L2 - cursus prépa. Fiche de cours Suites de fonctions

L2 - cursus pr´epa. Fiche de cours Suites de fonctions (30 janvier)
On consid`ere des fonctions num´eriques, c’est-`a-dire `a valeurs dans K=Rou C, d’une variable
r´eelle. (La plupart des notions s’´etendent cependant aux fonctions vectorielles de plusieurs variables.)
Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions fn:D⊂R→K. Elle converge simplement vers f:D→Ksi,
pour tout x∈D, la suite num´erique (fn(x))n∈Nconverge vers f(x) :
∀x∈D , ∀ε > 0,∃N∈N,∀n∈N,(n≥N⇒ |fn(x)−f(x)| ≤ ε).
De plus, la suite (fn)n∈Nconverge uniform´ement sur A⊂Dsi :
∀ε > 0,∃N∈N,∀x∈A , ∀n∈N,(n≥N⇒ |fn(x)−f(x)| ≤ ε).
De fa¸con ´equivalente : il existe N0∈Ntel que les fonctions fn−fsoient born´ees sur Apour
n≥N0, et la suite num´erique (supx∈A|fn(x)−f(x)|)n≥N0converge vers z´ero. Ainsi, s’il existe une
suite (xn)n∈N∈ANtelle que (|fn(xn)−f(xn)|)n∈Nne tende pas z´ero, la convergence n’est pas uniforme
sur A.
Crit`ere de Cauchy uniforme Une suite (fn)n∈Nde fonctions fn:D⊂R→K(ou Rp) converge
uniform´ement sur Asi et seulement si :
∀ε > 0,∃N∈N,∀x∈A , ∀p, q ∈N,(p≥q≥N⇒ |fp(x)−fq(x)| ≤ ε).
Passages ` a la limite Si (fn)n∈Nconverge simplement vers fon dit que fest sa limite simple. Si
elle converge uniform´ement on dit que fest sa limite uniforme.
•La limite simple d’une suite de fonctions positives est positive.
•La limite simple d’une suite de fonctions `a valeurs r´eelles monotone est monotone.
•La limite simple d’une suite de fonctions convexe est convexe.
•La limite uniforme d’une suite de fonctions born´ees est born´ee. (C’est faux pour la convergence
simple.)
•La limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue. (C’est faux pour la conver-
gence simple.)
Interversion de limites Si (fn)n∈Nconverge uniform´ement sur Avers f, si pour tout n≥N0la
fonction fna une limite `n∈Ken a∈A, alors la suite num´erique (`n)n≥N0a une limite `∈K, la
fonction fa une limite en aet ces limites sont ´egales :
lim
n→∞ lim x→afn(x) = lim x→alim n→∞ fn(x).
Int´ egration Une suite (fn)n∈Nde fonctions fn: [a, b]→Kcontinues par morceaux sur le segment
[a, b]converge en moyenne sur [a, b] vers fcontinue par morceaux si la suite num´erique (Rb
a|fn(x)−
f(x)|dx)n∈Nconverge vers z´ero. Elle converge en moyenne quadratique sur [a, b] si la suite num´erique
(Rb
a|fn(x)−f(x)|2dx)n∈Nconverge vers z´ero.
•Si une suite (fn)n∈Nde fonctions continues par morceaux converge en moyenne quadratique sur
[a, b] vers une fonction f, elle converge aussi en moyenne sur [a, b] versf.
•Une suite (fn)n∈Nde fonctions continues par morceaux convergeant uniform´ement sur [a, b] vers
une fonction fcontinue par morceaux converge en moyenne sur [a, b]. De plus, la suite num´erique
(Rb
afn(x)dx)n∈Nconverge alors vers Rb af(x)dx.
•Si une suite (fn)n∈Nde fonctions continues un intervalle I, converge uniform´ement sur tout
segment de Ivers f, alors pour tout a∈I, la suite (Fn)n∈Ndes primitives Fn:x∈I7→
Rx
afn(t) dtconverge uniform´ement sur tout segment de Ivers F:x∈I7→ Rx af(t) dt.
Th´eor`eme de convergence domin´ee Soit une suite (fn)n∈Nde fonctions continues par morceaux
sur un intervalle I, convergeant simplement vers f. Si de plus il existe une fonction continue par
NB: Il faut savoir d´efinir les notions en rouge et d´emontrer les ´enonc´es en bleu.

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morceaux g:I→R+telle que RIg(t) dt∈R+(ce qui est automatique si Iest un segment, et
demande que l’int´egrale g´en´eralis´ee RIg(t) dtconverge sinon) et pour tout x∈I, pour tout n∈N,
|fn(x)| ≤ g(x), alors les fonctions fnet fsont absolument int´egrables sur Iet la suite num´erique
(RIfn(x)dx)n∈Nconverge vers RIf(x)dx.
D´ erivation Soit (gn)n∈Nune suite de fonctions de classe C1sur un intervalle I, convergeant simple-
ment vers une fonction get telle que la suite des fonctions d´eriv´ees (g0
n)n∈Nconverge uniform´ement
sur tout segment de Ivers une fonction f. Alors la suite (gn) converge uniform´ement sur tout segment
de Ivers une fonction gde classe C1dont la d´eriv´ee est f.
Approximation Toute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme d’une
suite de fonctions en escalier sur ce segment.
Th´eor`eme de Weierstrass Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d’une suite
de fonctions polynomiales sur ce segment.
NB: Il faut savoir d´efinir les notions en rouge et d´emontrer les ´enonc´es en bleu.