Calcul intégral

CALCUL INTEGRAL
I) Intégrale d’une fonction
Définition : On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I, F une primitive de f sur I. Soient a et b deux
b
éléments de I, le nombre F ( b ) − F ( a ) est indépendant du choix de la primitive F. On note : F ( b ) − F ( a ) = ∫ f(t ) dt .
a
∫
b
a
f(t )dt est l’intégrale de la fonction f entre a et b.
On dit aussi : « intégrale de a à b de f » ou encore « intégrale de f sur l’intervalle [a ;b] ».
Remarques : • Dans la notation de l’intégrale, la lettre t désigne une variable muette, sans signification particulière. On
∫
peut aussi rencontrer la notation avec x, c’est-à-dire
b
a
f( x )dx .
• Une notation commode du nombre F ( b ) − F ( a ) est [ F ( t )]a .
b
II) Intégrale d’une fonction positive et interprétation graphique
1) Intégrale d’une fonction positive
Propriété : Soit f une fonction dérivable et positive sur un intervalle I contenant les nombres a et b (a < b) ; l’intégrale
∫
b
a
f( x )dx est un réel positif.
2) Interprétation graphique
r r
Définition : on appelle unité d’aire du repère orthogonal (O, i , j ) , l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont
r
r
longueur du vecteur i et longueur du vecteur j .
Propriété : Dans un repère orthogonal, soit D la partie du plan délimitée par la représentation graphique d’une fonction
positive f, l’axe des abscisses et les droites (verticales) d’équations x = a et x = b (a < b).
L’aire du domaine D mesurée en unité d’aire est égale à
∫
b
a
f(t )dt .
Remarque : pour le calcul en cm² de l’aire du domaine D , l’intégrale
∫
b
a
f(t )dt est à multiplier par l’aire en cm² du
rectangle définissant l’ unité d’aire. (voir exemple ci-dessous).
Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = e x + e − x − 2 et C f sa représentation graphique dans un repère
r r
r
r
orthogonal (O, i , j ) tel que i = 2 cm et j = 1 cm . Soit D la partie du plan délimitée par C f , l’axe des abscisses et
les droites d’équations x = 0 et x = 2 et A l’aire de D exprimée en cm².
Voici les étapes à suivre pour calculer l’aire A :
¬ Montrer que f est positive sur l’intervalle [0 ;2] pour
appliquer la propriété précédente : dans notre exemple,
f ( x ) pouvant s’écrire
(e x )
2
− 2e x + 1
( ex − 1)
2
Cf
=
, il est
ex
ex
clair que la fonction f est même positive sur R.
Á L’aire de D exprimée en unité d’aire est donc égale à
∫
b
a
f( x )dx ; une primitive de f sur R étant
F : x a e x − e − x − 2x , on a :
1
−4.
a
e2
 L’unité d’aire valant 2 cm², on a :
A = 2 ( e 2 − e −2 − 4 ) ≈ 6,5 cm² .
∫
b
D
2
f( x ) dx = e x − e − x − 2 x  0 = e 2 −
1
1 u.a.= 2 cm²
O
1
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III) Propriétés de l’intégrale
1) Relation de Chasles
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant les réels a, b et c. On a :
¬
∫
c
a
b
c
a
b
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
2) Linéarité de l’intégrale
Propriété : Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant les réels a, b et k un nombre réel. α et β sont
des nombres réels. On a :
Á
∫
b
Â
∫
b
a
b
k f( x )dx = k ∫ f( x ) dx ;
a
b
b
(α f ( x ) + β g ( x ) ) dx = α ∫a f ( x ) dx + β ∫a g ( x ) dx .
a
3) Intégrale et inégalité
Propriété : Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant les réels a et b (a < b).
Si pour tout x de I, on a f ( x ) ≥ g ( x ) alors
∫
b
a
b
f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx .
a
Remarque : la propriété Â permet d’écrire, en prenant α = 1 et β = −1,
∫
b
a
b
Cf
b
f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx =
∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx .
a
a
∆
Dans le cas de deux fonctions f et g positives sur [a ;b] et telles que
f ( x ) ≥ g ( x ) sur [a ;b],
∫
b
a
A=
∫ ( f ( x) − g( x) )dx
b
a
Cg
b
f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx représente l’aire A,
a
exprimée en unité d’aire, du domaine ∆ délimitée par les deux courbes C f
et C g et les deux droites d’équations x = a et x = b. Cette aire peut donc se
calculer directement avec
∫
b
a
( f ( x) − g ( x ) ) dx .
O
x=a
x=b
IV) Inégalité de la moyenne et valeur moyenne d’une fonction
1) Inégalité de la moyenne
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant les réels a, b (a < b) et m, M deux nombres réels.
b
Si, pour tout x de I, on a : m ≤ f ( x ) ≤ M (on dit que f est bornée), alors m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a )
a
2) Valeur moyenne d’une fonction
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant les réels a et b (a < b). On appelle valeur moyenne
1 b
de f sur l’intervalle [a ;b] le nombre réel µ défini par µ =
f ( x ) dx .
b − a ∫a
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