Calcul intégral

CALCUL INTEGRAL
I) Intégrale d’une fonction continue
Définition : On considère une fonction f continue sur un intervalle I, F une primitive de f sur I. Soient a et b deux
éléments de I, le nombre F ( b) − F ( a ) est indépendant du choix de la primitive F.
Et on note : F ( b) − F ( a ) =
b
∫ f ( x)dx qui se lit « intégrale de a à b de f » ou « intégrale de f entre a et b » ou encore
a
« intégrale de f sur l’intervalle [a ;b] ».
Remarques : • Dans la notation de l’intégrale, la lettre x désigne une variable muette, sans signification particulière.
[
• Une notation commode du nombre F ( b) − F ( a ) est F ( x )
]a .
b
II) Intégrale d’une fonction positive et interprétation graphique
1) Intégrale d’une fonction positive
Propriété : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I contenant les nombres a et b (a < b) ; l’intégrale
b
∫ f ( x)dx est un réel positif.
a
2) Interprétation graphique
r r
Définition : on appelle unité d’aire du repère orthogonal (O, i , j ) , et on note u.a. l’aire d’un rectangle dont les
r
r
dimensions sont longueur du vecteur i et longueur du vecteur j .
Propriété : Dans un repère orthogonal, soit D la partie du plan délimitée par la représentation graphique d’une fonction
positive f, l’axe des abscisses et les droites (verticales) d’équations x = a et x = b (a < b).
b
∫ f ( x)dx .
L’aire du domaine D mesurée en u.a. est égale à
a
Remarque : pour le calcul en cm² de l’aire du domaine D , l’intégrale
b
∫ f ( x)dx est à multiplier par l’aire en cm² du
a
rectangle définissant l’u.a. (voir exemple ci-dessous).
Exemple : Soit f la fonction définie sur 3 par f ( x ) = e x + e −x − 2 et C f sa représentation graphique dans un repère
r r
r
r
orthogonal (O, i , j ) tel que i = 2 cm et j = 1 cm . Soit D la partie du plan délimitée par C f , l’axe des abscisses et
les droites d’équations x = 0 et x = 2 et A l’aire de D exprimée en cm².
Voici les étapes à suivre pour calculer l’aire A :
¬ Montrer que f est positive sur l’intervalle [0 ;2] pour
appliquer la propriété précédente : dans notre exemple,
(e )
f ( x ) pouvant s’écrire
x 2
− 2e x + 1
x
(e
=
x
)
−1
x
2
Cf
, il est
e
e
clair que la fonction f est même positive sur 3.
Á L’aire de D exprimée en u.a. est donc égale à
b
∫ f ( x)dx ; une primitive de f sur 3 étant
a
F: x a e x − e − x − 2 x , on a :
∫ f ( x)dx = [e
b
x
−e
−x
a
− 2x
]
2
0
=e −
2
1
e2
D
−4 .
1
1 u.a.= 2 cm²
 L’unité d’aire valant 2 cm², on a :
(
)
A = 2 e 2 − e −2 − 4 ≈ 6,5 cm² .
O
1
III) Propriétés de l’intégrale
Calcul intégral
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1) Relation de Chasles
Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant les réels a, b et c. On a :
¬
c
b
c
a
a
b
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
2) Linéarité de l’intégrale
Propriété : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant les réels a, b et k un nombre réel. α et β sont
des nombres réels. On a :
Á
∫
b
k f ( x )dx = k
a
Â
b
∫ f ( x)dx ;
a
b
b
b
a
a
a
∫ (α f ( x) + β g( x))dx = α∫ f ( x )dx + β∫ g ( x )dx .
3) Intégrale et inégalité
Propriété : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant les réels a, b (a < b).
Si pour tout x de I, on a f ( x ) ≥ g ( x ) alors
b
b
a
a
∫ f ( x )dx ≥ ∫ g( x) dx .
Remarque : la propriété Â permet d’écrire, en prenant α = 1 et β = −1,
Cf
∫ f ( x )dx − ∫ g( x) dx = ∫ ( f ( x) − g( x) )dx .
b
b
b
a
a
a
∆
Dans le cas de deux fonctions f et g positives sur [a ;b] et telles que
f ( x ) ≥ g ( x ) sur [a ;b],
∫
b
a
∫
∫(
b
a
∫ ( f ( x) − g( x) )dx
b
a
Cg
b
f ( x )dx − g ( x ) dx représente l’aire A, exprimée
a
en u.a., du domaine ∆ délimitée par les deux courbes C f et C g et les deux
droites d’équations x = a et x = b. Cette aire peut donc se calculer
directement avec
A=
f ( x ) − g ( x ) )dx .
O
x=a
x=b
IV Inégalité de la moyenne et valeur moyenne d’une fonction
1) Inégalité de la moyenne
Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant les réels a, b (a < b) et m et M deux nombres réels.
Si, pour tout x de I, on a m ≤ f ( x ) ≤ M (on dit que f est bornée), alors m(b − a ) ≤
b
∫ f ( x) dx ≤ M ( b − a)
a
2) Valeur moyenne d’une fonction
Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant les réels a, b (a < b). On appelle valeur moyenne de f
b
sur l’intervalle [a ;b] le nombre réel µ défini par µ = 1
f ( x )dx .
b−a a
∫
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