Primitives et intégrales

Chapitre
5
Partie Analyse
Primitives et intégrales
vv Objectifs vv
Ce chapitre a pour objectif, la mise en pratique, sur des exemples simples, le
calcul des primitives, de l’intégration par parties et du changement de variable :
û Primitives d’une fonction continue.
û Intégrale sur un segment et des inégalités remarquables.
û Méthodes et techniques de calcul d’intégrales.
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017
1 - Primitives d’une fonction continue.
Définition 1.1.
Soit f : I → K une application, où I est un intervalle de R. On dit que f admet une primitive sur I s’il
existe une application F de I vers K telle que :
i) F est dérivable sur I.
ii) ∀ x ∈ I : F 0 ( x) = f ( x).
Proposition 1.1.
Soit f , g : I → K des applications admettant des primitives sur I.
→ Si F1 et F2 deux primitives de f sur I alors il existe c de K tel que F1 ( x) = F2 ( x) + c, ∀ x ∈ I.
→ Si F et G deux primitives de f et g , respectivement, sur I alors pour tout α et β de K, l’application
αF + βG est une primitive de α f + βg sur I.
Remarques : 1. Les fonctions :
f 1 : R∗ −→ R
x 7−→ ln | x|
f 2 : R∗ −→ R
et
x
7−→
f ( x) =
admettent toutes les deux pour dérivée la fonction x 7−→
ln | x| − 1 si x < 0
ln | x| + 1 si x > 0
1
mais elles ne diffèrent pas d’une
x
constante , d’où :
2. Ce qui précède, vaut pour une fonction définie sur un intervalle. Si la fonction f est définie
sur une réunion d’intervalles disjoints, on est amené à introduire une constante par intervalle.
3. Exemples : Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
f : x 7→
x2
1
− 4x + 4
;
g : x 7→
x2
1
+x−6
;
h : x 7→
x2
1
− 2x + 2
Théorème 1.1. Théorème fondamental de l’analyse
• Toute fonction f continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.
• En particulier, pour a ∈ I, la fonction x 7−→
Z x
a
f (t)dt est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.
Remarques : 1. Une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives sur cet intervalle,
qui diffèrent toutes d’une constante. On prendra donc garde à ne jamais écrire des phrases
du type " Soit F la primitive de f sur I " mais plutôt " Soit F une primitive de f sur I".
2. Notation : Soit f : I → R une fonction continue. On note
Z
f (t)dt une primitive de f . Cette
notation n’est définie qu’à une constante près
:
Z
i π πh
Exemple : Sur l’intervalle − ,
on a : tan(t)dt = − ln | cos t| + C avec C ∈ R .
2 2
Deux formes à savoir résoudre
+ Calcul d’une primitive de x 7→ eax cos(bx) et de x 7→ eax sin(bx)
Pour calculer une primitive de x 7→ e ax cos(bx) ou x 7→ e ax sin(bx), on utilise le fait que ces fonctions sont
respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de x 7→ eαx avec α = a + ib.
eαx
eαx
Une primitive de x 7→ eαx est x 7→
. La partie réelle et la partie imaginaire de x 7→
sont donc
αax
α
ax
respectivement des primitives de x 7→ e cos(bx) et de x 7→ e sin(bx),.
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+ Primitive de x 7→
ax2
1
+ bx + c
1
.
ax2 + bx + c
I Si le trinôme aX 2 + bX + c admet deux racines réelles distinctes r1 et r2 (avec r1 < r2 ), on déterminer
deux réels C1 et C2 tels que :
Soit ( a, b, c) ∈ R3 avec a 6= 0. On cherche à déterminer une primitive de x 7→
∀ x ∈ R\{r1 , r2 };
Une primitive de x 7→
ax2
ax2
1
C2
C1
+
=
+ bx + c
x − r1
x − r2
1
sur ] − ∞, r1 [ , ]r1 , r2 [ , ]r2 , +∞[ est alors :
+ bx + c
x 7→ C1 ln | x − r1 | + C2 ln | x − r2 |
La valeur absolue assure la validité de cette primitive sur chacun des trois intervalles cités.
