Primitives et intégrales

Chapitre 5
Partie Analyse
Primitives et intégrales
vv Objectifs vv
Ce chapitre a pour objectif, la mise en pratique, sur des exemples simples, le
calcul des primitives, de l’intégration par parties et du changement de variable :
ûPrimitives d’une fonction continue.
ûIntégrale sur un segment et des inégalités remarquables.
ûMéthodes et techniques de calcul d’intégrales.
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017

1 - Primitives d’une fonction continue.
Soit f:I→Kune application, où Iest un intervalle de R. On dit que fadmet une primitive sur Is’il
existe une application Fde Ivers Ktelle que :
i) Fest dérivable sur I.
ii) ∀x∈I:F0(x) = f(x).
Définition 1.1.
Soit f,g:I→Kdes applications admettant des primitives sur I.
→Si F1et F2deux primitives de fsur Ialors il existe cde Ktel que F1(x) = F2(x) + c,∀x∈I.
→Si Fet Gdeux primitives de fet g, respectivement, sur Ialors pour tout αet βde K, l’application
αF+βGest une primitive de αf+βgsur I.
Proposition 1.1.
Remarques : 1. Les fonctions :
f1:R∗−→ R
x7−→ ln |x|
et f2:R∗−→ R
x7−→ f(x) = ln |x|−1 si x<0
ln |x|+1 si x>0
admettent toutes les deux pour dérivée la fonction x7−→ 1
xmais elles ne diffèrent pas d’une
constante , d’où :
2. Ce qui précède, vaut pour une fonction définie sur un intervalle. Si la fonction fest définie
sur une réunion d’intervalles disjoints, on est amené à introduire une constante par intervalle.
3. Exemples : Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
f:x7→ 1
x2−4x+4;g:x7→ 1 x2+x−6;h:x7→ 1 x2−2x+2
•Toute fonction fcontinue sur un intervalle Iadmet une primitive sur I.
•En particulier, pour a∈I, la fonction x7−→ Zx
af(t)dt est l’unique primitive de fsur Iqui s’annule en a.
Théorème 1.1. Théorème fondamental de l’analyse
Remarques : 1. Une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives sur cet intervalle,
qui diffèrent toutes d’une constante. On prendra donc garde à ne jamais écrire des phrases
du type " Soit Fla primitive de fsur I" mais plutôt " Soit Fune primitive de fsur I".
2. Notation : Soit f:I→Rune fonction continue. On note Zf(t)dt une primitive de f. Cette
notation n’est définie qu’à une constante près :
Exemple : Sur l’intervalle i−π
2,π 2hon a : Ztan(t)dt =−ln |cos t|+Cavec C∈R.
Deux formes à savoir résoudre
+Calcul d’une primitive de x7→ eax cos(bx)et de x7→ eax sin(bx)
Pour calculer une primitive de x7→ eax cos(bx)ou x7→ eax sin(bx), on utilise le fait que ces fonctions sont
respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de x7→ eαxavec α=a+ib.
Une primitive de x7→ eαxest x7→ eαx
α. La partie réelle et la partie imaginaire de x7→ eαx αsont donc
respectivement des primitives de x7→ eax cos(bx)et de x7→ eax sin(bx),.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 2 MPSI 2016-2017

+Primitive de x7→ 1
ax2+bx +c
Soit (a,b,c)∈R3avec a6=0. On cherche à déterminer une primitive de x7→ 1
ax2+bx +c.
ISi le trinôme aX2+bX +cadmet deux racines réelles distinctes r1et r2(avec r1<r2), on déterminer
deux réels C1et C2tels que :
∀x∈R\{r1,r2};1
ax2+bx +c=C1 x−r1+C2 x−r2
Une primitive de x7→ 1
ax2+bx +csur ]−∞,r1[,]r1,r2[,]r2,+∞[est alors :
x7→ C1ln |x−r1|+C2ln |x−r2|
La valeur absolue assure la validité de cette primitive sur chacun des trois intervalles cités.
ISi le trinôme aX2+bX +cadmet une racine double r, alors :
∀x∈R\{r};1
ax2+bx +c=1 a(x−r)2
Une primitive de x7→ 1
ax2+bx +csur ]−∞,r[,]r,+∞[est tout simplement x7→ −1 a(x−r)
ISi le trinôme aX2+bX +cn’admet pas de racine réelle, on le met sous forme canonique
∀x∈R;1
ax2+bx +c=1 a[(x+α)2+β2]
On a en fait α=b
2aet β2=−b2−4ac 4a2mais peu importe. Une primitive de x7→ 1 ax2+bx +cest alors
x7→ 1
αβ arctan x+α β
Remarques : 1. Il est inutile (et d’ailleurs impossible) de retenir ces résultats par coeur. Seuls les trois cas et
les méthodes associées sont à connaître.
2. Après avoir déterminé une primitive d’une fonction, on essaiera toujours de vérifier la vali-
dité de ses calculs en dérivant la primitive pour voir si on retrouve bien la fonction initiale.
2 - Intégrale d’une fonction continue sur un segment.
Soit f∈ C([a,b],K). On appelle intégrale de fsur [a,b]le scalaire définie par :
Zb
af(t)dt =F(b)−F(a).
où Fest une primitive de fsur [a,b].
Définition 2.1.
Remarques : 1. Zb
af(t)dt ne dépend pas de la primitive choisie, on note : Zb af(t)dt = [F(t)]b
a=F(b)−F(a).
2. Zb
af(t)dt =Zb af(x)dx =Zb af(u)du =. . .
Calculer les intégrales suivantes : Z1
0eitdx;Z1 0eixdx;Z1 0eitxdx.
Exercice .1.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 3 MPSI 2016-2017

