2013-2014

Universit´ ePierre&MarieCurie LicencedeMath
´
ematiques L3
UE LM365 – Int´ egration 2 Ann´ ee 2013–14
Examen partiel du 28 f´evrier 2014
Les documents et outils ´electroniques ne sont pas autoris´es.
Dur´ee : 2 heures.
Exercice 1. Enoncer pr´ecis´ement la d´efinition de la tribu produit et de la mesure produit.
Exercice 2. On d´esigne par la mesure de Lebesgue sur R. On se donne une fonction bor´elienne
int´egrable f:R!Rtelle que R]a,b[fd= 0 pour tout intervalle ouvert born´e non-vide ]a, b[⇢R. Le
but de cet exercice est de montrer que fest nulle presque partout, c’est-`a-dire que ({f6=0}) = 0.
a) On note f+= max{f,0}et f=min{f,0}. Montrer que pour tout bor´elien B, on a
ZB
fd=0() ZB f+d=ZB fd.
b) Montrer que pour tout intervalle ouvert Ide R, ´eventuellement non-born´e, on a
ZI
fd=0.
c) On consid`ere l’ensemble
C={B2B
R;ZB
fd=0},
i) Montrer que Cest une classe monotone de R.
ii) Montrer que C=BR.
d) Montrer que pour tout ">0lesensembles{f>"}et {f<"}sont de mesure nulle, et
conclure.
Solution de l’exercice 2.
a) Le fait que fsoit int´egrable entraˆıne que f+et fle sont aussi, et on ´ecrit ensuite que f=f+f.
b) Soit Iun intervalle ouvert non vide de R. Comme I\]N,N[ est (pour Nassez grand) un intervalle
ouvert born´e (non vide) on a, par hypoth`ese,
ZI\]N,N[
f+=ZI\]N,N[ f.
Par le th´eor`eme de convergence monotone on en tire que RIf+=RIf. Ainsi, RIf= 0.
c) i) On a R2Cd’apr`es la question pr´ec´edente. Soit (Bn) une suite croissante de bor´eliens de Rtelle
que pour tout non a RBnfd= 0. On note B=SBn.Ona
ZBn
f+d=ZBn fd.
Par le th´eor`eme de convergence monotone (pour les suites croissantes de fonctions positives 1Bnf+et
1Bnf) on voit que cette ´egalit´e est vraie lorsqu’on int`egre sur B, c’est-`a-dire que B2C. On a donc
1

prouv´e la stabilit´e par r´eunion croissante d´enombrable. Si B,C 2Cavec B⇢C, alors comme fest
int´egrable, on a RC\Bf=RCfRBf= 0. Ainsi, on a bien C\B2C.
c) ii) On remarque que Ccontient l’ensemble des intervalles ouverts de Rqui forme un ⇡-syst`eme
dont la tribu engendr´ee est BR. Le th´eor`eme de la classe monotone nous dit que la classe monotone
engendr´ee par ce ⇡-syst`eme est donc la tribu BR, et cette classe monotone engendr´ee est contenue
dans la classe montone C. Ainsi, on a bien C=BR.
d) Comme {f>0}est un bor´elien, on a R{f>0}f= 0, ce qui entraˆıne que ({f>0}) = 0. (On
peut d´etailler en introduisant plutˆot {f>"}, qui doit ˆetre clairement de mesure nulle puisque 0 =
R{f>"}f({f>"})", puis en prenant "=1/n et en passant `a la limite d´ecroissante).
On a de mˆeme pour {f<0}, et donc ({f6=0}) = 0.
Exercice 3. On se place sur R, muni de la tribu bor´elienne, et on consid`ere deux mesures sur cette
tribu : la mesure de Lebesgue et une mesure de probabilit´e µ. Pour tout r´eel t, on note
ˆµ(t)=ZR eixtdµ(x).
et
f(x)=sin x
xsi x6=0,f(0) = 1.
a) Montrer que ˆµest bien d´efinie et continue (donc mesurable) sur R.
b) Montrer que fest une fonction mesurable born´ee sur R.
c) Montrer soigneusement que pour tout r´eel T>0, on a
1
2TZT
T
ˆµ(t)d(t)=ZR f(Tx)dµ(x).
d) En d´eduire l’existence et la valeur de
lim
T!+1
1
2TZT
T
ˆµ(t)d(t).
e) On consid`ere le cas particulier µ=0, la mesure de Dirac en 0 2R(rappel : 0(B)=1B(0)
pour tout bor´elien Bde R) . Calculer la fonction ˆµet retrouver la valeur obtenue `a la question
pr´ec´edente.
