Correction Devoir Maison 04 TES

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Exercice 1.
Partie A
1
Soit f la fonction définie sur l’intervalle − ; +∞ par f (x) = −x + 7 + 6 ln(2x + 1) − 6 ln(2x + 2).
2
−
→ −
→
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i , j ).
1
1. Justifier que f est définie sur l’intervalle − ; +∞ .
2
Le problème de définition de f se situe seulement au niveau des ln (−x + 7 est définie sur R et
les coefficients 6 et −6 ne posent pas de problème).
La fonction ln est définie sur ]0; +∞[, ainsi on va étudier le signe de 2x + 1 et de 2x + 2 suivant
les valeurs de x :
1
x
x
−∞
+∞
−∞
+∞
−1
−
2
−
2x + 1
+
0
−
2x + 2
0
+
1
Ainsi ln(2x + 1) n’a un sens que pour x ∈ − ; +∞ et ln(2x + 2) n’a un sens que pour
2
1
1
x ∈ ]−1; +∞[. Or − ; +∞ ⊂ ]−1; +∞[, d’où si x ∈ − ; +∞ =⇒ x ∈ ]−1; +∞[ alors
2
2 1
ln(2x + 1) et ln(2x + 2) existent, donc f est définie sur − ; +∞ .
2
1
Remarque : − ; +∞ est le plus grand intervalle de R où f est définie
2
1
1
car ]−1 ; +∞[ ∩ − ; +∞ = − ; +∞ .
2
2
1
2. Déterminer la limite de f en − .
2
En déduire que la courbe C admet pour asymptote une droite D dont on précisera une équation.
1
1 14
15
+7= +
=
et
2
2
2
2
−1
lim ln(2x + 2) = ln 2 ×
+ 2 = ln(−1 + 2) = ln(1) = 0
2
x→− 12
lim ln(2x + 1) : lim 2x + 1 = 0+ (pour le signe, on regardera sur le tableau de signes réalisé
lim (−x + 7) =
x→− 12
x→− 12
x>− 21
x→− 21
x>− 21
à la première question) donc lim ln(2x + 1) = lim ln(x) = −∞.
x→0+
x→− 21
x>− 21
Ainsi lim f (x) = −∞.
x→− 21
1
On en déduit que C admet pour asymptote verticale une droite D d’équation x = − .
2
1
3. En remarquant que, pour tout x de l’intervalle − ; +∞ : 6 ln(2x + 1) − 6 ln(2x + 2) = 6 ln
2
de f en +∞.
2x + 1
2x
2
2x + 1
= lim
= lim
= 1 donc lim ln
x→+∞
2x + 2 x→+∞ 2x x→+∞ 2
2x
+2
2x + 1
lim (6 ln(2x + 1) − 6 ln(2x + 2)) = lim 6 ln
= 0.
x→+∞
x→+∞
2x + 2
De plus lim −x + 7 = lim −x = −∞.
lim
x→+∞
x→+∞
2x + 1
, déterminer la limite
2x + 2
= lim ln(x) = ln(1) = 0 d’où
x→1
x→+∞
Donc lim f (x) = −∞.
x→+∞
4. Soit ∆ la droite d’équation : y = −x + 7.
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a. Quelle est la limite de [f (x) − (−x + 7)] lorsque x tend vers +∞ ? En
donner une
interprétation graphique.
[f (x) − (−x + 7)] = 6 ln(2x + 1) − 6 ln(2x + 2) = 6 ln
2x + 1
2x + 2
(cf la remarque du 3.)
2x + 1
Toujours à la question 3. on a vu que : lim [f (x) − (−x + 7)] = lim 6 ln
= 0.
x→+∞
x→+∞
2x + 2
On en déduit que la droite ∆ est une asymptote oblique à C en +∞.
b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite ∆.
Pour étudier la position
C par rapport à la droite ∆, il faut étudier la signe de
de la courbe
1
[f (x) − (−x + 7)] sur − ; +∞ .
2
1
2x + 1
Pour tout x ∈ − ; +∞ : 1 < 2 =⇒ 0 < 2x + 1 < 2x + 2 =⇒ 0 <
< 1 =⇒
2
2x + 2
2x + 1
2x + 1
< 0 =⇒ 6 ln
< 0 ie [f (x) − (−x + 7)] < 0.
ln
2x + 2
2x + 2
Donc C est toujours en dessous de
∆. 1
−2x2 − 3x + 5
a. Montrer que pour tout x dans l’intervalle − ; +∞ : f 0 (x) =
, où f 0 désigne la fonction dérivée de
2
(2x + 1)(x + 1)
f.
