Correction Devoir Maison 04 TES

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Exercice 1.
Partie A
Soit fla fonction définie sur l’intervalle −1
2; +∞par f(x) = −x+ 7 + 6 ln(2x+ 1) −6 ln(2x+ 2).
On note Cla courbe représentative de fdans un repère orthonormal (O;−→ i , −→ j).
1. Justifier que fest définie sur l’intervalle −1
2; +∞.
Le problème de définition de fse situe seulement au niveau des ln (−x+ 7 est définie sur Ret
les coefficients 6et −6ne posent pas de problème).
La fonction ln est définie sur ]0; +∞[, ainsi on va étudier le signe de 2x+ 1 et de 2x+ 2 suivant
les valeurs de x:
x−∞ −1
2+∞
2x+ 1 −0+
x−∞ −1+∞
2x+ 2 −0+
Ainsi ln(2x+ 1) n’a un sens que pour x∈−1
2; +∞et ln(2x+ 2) n’a un sens que pour
x∈]−1; +∞[. Or −1
2; +∞⊂]−1; +∞[, d’où si x∈−1 2; +∞=⇒x∈]−1; +∞[alors
ln(2x+ 1) et ln(2x+ 2) existent, donc fest définie sur −1
2; +∞.
Remarque : −1
2; +∞est le plus grand intervalle de Roù fest définie
car ]−1; +∞[∩−1
2; +∞=−1 2; +∞.
2. Déterminer la limite de fen −1
2.
En déduire que la courbe Cadmet pour asymptote une droite Ddont on précisera une équation.
lim
x→− 1
2
(−x+ 7) = 1
2+ 7 = 1 2+14 2=15 2et
lim
x→− 1
2
ln(2x+ 2) = ln 2×−1
2+ 2= ln(−1 + 2) = ln(1) = 0
lim
x→− 1
2
x>−1
2
ln(2x+ 1) :lim
x→− 1
2
x>−1
2
2x+ 1 = 0+(pour le signe, on regardera sur le tableau de signes réalisé
à la première question) donc lim
x→− 1
2
x>−1
2
ln(2x+ 1) = lim
x→0+ln(x) = −∞.
Ainsi lim
x→− 1
2
f(x) = −∞.
On en déduit que Cadmet pour asymptote verticale une droite Dd’équation x=−1
2.
3. En remarquant que, pour tout xde l’intervalle −1
2; +∞:6 ln(2x+ 1) −6 ln(2x+ 2) = 6 ln 2x+ 1 2x+ 2 , déterminer la limite
de fen +∞.
lim
x→+∞
2x+ 1
2x+ 2 = lim
x→+∞
2x
2x= lim
x→+∞
2
2= 1 donc lim
x→+∞ln 2x+ 1
2x+ 2= lim
x→1ln(x) = ln(1) = 0 d’où
lim
x→+∞(6 ln(2x+ 1) −6 ln(2x+ 2)) = lim x→+∞6 ln 2x+ 1
2x+ 2= 0.
De plus lim
x→+∞−x+ 7 = lim x→+∞−x=−∞.
Donc lim
x→+∞f(x) = −∞.
4. Soit ∆la droite d’équation : y=−x+ 7.
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a. Quelle est la limite de [f(x)−(−x+ 7)] lorsque xtend vers +∞? En donner une interprétation graphique.
[f(x)−(−x+ 7)] = 6 ln(2x+ 1) −6 ln(2x+ 2) = 6 ln 2x+ 1
2x+ 2(cf la remarque du 3.)
Toujours à la question 3. on a vu que : lim
x→+∞[f(x)−(−x+ 7)] = lim x→+∞6 ln 2x+ 1
2x+ 2= 0.
On en déduit que la droite ∆est une asymptote oblique à Cen +∞.
b. Étudier la position de la courbe Cpar rapport à la droite ∆.
Pour étudier la position de la courbe Cpar rapport à la droite ∆, il faut étudier la signe de
[f(x)−(−x+ 7)] sur −1
2; +∞.
Pour tout x∈−1
2; +∞:1<2 =⇒0<2x+ 1 <2x+ 2 =⇒0<2x+ 1 2x+ 2 <1 =⇒
ln 2x+ 1
2x+ 2<0 =⇒6 ln 2x+ 1 2x+ 2<0ie [f(x)−(−x+ 7)] <0.