Solution de l’exercice 3.
a) (x, t)7! eixt est continue en ses deux variables, domin´ee par la fonction constante `a 1, qui est
int´egrable par rapport `a la mesure finie µ: ainsi, par le th´eor`eme de continuit´e sous le signe
int´egrale, ˆµest bien d´efinie comme fonction continue, donc mesurable, sur R.
b) La fonction fest continue sur R(la continuit´e en 0 d´ecoule de limx!0sin x
x=1=f(0)), donc
mesurable et born´ee sur tout segment. Comme de plus ftend vers 0 en ±1, on en d´eduit que
fest born´ee sur Rpar une constante M.
c) La fonction (t, x)7! eixt est continue et born´ee donc int´egrable pour la mesure finie ⌦µsur
[T,T]⇥R. Le th´eor`eme de Fubini-Lebesgue permet donc d’avoir
1
2TZT
T
ˆµ(t)d(t)= 1
2TZT
TZR
eixtdµ(x)d(t)= 1
2TZRZT
T
eixtd(t)dµ(x).
Pour x6= 0, on a RT
Teixtd(t)= eixT eixT
ix et, pour x= 0, on a RT
Teixtd(t)=2T,d’o`u
1
2TZT
T
ˆµ(t)d(t)=ZR f(Tx)dµ(x).
2

d) Pour T>0, on peut dominer x7! f(Tx) par la fonction constante `a M, qui est µ-int´egrable.
Vu que limT!+1f(Tx) = 0 pour x6=0etf(T0) = 1, on a par convergence domin´ee :
lim
T!+1ZR
f(Tx)dµ(x)=Z{0} 1dµ(x)=µ({0}),
d’o`u, avec la question pr´ec´edente,
lim
T!+1
1
2TZT
T
ˆµ(t)d(t)=µ({0}).
e) Dans ce cas, on a b 0(t)=ei0= 1, la fonction constante ´egale `a 1 (qui est bien continue...). Et
comme 1
2TRT
T1d(t) = 1, on retrouve bien la valeur 0({0}) = 1.
Exercice 4.
On note dla mesure de Lebesgue sur Rd.
a) Avertissement : cette question NE fait PAS appel au chapitre 3 du cours, mais seulement aux
chapitres 1 et 2.
On se donne s>0. On pose, pour tout bor´elien Bde Rd,s
d(B):=d(sB) o`u par d´efinition
sB ={sx ;x2B}.
i) V´erifier que s
dest une mesure sur BRd.
ii) Calculer la s
d-mesure d’un rectangle Qd
i=1[ai,b
i] et en d´eduire que pour tout bor´elien Bon
ad(sB)=sdd(B), puis que pour toute fonction int´egrable f:Rd!Ron a
Zf(s1x)dd(x)=sdZfd
d.
b) Soit u:Rd!Rune fonction continue sur Rd. On suppose qu’il existe un k>0 tel que, pour
tout x2Rdet tout s>0 on a u(sx)=sku(x) (on dit que uest positivement k-homog`ene).
On notera k·kla norme euclidienne sur Rdet K={x2Rd;kxk1}la boule unit´e.
i) Montrer que la fonction x!u(x)ekxkappartient `a L1(Rd,
d).
On pourra v´erifier que M:= sup
kvk=1
|u(v)|est fini et majorer |u(x)|en fonction de Met kxk.
ii) Montrer que la fonction (t, x)!u(x)1[kxk,+1[(t)etest int´egrable sur R+⇥Rd(par rapport
`a la mesure de Lebesgue).
iii) Montrer qu’il existe une constante ck,d qui ne d´epend que de ket dtelle que
Zu(x)ekxkdd(x)=ck,d ZK
ud
d.
Solution de l’exercice 4.
a) La v´erification que s
dest une mesure est automatique. Comme sQd
i=1[ai,b
i]=Qd
i=1[sai,sb
i] on en
tire que s
d(Qd
i=1[ai,b
i]) = d(Qd
i=1[sai,sb
i]) = Qd
i=1 |sbisai|=sdd(Qd
i=1[ai,b
i]). Par l’unicit´e de la
construction de la mesure de Lebesgue, on en d´eduit que sds
d=d, comme demand´e. Pour l’int´egrale
de fonctions positives, on peut approcher par des fonctions ´etag´ees, ou remarquer simplement que
Zf(s1x)dd(x)=Z+1
0
d({x;f(s1x)>t})dt =Z+1
0
d(s{y;f(y)>t})dt
=Z+1
0
sdd({y;f(y)>t})dt =sdZfd
d.