5.
1
1
f est dérivable sur − ; +∞ et pour tout x ∈ − ; +∞ :
2
2
2
2x
+
1
12
6×2
−2x − 1 + 12
2
−6×
=−
+
−
=
−
f 0 (x) = −1 + 6 ×
2x + 1
2x + 2
2x + 1 2x + 1 2(x + 1)
2x + 1
6
(−2x + 11)(x + 1)
6(2x + 1)
(−2x2 − 2x + 11x + 11) − (12x + 6)
=
−
=
=
x+1
(2x + 1)(x + 1)
(x + 1)(2x + 1)
(2x + 1)(x + 1)
−2x2 − 3x + 5
−2x2 + 9x + 11 − 12x − 6
=
. CQFD.
(2x + 1)(x + 1)
(2x + 1)(x + 1)
b. Étudier le signe de f 0 et dresser le tableau de variation de f .
Étudions le polynôme du second degré −2x2 − 3x + 5
: δ = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 × (−2) × 5 =
9 + 40 = 49 = 72 > 0
√
−b + δ
3+7
10
5
Il y a donc 2 racines réelles à ce polynôme : x1 =
=
=
=−
(=
2a
2
×
(−2)
−4
2
√
−b − δ
3−7
−4
−2, 5) et x2 =
=
=
= 1.
2a
2 × (−2)
−4
Ainsi on obtient la factorisation suivante : −2x2 − 3x + 5 = a(x − x1 )(x − x2 ) = −2(x +
(−2x − 5)(x − 1)
.
2, 5)(x − 1) = (−2x − 5)(x − 1). D’où f 0 (x) =
(2x + 1)(x + 1)
f (1)
ln(2×1+1)−6
= −1+7+6
ln(2×1+2) = 6+6 ln(3)−6 ln(4) = 6 (1 + ln(3) − ln(4)) =
3
3e
6 ln(e) + ln
= 6 ln
' 4, 27
4
4
x
−2, 5
−∞
−0, 5
−1
−
−
−
−
−
−
−
2x + 1
−
−
−
x+1
−
−
−2x − 5
+
x−1
0
0
+
0
f 0 (x)
+∞
1
−
0
+
+
+
+
+
+
0
−
4, 27(')
f
−∞
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−∞
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6. Soit T la tangente à la courbe C au point M d’abscisse 0. Déterminer une équation de la droite T . La tangente
−2 × 02 − 3 × 0 + 5
5
T a pour équation : y = f 0 (0)(x − 0) + f (0). Or f 0 (0) =
=
= 5 et
(2 × 0 + 1)(0 + 1)
1
f (0) = −0 + 7 + 6 ln(2 × 0 + 1) − 6 ln(2 × 0 + 2) = 7 + 6 ln(1) − 6 ln(2) = 7 − 6 ln(2). Donc T :
y = 5x + 7 − 6 ln(2).
−
→ −
→
7. Tracer les droites D, ∆, T et la courbe C dans le repère (O; i , j ), unité graphique 2 cm. On placera l’axe des ordonnées à
2 cm du bord gauche d’une feuille de papier millimétré.
Partie B
1
Soit H la fonction définie sur l’intervalle − ; +∞ par : H(x) = (2x + 1) ln(2x + 1) − (2x + 2) ln(2x + 2).
2
1
2x + 1
.
Montrer que la fonction H est une primitive sur − ; +∞ de la fonction h définie sur cet intervalle par : h(x) = 2 ln
2
2x + 2
1
1
H est dérivable sur − ; +∞ , dérivons H : pour tout x ∈ − ; +∞ ,
2
2
2
2
0
H (x) = 2 ln(2x + 1) + (2x + 1) ×
− 2 ln(2x + 2) + (2x + 2) ×
= 2 ln(2x + 1) + 2 −
2x + 1
2x + 2
2x + 1
2 ln(2x + 2) − 2 = 2 (ln(2x + 1) − ln(2x + 2)) = 2 ln
= h(x).
2x + 2
1
Donc H est une primitive sur − ; +∞ de h.
2
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