Propriétés communes
åLinéarité : Soit f,g∈ C([a,b],K)et λ∈K.
→Zb
a(λ.f+g)(x)dx =λZb af(x)dx +Zb ag(x)dx.
→En particulier si K=Calors : Zb
af(t)dt =Zb aRe(f)(t)dt +iZb aIm(f)(t)dt .
åRelation de Chasles : Soit f∈ C([a,b],K)et c∈[a,b], alors : Zb
af(t)dt =Zc af(t)dt +Zb cf(t)dt .
Cas des fonctions à valeurs réelles
Soit fet gdeux fonctions continues sur le segment [a,b]à valeurs dans R. On a les résultats suivants :
åf>0 sur [a,b] =⇒Zb
af(t)dt >0.
åf>gsur [a,b] =⇒Zb
af(t)dt >Zb ag(t)dt.
åSi f>0 sur [a,b]alors : f=0⇐⇒ Zb
af(t)dt =0.
åSi m6f6Msur [a,b]alors m(b−a)6Zb
af(t)dt 6M(b−a)où met Mdes constantes réelles.
åIl existe c∈[a,b]tel que : f(c) = 1
b−aZb
af(t)dt, dite 1ière formule de la moyenne.
åZb
af(t)dt
6Zb
a|f(t)|dt dite inégalité de la moyenne.
åInterpretation géométrique :Zb
a|f(t)|dt est l’aire de la surface délimitée par la courbe de f, l’axe de
abscisses et les axes d’équations : x=aet x=b.
Deux inégalités à retenir
åSi f∈ C([a,b],K)alors Zb
af(t)dt
6Zb
a|f(t)|dt dite inégalité de la moyenne.
åSi f:[a,b]→Kest dérivable telle que |f0|6ksur [a,b](k>0) alors |f(b)−f(a)|6k|b−a|dite inégalité
des accroissements finis.
åSi f,g∈ C([a,b],K)alors : Zb
af(t)g(t)dt
2
6Zb
a|f(t)|2dt.Zb a|g(t)|2dt dite inégalité de Cauchy-Schwarz.
3 - Méthodes de calcul .
Une fonction fest dite de classe C1sur un intervalle Ide Rà valeurs dans Ksi fest dérivable sur Iet
que f0est continue sur I. L’ensemble de ces fonctions est noté C1(I,K).
Définition 3.1.
Si fet gsont des fonctions de classe C1sur l’intervalle [a,b], alors :
Zb
af0(t)g(t)dt =[f(t)g(t)]b
a−Zb
af(t)g0(t)dt
Proposition 3.1. Intégration par parties
Remarque : L’intégration par parties est utile :
- pour calculer directement des intégrales où une fonction a une dérivée simple;
- pour former une relation sur les termes d’une suites d’intégrales.
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On pose In=Zπ
2
0cosn(x)dx Intégrales de Wallis .
1. Vérifier que, pour tout entier n>2, In=n−1
nIn−2.
2. Calculer I0,I1, en déduire I2,I3. Formules pour I2p? pour I2p+1.
3. Montrer que, pour tout n∈N,(n+1)InIn+1=Coù Cest une constante.
Exercice .2. Intégrales de Wallis
1. Soit un=Z1
0
(1−x)n
n!exdx: montrer que, pour tout n>1, un=un−1−1 n!.
Calculer u0. En déduire une expression de unà l’aide d’une somme et la limite : lim
n→+∞ n
∑
i=0
1
i!!.
2. Soit un=Ze
1(ln x)ndx ; établir une relation de récurrence vérifiée par la suite (un)n∈N.
3. Soit un=Zπ
0xncos(x)dx ; établir une relation de récurrence vérifiée par la suite (un)n∈N.
Exercice .3. Suites et intégrales
Soit fune fonction continue sur [a,b]et ϕ, une fonction de classe C1sur le segment [α,β], telle que
ϕ(α) = aet ϕ(β) = b, alors :
Zϕ(β)
ϕ(α)f(x)dx =Zβ α
f(ϕ(t))ϕ0(t)dt.
Proposition 3.2. Changement de variables
Pratique : On veut calculer l’intégrale Zb
af(x)dx. On pose x=ϕ(t)où la fonction ϕ(bien choisie) est de classe
C1sur un intervalle contenant deux valeurs α,βtelles que a=ϕ(α)et b=ϕ(β).
•On effectue le changement de bornes : tα β
x=ϕ(t)a=ϕ(α)b=ϕ(β)
•On remplace tous les xpar ϕ(t)et dx =ϕ0(t)dt.
Cas courant : Si ϕest , en plus , bijective , alors x=ϕ(t)⇐⇒ ϕ−1(x) = t.
Posons ψ=ϕ−1. On a t=ψ(x),dt =ψ0(x)dx et x a b
t=ψ(x)ψ(a)ψ(b)
.
Attention : Après changement de variables, il ne doit subsister, dans l’intégrale, que des termes en la nouvelle
variable !
Calculer les intégrales suivantes, à l’aide du changement de variables indiqué.
I=Z1
0
ex
2+exdx, avec t=exI=Zπ
2
0
cos(x)
2+sin(x)dx, avec t=sin(x).
I=Z1
0
1
(1+x2)2dx, avec x=tan(t)I=Z1
0
x
√1+x4dx, avec t=x2.
I=Z2
1
1
x+√xdx, avec t=√x I =Z2
1
√x−1
x+1dx, avec t=√x−1.
Exercice .4.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 5 MPSI 2016-2017