Donc Cest toujours en dessous de ∆.
5. a. Montrer que pour tout xdans l’intervalle −1
2; +∞:f0(x) = −2x2−3x+ 5 (2x+ 1)(x+ 1) , où f0désigne la fonction dérivée de
f.
fest dérivable sur −1
2; +∞et pour tout x∈−1 2; +∞:
f0(x) = −1+6×2
2x+ 1 −6×2 2x+ 2 =−2x+ 1 2x+ 1 +12 2x+ 1 −6×2 2(x+ 1) =−2x−1 + 12 2x+ 1 −
6
x+ 1 =(−2x+ 11)(x+ 1) (2x+ 1)(x+ 1) −6(2x+ 1) (x+ 1)(2x+ 1) =(−2x2−2x+ 11x+ 11) −(12x+ 6) (2x+ 1)(x+ 1) =
−2x2+ 9x+ 11 −12x−6
(2x+ 1)(x+ 1) =−2x2−3x+ 5 (2x+ 1)(x+ 1). CQFD.
b. Étudier le signe de f0et dresser le tableau de variation de f.
Étudions le polynôme du second degré −2x2−3x+5 :δ=b2−4ac = (−3)2−4×(−2)×5 =
9 + 40 = 49 = 72>0
Il y a donc 2 racines réelles à ce polynôme : x1=−b+√δ
2a=3+7 2×(−2) =10 −4=−5 2(=
−2,5) et x2=−b−√δ
2a=3−7 2×(−2) =−4 −4= 1.
Ainsi on obtient la factorisation suivante : −2x2−3x+ 5 = a(x−x1)(x−x2) = −2(x+
2,5)(x−1) = (−2x−5)(x−1). D’où f0(x) = (−2x−5)(x−1)
(2x+ 1)(x+ 1) .
f(1) = −1+7+6 ln(2×1+1)−6 ln(2×1+2) = 6+6 ln(3)−6 ln(4) = 6 (1 + ln(3) −ln(4)) =
6ln(e) + ln 3
4= 6 ln 3e 4'4,27
x−∞ −2,5−1−0,51+∞
−2x−5+0− − − −
x−1− − − − 0+
2x+ 1 −−−0+ +
x+ 1 − − 0+ + +
f0(x)+0−
f
−∞
4,27(')
−∞
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6. Soit Tla tangente à la courbe Cau point Md’abscisse 0. Déterminer une équation de la droite T.La tangente
Ta pour équation : y=f0(0)(x−0) + f(0). Or f0(0) = −2×02−3×0+5
(2 ×0 + 1)(0 + 1) =5 1= 5 et
f(0) = −0 + 7 + 6 ln(2 ×0 + 1) −6 ln(2 ×0 + 2) = 7 + 6 ln(1) −6 ln(2) = 7 −6 ln(2). Donc T:
y= 5x+ 7 −6 ln(2).
7. Tracer les droites D,∆,Tet la courbe Cdans le repère (O;−→ i , −→ j), unité graphique 2cm. On placera l’axe des ordonnées à
2cm du bord gauche d’une feuille de papier millimétré.
Partie B
Soit Hla fonction définie sur l’intervalle −1
2; +∞par : H(x) = (2x+ 1) ln(2x+ 1) −(2x+ 2) ln(2x+ 2).
Montrer que la fonction Hest une primitive sur −1
2; +∞de la fonction hdéfinie sur cet intervalle par : h(x) = 2 ln 2x+ 1 2x+ 2 .
Hest dérivable sur −1
2; +∞, dérivons H: pour tout x∈−1 2; +∞,
H0(x) = 2 ln(2x+ 1) + (2x+ 1) ×2
2x+ 1 −2 ln(2x+ 2) + (2x+ 2) ×2 2x+ 2= 2 ln(2x+ 1) + 2 −
2 ln(2x+ 2) −2 = 2 (ln(2x+ 1) −ln(2x+ 2)) = 2 ln 2x+ 1
2x+ 2=h(x).
Donc Hest une primitive sur −1
2; +∞de h.
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