I Si le trinôme aX 2 + bX + c admet une racine double r, alors :
∀ x ∈ R\{r};
ax2
1
1
=
+ bx + c
a( x − r)2
1
−1
sur ] − ∞, r[ , ]r, +∞[ est tout simplement x 7→
+ bx + c
a( x − r)
2
I Si le trinôme aX + bX + c n’admet pas de racine réelle, on le met sous forme canonique
Une primitive de x 7→
ax2
∀ x ∈ R;
1
1
=
ax2 + bx + c
a[( x + α )2 + β2 ]
1
b
b2 − 4ac
mais peu importe. Une primitive de x 7→ 2
et β2 = −
est alors
2
2a
4a
ax + bx + c
1
x +α
x 7→
arctan
αβ
β
Remarques : 1. Il est inutile (et d’ailleurs impossible) de retenir ces résultats par coeur. Seuls les trois cas et
les méthodes associées sont à connaître.
2. Après avoir déterminé une primitive d’une fonction, on essaiera toujours de vérifier la validité de ses calculs en dérivant la primitive pour voir si on retrouve bien la fonction initiale.
On a en fait α =
2 - Intégrale d’une fonction continue sur un segment.
Définition 2.1.
Soit f ∈ C([ a, b], K). On appelle intégrale de f sur [ a, b] le scalaire définie par :
Z b
a
où F est une primitive de f sur [ a, b].
Remarques : 1.
Z b
a
Z b
2.
a
f (t)dt = F (b) − F ( a)
.
f (t)dt ne dépend pas de la primitive choisie, on note :
f (t)dt =
Z b
a
f ( x)dx =
Z b
a
Z b
a
f (t)dt = [ F (t)]ba = F (b) − F ( a).
f (u)du = . . .
Exercice .1.
Calculer les intégrales suivantes :
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Z 1
0
it
e dx;
Z 1
ix
e dx;
0
Z 1
eitx dx.
0
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Propriétés communes
å Linéarité : Soit f , g ∈ C([ a, b], K) et λ ∈ K.
→
Z b
a
(λ. f + g)( x)dx = λ
Z b
a
Z b
f ( x)dx +
→ En particulier si K = C alors :
Z b
a
a
g( x)dx.
f (t)dt =
Z b
a
Re( f )(t)dt + i
å Relation de Chasles : Soit f ∈ C([ a, b], K) et c ∈ [ a, b], alors :
Z b
a
Z b
a
Im( f )(t)dt .
f (t)dt =
Z c
a
f (t)dt +
Z b
c
f (t)dt .
Cas des fonctions à valeurs réelles
Soit f et g deux fonctions continues sur le segment [ a, b] à valeurs dans R. On a les résultats suivants :
å f > 0 sur [ a, b] =⇒
å f > g sur [ a, b] =⇒
Z b
a
Z b
a
f (t)dt > 0.
f (t)dt >
Z b
a
å Si f > 0 sur [ a, b] alors : f = 0 ⇐⇒
g(t)dt.
Z b
a
f (t)dt = 0.
å Si m 6 f 6 M sur [ a, b] alors m(b − a) 6
1
b−a
å Il existe c ∈ [ a, b] tel que : f (c) =
Z b
a
Z b
a
f (t)dt 6 M(b − a) où m et M des constantes réelles.
f (t)dt, dite 1ière formule de la moyenne.
Z b
Z b
å f (t)dt 6
| f (t)|dt dite inégalité de la moyenne.
a
a
å Interpretation géométrique :
Z b
a
| f (t)|dt est l’aire de la surface délimitée par la courbe de f , l’axe de
abscisses et les axes d’équations : x = a et x = b.
Deux inégalités à retenir
Z b
Z b
å Si f ∈ C([ a, b], K) alors f (t)dt 6
| f (t)|dt dite inégalité de la moyenne.
a
a
å Si f : [ a, b] → K est dérivable telle que | f 0 | 6 k sur [ a, b] (k > 0) alors | f (b) − f ( a)| 6 k|b − a| dite inégalité
des accroissements finis.
Z b
2 Z b
Z b
2
å Si f , g ∈ C([ a, b], K) alors : f (t) g(t)dt 6
| f (t)| dt.
| g(t)|2 dt dite inégalité de Cauchy-Schwarz.
a
a
a
3 - Méthodes de calcul .
Définition 3.1.
Une fonction f est dite de classe C 1 sur un intervalle I de R à valeurs dans K si f est dérivable sur I et
que f 0 est continue sur I. L’ensemble de ces fonctions est noté C 1 ( I, K).
