Intégration - Denis Feldmann

`eme
S7→ A(S)
R+
S1∩S2=⇒
A(S1∪S2) = A(S1) + A(S2)
f x f
A(f;x)
x
O
y
(Gf)
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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aX
g(X+ε)−g(X)
X+ε
A(f;X)
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`eme
f
a;b
Ox
f
X=a X =x
A(f;x)x
a;b x
x7→ g(x) = A(f;x)
g0(x) = f(x)g f
h f
g(x) = h(x)−h(a)
f x a

f
f:x7→ f(x) = |x|/x x 6= 0 f(0) = 0
a, b
F f a, b
f F + Constante
Rx2dx =x3/3+Cte
A(f;b)
Rb
af(x)dx f a, b
a b f RS
dx dx d
dxf(x)
Rb
af(x)dx F (b)−F(a)F f a, b
F
a b x
Rb
af(x)dx =Rb af(t)dt x
F(b)−F(a) =
hF(x)ib
aF(b)−F(a) = F(x)¯
¯
¯
b
aF a b
I
I=½a, b a < b
b, a b ≤a
ZI
f=Zd
c
f(x)dx
c= min(a, b)d= max(a, b)
x7→ F(x)−F(a) = Rx
af(t)dt
f a Rf(x)dx

f
fPrim(f)def ={F / F 0=f}
Zb
a
f(x)dx +Zc
b
f(x)dx =Zc
a
f(x)dx
a<b<c
Zb
a
(αf(x) + βg(x)) dx =αZb
a
f(x)dx +βZb
a
g(x)dx α β
Rb
af(x)g(x)dx
Zxαdx xα+1
α+ 1 + Cte α6=−1
Zdx
xln x+ Cte
Zekx dx ekx
k+ Cte
Zsin(ax +b)dx −cos(ax +b)
a+ Cte
Zcos(ax +b)dx sin(ax +b)
a+ Cte
Zdx
1 + x2Arc tg x+ Cte
Zdx
√1−x2Arc sin x+ Cte

Rf(x)g(x)dx
(UV )0=U0V+UV 0u=U0v=V0
Zb
a
u(x)V(x)dx =U(b)V(b)−U(a)V(a)−Zb
a
U(x)v(x)dx
Ru dv =uv −Rv du
R1
0x4exdx
(g◦f)0=f0×(g0◦f)
X=f(x)
Zb
a
f0(x)g(f(x)) dx =Zf(b)
f(a)
g(X)dX
Rxe−x2dx −1
2e−x2+Cte
x=f−1(X)
ϕ
C1a, b x =ϕ(t)
Zb
a
f(x)dx =Zϕ−1(b)
ϕ−1(a)
f(ϕ(t))ϕ0(t)dt
dx =dϕ(t) = ϕ0(t)dt
ϕ
t=ψ(x)ϕ=ψ−1
1/x 1/1+ x2
Arc tg

1
ln x
sin x
xe−x2xαexα6∈ N
R
x7→ Zx
e
dt
ln t(x)
n(n)
. . .
Rp2−sin2x dx
. . .
Rex3dx
x7→ P(x)/Q(x)P Q
deg(P)<deg(Q)
P=AQ+R P/Q =A+R/Q
Zn
X
k=0
akxkdx =
n
X
k=0
ak
k+ 1xk+1 + Cte
R/Q Q
R/Q
R/Q a
(x−α)n
bx +c
(x2+βx +γ)n
β2<4γ
Za dx
x−α=aln(x−α)+Cte
Za(x−α)kdx =a(x−α)k+1
k+ 1 + Cte
aX +b
(X2+ 1)nX=c1x+c2
aX
(X2+ 1)n
1
(X2+ 1)n
n