Calcul intégral

Calcul intégral 1/2
CALCUL INTEGRAL
I) Intégrale d’une fonction
Définition : On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I, F une primitive de f sur I. Soient a et b deux
éléments de I, le nombre
(
)
(
)
FbFa
−
est indépendant du choix de la primitive F. On note :
( ) ( )
f()
b
a
FbFatdt
−=
∫.
f()
b
a
tdt
∫ est l’intégrale de la fonction f entre a et b.
On dit aussi : « intégrale de a à b de f » ou encore « intégrale de f sur l’intervalle [a ;b] ».
Remarques : • Dans la notation de l’intégrale, la lettre t désigne une variable muette, sans signification particulière. On
peut aussi rencontrer la notation avec x, c’est-à-dire
f()
b
a
xdx
∫.
• Une notation commode du nombre
(
)
(
)
FbFa
−
est
( ) [ ]
b
a
Ft
.
II) Intégrale d’une fonction positive et interprétation graphique
1) Intégrale d’une fonction positive
Propriété : Soit f une fonction dérivable et positive sur un intervalle I contenant les nombres a et b (a < b) ; l’intégrale
f()
b
a
xdx
∫ est un réel positif.
2) Interprétation graphique
Définition : on appelle unité d’aire du repère orthogonal
(,,)
Oij
rr
, l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont
longueur du vecteur
i
r
et longueur du vecteur
j
r
.
Propriété : Dans un repère orthogonal, soit D la partie du plan délimitée par la représentation graphique d’une fonction
positive f, l’axe des abscisses et les droites (verticales) d’équations x = a et x = b (a < b).
L’aire du domaine D mesurée en unité d’aire est égale à
f()
b
a
tdt
∫.
Remarque : pour le calcul en cm² de l’aire du domaine D , l’intégrale
f()
b
a
tdt
∫ est à multiplier par l’aire en cm² du
rectangle définissant l’ unité d’aire. (voir exemple ci-dessous).
Exemple : Soit f la fonction définie sur R par ( )
f2
xx
xee
−
=+−
et C f sa représentation graphique dans un repère
orthogonal
(,,)
Oij
rr
tel que
2 cm
i=
r
et
1 cm
j=
r
. Soit D la partie du plan délimitée par C f , l’axe des abscisses et
les droites d’équations x = 0 et x = 2 et A l’aire de D exprimée en cm².
Voici les étapes à suivre pour calculer l’aire A :
¬ Montrer que f est positive sur l’intervalle [0 ;2] pour
appliquer la propriété précédente : dans notre exemple,
(
)
f
x
pouvant s’écrire
(
)
(
)
22
211
xxx
xx
eee
ee
−+−
=, il est
clair que la fonction f est même positive sur R.
Á L’aire de D exprimée en unité d’aire est donc égale à
f()
b
a
xdx
∫ ; une primitive de f sur R étant
:2
xx
Fxeex
−
−−
a
, on a :
222
0
1
f()24
bxx
axdxeexe
e
−
=−−=−−
∫.
 L’unité d’aire valant 2 cm², on a :
A
(
)
22
246,5 cm²
ee
−
=−−≈ .
O
1
1
C f
1 u.a.= 2 cm²
D

Calcul intégral 2/2
III) Propriétés de l’intégrale
1) Relation de Chasles
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant les réels a, b et c. On a :
¬
( ) ( ) ( )
fff
cbc
aab
xdxxdxxdx
=+
∫∫∫
.
2) Linéarité de l’intégrale
Propriété : Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant les réels a, b et k un nombre réel. α et β sont
des nombres réels. On a :
Á
f()f()
bb
aa
kxdxkxdx
=
∫∫
;
Â
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
fgfg
bbb
aaa
xxdxxdxxdx
αβαβ+=+
∫∫∫
.
3) Intégrale et inégalité
Propriété : Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant les réels a et b (a < b).
Si pour tout x de I, on a
(
)
(
)
fg
xx
≥
alors
( ) ( )
fg
bb
aa
xdxxdx
≥
∫∫
.
Remarque : la propriété Â permet d’écrire, en prenant α = 1 et β = −1,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
fgfg
bbb
aaa
xdxxdxxxdx
−=−
∫∫∫ .
Dans le cas de deux fonctions f et g positives sur [a ;b] et telles que
(
)
(
)
fg
xx
≥
sur [a ;b],
( ) ( )
fg
bb
aa
xdxxdx
−
∫∫
représente l’aire A,
exprimée en unité d’aire, du domaine ∆ délimitée par les deux courbes C f
et C g et les deux droites d’équations x = a et x = b. Cette aire peut donc se
calculer directement avec
( ) ( ) ( )
fg
b
a
xxdx
−
∫.
IV) Inégalité de la moyenne et valeur moyenne d’une fonction
1) Inégalité de la moyenne
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant les réels a, b (a < b) et m, M deux nombres réels.
Si, pour tout x de I, on a :
(
)
f
mxM
≤≤
(on dit que f est bornée), alors
( ) ( ) ( )
f
b
a
mbaxdxMba
−≤≤−
∫
2) Valeur moyenne d’une fonction
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant les réels a et b (a < b). On appelle valeur moyenne
de f sur l’intervalle [a ;b] le nombre réel µ défini par
( )
1
=f
ba
b
a
xdx
µ−∫.
x
= a
x
= b
C f
C
g
∆
( ) ( )
( )
A= −
∫fxgxdx
a
b
O