsqu’on pioche au hasard et simultanément deux boules dans l’urne, on ait autant de
chances de piocher deux boules de même couleur que de piocher deux boules de couleurs différentes ?
(Justifiez.)
Exercice 2 Deux soirs sur trois, Charles mange chez Mac Crado ; les autres soirs il mange chez
Berk Chicken. Charles a l’estomac fragile et il a du mal à digérer dans 10% des cas en sortant de
chez Mac Crado et dans 15% des cas en revenant de chez Berk Chicken.
La nuit dernière, Charles a eu des problèmes digestifs. Quelle est la probabilité qu’il ait dîné chez
Mac Crado ?
Exercice 3 Un jeu de société propose de simuler des courses de rallye automobile : chaque
joueur choisit une trajectoire avec des risques plus ou moins élevés et des jets de dés indiquent si
la voiture sort de la route.
Sur un parcours A, la trajectoire la plus rapide présente un risque de sortie de route de 95%.
a) Il y a 30 participants qui tentent la trajectoire la plus rapide. On note Xle nombre de ces
joueurs qui finissent le parcours sans sortie de route. Quelle est la loi de la variable aléatoire Xet
quels sont ses paramètres ? (Justifiez.) Combien de joueurs, en moyenne, réussissent la trajectoire
rapide sans sortie de route ?
b) Par quelle loi, dont les valeurs sont plus faciles à calculer, peut-on approcher la loi de X?
Utilisez-la pour trouver une approximation de p(X= 0),p(X= 1),p(X= 2) et p(X>3).
c) On passe à un parcours B, plus court et moins sinueux. La probabilité de réussir la trajectoire
parfaite est de 20%. Il y a maintenant 100 joueurs qui tentent cette trajectoire. Soit Yle nombre
de ces joueurs qui réussissent. Quelle est l’espérance de Y?
Quelle loi permet d’approcher la loi de Y? Indiquez la démarche à suivre pour calculer p(16 6
Y624).
Exercice 4 a) Soit une expérience aléatoire d’ensemble de résultats possibles Ωet soit Fune
famille d’événements sur Ω. Rappelez les axiomes d’une loi de probabilité sur l’espace probabilisable
(Ω,F).
b) Supposons qu’on répète l’expérience aléatoire Nfois, et que pour tout événement E, on appelle
n(E)le nombre de fois que l’événement Ea été réalisé au cours de ces Nrépétitions. On pose alors,
pour tout événement E,f(E) = n(E)
N. Montrez que fsatisfait les axiomes d’une loi de probabilité.
Exercice 5 On considère la fonction f:t7→ αt2si t∈[0; 1] ; et 0 sinon.
a) Pour quelle valeur de α,fest-elle une fonction de densité de probabilité ?
Dans ce cas, on appelle Xla variable aléatoire de densité de probabilité f.
b) On appelle Fla fonction de répartition (cumulative) de la variable aléatoire Xdéfinie par
F(a) = p(X6a), pour tout réel a. Calculez ce que vaut F(a).
c) Que vaut p(1
26X61) ?
d) Calculez l’espérance µde X. Puis calculez sa médiane m(telle que F(m) = 1
2).
e) Représentez la situation graphiquement : graphe de f,p(1
26X61),µ,m, ...