Proposition 3.1. Intégration par parties
Si f et g sont des fonctions de classe C 1 sur l’intervalle [ a, b], alors :
Z b
a
0
f (t) g(t)dt =
[ f (t) g(t)]ba
−
Z b
a
f (t) g0 (t)dt
Remarque : L’intégration par parties est utile :
- pour calculer directement des intégrales où une fonction a une dérivée simple ;
- pour former une relation sur les termes d’une suites d’intégrales.
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Exercice .2. Intégrales de Wallis
On pose In =
π
2
Z
0
cosn ( x)dx Intégrales de Wallis .
n−1
In−2 .
n
2. Calculer I0 , I1 , en déduire I2 , I3 . Formules pour I2p ? pour I2p+1 .
3. Montrer que, pour tout n ∈ N, (n + 1) In In+1 = C où C est une constante.
1. Vérifier que, pour tout entier n > 2, In =
Exercice .3. Suites et intégrales
1. Soit un =
Z 1
(1 − x)n x
1
e dx : montrer que, pour tout n > 1, un = un−1 − .
n!
0
n!
!
1
∑ i! .
i =0
n
Calculer u0 . En déduire une expression de un à l’aide d’une somme et la limite : lim
n→+∞
2. Soit un =
3. Soit un =
Z e
Z1
0
(ln x)n dx ; établir une relation de récurrence vérifiée par la suite (un )n∈N .
π
xn cos( x)dx ; établir une relation de récurrence vérifiée par la suite (un )n∈N .
Proposition 3.2. Changement de variables
Soit f une fonction continue sur [ a, b] et ϕ, une fonction de classe C 1 sur le segment [α, β], telle que
ϕ(α ) = a et ϕ(β) = b, alors :
Z ϕ(β)
ϕ(α )
Pratique : On veut calculer l’intégrale
Z b
a
f ( x)dx =
Z β
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
α
f ( x)dx. On pose x = ϕ(t) où la fonction ϕ (bien choisie) est de classe
C 1 sur un intervalle contenant deux valeurs α, β telles que a = ϕ(α ) et b = ϕ(β).
• On effectue le changement de bornes :
t
α
β
x = ϕ(t) a = ϕ(α ) b = ϕ(β)
• On remplace tous les x par ϕ(t) et dx = ϕ0 (t)dt.
Cas courant : Si ϕ est , en plus , bijective , alors x = ϕ(t) ⇐⇒ ϕ−1 ( x) = t.
.
Posons ψ = ϕ−1 . On a t = ψ( x), dt = ψ0 ( x)dx et
x
a
b
t = ψ( x) ψ( a) ψ(b)
Attention : Après changement de variables, il ne doit subsister, dans l’intégrale, que des termes en la nouvelle
variable !
Exercice .4.
Calculer les intégrales suivantes, à l’aide du changement de variables indiqué.
Z 1
Z π
2
ex
cos( x)
x
I=
dx, avec t = e
I=
dx, avec t = sin( x).
x
2
+
e
2
+
sin( x)
Z0 1
Z0 1
x
1
√
I=
dx, avec x = tan(t) I =
dx, avec t = x2 .
2
2
0 (1 + x )
0 √1 + x4
Z 2
Z 2
√
√
1
x−1
√ dx, avec t = x
I=
I=
dx, avec t = x − 1.
x+1
x
1 x+
1
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Exercice .5.
1. Calculer I =
π
2
Z
0
sin( x)dx
x
avec t = tan( ).
(1 + cos( x))(1 + sin( x) + cos( x))
2
Z √3
dx
√
, en posant, successivement les changements de variables
0
(1 + x2 ) 1 − x2
Z
x+b
dx
1
x = sin(t) puis u = tan(t). On rappelle la primitive
= arctan
.
( x + b)2 + a2
a
a
Z 1
Z π
4
ln(1 + u)
π
du.
ln(1 + tan( x))dx en posant t = − x. En déduire la valeur de J =
3. Calculer I =
4
1 + u2
0
0
Z e2
dx
4. Calculer I =
, où n ∈ N, en posant t = ln( x).
n
e x ln ( x )
2. Calculer I =
5
Exercice .6. Fonction définie par intégrale
On pose : f (t) = √
1
1 + t4
Z 2x
et F ( x) =
x
f (t)dt.
1
1
, établir, pour x 6= 0, une relation entre F ( x) et F ( ).
u
2x
Z 2x
1
2. Pour x > 0, établir l’inégalité 0 6 F ( x) 6
dt. En déduire la valeur de lim F ( x).
x→+∞
t2
x
3. Donner alors la valeur de lim F ( x).
1. A l’aide du changement t =
x→0+
4. Étudier la parité de F. En déduire la valeur de lim F ( x)
x→0−
Exercice .7.