3

o`u l’on convient d’utiliser dt pour la mesure de Lebesgue d1(t) en dimension 1. Et comme d’habitude,
pour une fonction de signe quelconque int´egrable, on ´ecrit f=f+f.
b)i) La fonction |u|est continue sur la sph`ere S={x/kxk=1}, donc born´ee par M>0surcet
ensemble. Ainsi, pour tout x2Rd, on a 0 |u(x)|Mkxkk. On peut remarquer ensuite que
ekxk/2⇥|x|sekxktend vers 0 lorsque x!+1, et donc est born´ee. Ainsi, on a montr´e qu’il existe une
constante C>0 telle que pour tout x2Rd,0|u(x)|ekxkCekxk/2. Comme x!ekxk/2est
dans L1(Rd), on en tire que la fonction propos´ee l’est aussi.
b)ii) On remarque que
ekxk=Z+1
kxk
etdt =ZR+ 1[kxk,+1[(t)etdt.
Cette ´ecriture est valide car t!etest int´egrable sur R+, et donc (par convergence domin´ee, ou par
convergence monotone) R+1
kxketdt =lim
n!+1Rn
kxketdt. Ainsi, le th´eor`eme de Fubini-Tonelli sur
R+⇥Rdpermet d’´ecrire
ZR+⇥Rd
|u(x)|1[kxk,+1[(t)etdtdd(x)=Z|u(x)|ekxkdd(x)<+1,
d’apr`es la question pr´ec´edente.
b)iii) Par le th´eor`eme de Fubini-Lebesgue, pour la fonction int´egrable (t, x)!u(x)1[kxk,+1[(t)et, on
aZu(x)ekxkdd(x)=Z+1
0 Z{kxkt}
u(x)dd(x)!etdt =Z+1
0✓ZtK
u(x)dd(x)◆dt.
D’apr`es le a) et l’homog´en´eit´e de u, on a, pour t>0fix´e,
ZtK
u(x)dd(x)=Z1tK (x)u(x)dd(x)=Z1K(x/t)u(x)dd(x)
puisque 1tK (x)=1
K(x/t). Mais d’apr`es la question a) on a
Z1K(x/t)u(x)dd(x)=tdZ1K(x)u(tx)dd(x)=td+kZK
ud
d.
On a donc bien, Zu(x)ekxkdd(x)=✓Z+1
0
tk+detdt◆ZK ud
d.
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Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3
UE LM365 – Intégration 2 Année 2013–14
Examen final du 16 mai 2014 (1ère session)
Durée : 2 heures. Tous documents interdits. La qualité et la rigueur de la rédaction seront
prises en compte.
Exercice 1. Énoncer un résultat du cours de votre choix reliant la convergence dans Lp(µ)
(p2[1,+1])etlaconvergenceµp.p.
Solution de l’exercice 1. Il s’agissait d’énoncer un des résultats de la Proposition 4.1 du cours.
Soit p2[1,+1],(E,A,µ)un espace mesuré et f,f0,f
1,f 2,... des fonctions mesurables allant
de Edans R.
a) [convergence Lp-dominée] Si fn!fµ-p.p. et qu’il existe g2Lptel que |fn|gpour tout
entier n,alorsfn
Lp
!f.
b) Si fn
Lp
!f,alors
i) Si p<1,ilexisteunesuiteextraitede(fn)qui converge vers fµ-p.p.
ii) Si p=+1,fn!funiformément en dehors d’un ensemble négligeable, donc fn!fµ-p.p.
On pouvait également évoquer l’unicité de la limite d’une suite qui converge simplement et
dans Lp.
Exercice 2. Soit (E,A)et (F, B)deux espaces mesurables. On cherche à redémontrer par
une méthode différente de celle utilisée dans le cours que les sections d’éléments de la tribu
produit A⌦Bsont mesurables. Soit x2E.
a) Pour C✓E⇥F,rappelercequedésignelasectiondeCen x,notéeCx,quiestune
partie de F.
b) Pour tous A✓Eet B✓F,caractériser(A⇥B)x.
c) Soit
⇤:={C✓E⇥F:Cx2B}.
Montrer que ⇤est un -système.
d) Montrer que ⇤contient A⇥B.
e) Conclure.
Solution de l’exercice 2.
a) D’après la Définition 2.9 du cours,
Cx:= {y2F:(x, y)2C}.
b) Bien entendu, la section en xde A⇥Best Bsi x2Aet ?sinon.
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