Pour n ∈ N, on pose un =
Z 1
√
xn 1 − xdx.
0
√
1. A l’aide du changement de variables y = 1 − x, calculer u0 , u1 .
n n (−1)k
Plus généralement, prouver un = 2 ∑
.
k 2k + 3
k=0
2n
2. Établir, pour tout n > 1 la relation : un =
( u n − 1 − u n ).
3
22n+2 (n!)2 (n + 1)
En déduire, à l’aide d’un raisonnement par récurrence : un =
.
(2n + 3)!
4 - Sommes de Reimann.
Théorème 4.1. Sommes de Darboux
Soit f ∈ C M ([ a, b], K). On pose pour tout n de N∗ :
b − a n−1
b−a
b−a n
b−a
dn =
f
a
+
k
et
D
=
f
a
+
k
.
n
n k∑
n
n k∑
n
=0
=1
appelé sommes de Darboux inférieure et supérieure . On a :
lim dn = lim Dn =
n→+∞
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n→+∞
6
Z b
a
f (t)dt
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Exercice .8. Premiers exemples
Calculer
Z 1
0
x2 dx et
Z 1
0
x3 dx en utilisant des sommes de Riemann .
Exercice .9. Sommes de Riemann
Déterminer les limites des suites définies par le terme général suivant :
n
un =
n
n
n
k
1
√
;
v
=
;
w
=
n
n
∑
∑
2 + k2
2 + k2
2
n
n
n + 2kn
k=1
k=1
k=1
∑
Exercice .10. Sommes de Riemann
1. Calculer les limites lim Sn dans les cas suivants :
n→+∞
n √
n
1
1
Sn = √ ∑ k,
Sn = ∑ √
.
n n k=1
n2 + kn
k=1
en utilisant des sommes de Reimann.
2. Calculer les limites lim Sn dans les cas suivants :
n→+∞
n1
n1
n−1
1
n!
2n
,
Sn = ∑ √
.
,
Sn =
Sn =
2
2
nn
n
n −k
k=0
Indication : On ne peut pas utiliser les sommes de Riemann. En revanche, f est croissante ce qui nous
permet de procéder par encadrements.
Exercice .11. Sommes de Riemann
Déterminer les limites des suites ci-dessous :
n
n
n
∑
∑
k2 + n
k + n2
k=0
n
k2
∏ 1 + n2
k=1
1
nα
s
2n
k
∑ (n + k )2
k=1
√
1 n √
n
n+k
∏
n k=1
1
n2 + nk + k2
1
∑ sin n + k
k=1
k=1
n
n+1999
∑
k=10
n2
k
∑ (n + k )2
k=1
k
(n + k )2
( a + 1)( a + 2)...( a + n)
n!
1/n
a réel positif.
Exercice .12. D’autres formes
1. Soient f et g continues sur [0, 1], à valeurs réelles. Déterminer :
n−1
1 p
p+1
lim ∑ f
g
n→+∞
n
n
p=0 n
2. Soit f de classe C 1 sur [0, 1], à valeurs réelles, telle que f (0) = 0. Déterminer :
n
lim
n→+∞
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∑
f
p=1
7
p p f
n
n2
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Exercice .13. Sommes de Riemann et équivalents
1. Soit f de classe C 1 de [ a, b] dans R. Démontrer que :
Z b
a
b − a n−1
f ( x)dx −
f
n k∑
=0
b−a
a+k
n
n−1
Exemple : Déterminer un équivalent de :
∑
k=0
(b − a)[ f (b) − f ( a)]
=
+o
2n
1
n
n−1
n
n
−
lim
2 + k2
n2 + k2 n→+∞ k∑
n
=0
2. Soit f de classe C 2 de [ a, b] dans R. Montrer que, quand n → ∞ :
Z b
a
b − a n−1
f ( x)dx −
f
n k∑
=0
b−a
a+k
n
(b − a)[ f (b) − f ( a)] (b − a)2 0
−
[ f (b) − f 0 ( a)] + o
=
2n
12n2
Exercice .14. Dernières sommes de Riemann
1. Calculer :
Z π
0
ln(1 − 2a cos x + a2 )dx ( a ∈ R − {−1, 1}) en utilisant des sommes de Riemann.
2. Même question pour
Z 2π
0
dt
( z ∈ C − U).
z − eit
F ii n
n
1
n2