Algèbre Applications linéaires

Algèbre
Applications linéaires
Denis Vekemans ∗
Exercice 1 Soit fune application de Edans F. Parmi les applications ci-dessous, trouver celles qui
sont linéaires. Puis, pour ces dernières, déterminer le noyau et l’image et préciser si elles sont injectives,
surjectives ou bijectives.
(1) Soit (a, b)∈R2donné. E=F=R,f(x) = ax +b.
(2) E=F=R,f(x) = cos x.
(3) E=R2,F=R3,f(x, y) = (0,2x+y, x + 3y).
(4) E=R2,F=R3,f(x, y) = (x−y, x +y, xy).
(5) E=F=R3,f(x, y, z) = (x, x +y, x −z).
(6) E=F=C(R),f(α) = α+ 1.
(7) Soit τ∈R+donné. E=F=C(R),f(α) = ατ, où ατ(x) = α(τ+x).
Exercice 2 (1) Soit fune application de R2dans R3définie par
f(x, y) = (x, 2x+y, y).
(a) Montrer que fest linéaire.
(b) Déterminer ker(f)et Im(f).
(2) Soit gune application de R3dans R2définie par
g(x, y, z) = (x+y, 5x−2y+z).
(a) Montrer que gest linéaire.
(b) Déterminer ker(g)et Im(g).
(3) Montrer que g◦fest un automorphisme de R2.
Exercice 3 Soient fet gles applications de R3dans R3définies par
f(x, y, z) = (x+y+z, x + 2y−z, 2x−y+z),
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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et
g(x, y, z) = (x+ 2y+ 3z, 4x+ 5y+ 6z, 7x+ 8y+ 9z).
(1) Montrer que fest linéaire. Montrer que gest linéaire.
(2) Déterminer le noyau et l’image de f.fest-elle injective ? Est-elle surjective ? Déterminer le noyau et
l’image de g.gest-elle injective ? Est-elle surjective ?
(3) Montrer que ker(f)⊕Im(f) = R3. Montrer que ker(g)⊕Im(g) = R3.
Exercice 4 Soit R2[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
2. Soit f:R2[X]→R3définie par f(P) = (P(−1), P (0), P (1)). Montrer que fest un isomorphisme
d’espaces vectoriels.
Exercice 5 Soit R3[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
3. Soit f:R3[X]→R2définie par f(P) = (P(−1), P (2)). Montrer que fest un morphisme d’espaces
vectoriels. Déterminer ker(f)et Im(f).
Exercice 6 Soit R[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, fet gles applications de R[X]
dans R[X]définies par
(∀P∈R[X]) (f(P) = P′, g(P) = X·P).
(1) Vérifier que fet gsont linéaires.
(2) Montrer que fest surjective et non injective.
(3) Montrer que gest injective et non surjective.
Exercice 7 Soit R2[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
2.fl’application de R2[X]dans R[X]définie par
(∀P∈R2[X]) (f(P) = (X+ 1)P′+P.
1. Démontrer que fest un endomorphisme de l’espace vectoriel R2[X].
2. Démontrer que fest inversible et calculer f−1.
Exercice 8 Soit fl’application de R3dans R3définie par
f(x, y, z) = (x, −3y+ 4z, −2y+ 3z).
(1) Montrer que fest linéaire.
(2) Soit (e1, e2, e3)la base canonique de R3. Montrer que la famille (f(e1), f(e2), f(e3)) est une base de R3.
En déduire que fest bijective.
(3) Calculer f◦f. En déduire l’expression de f−1.
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Exercice 9 Soit a= (a1, a2, a3)un vecteur non nul de R3. Soit Ll’application de R3dans Rdéfinie
par
L(x1, x2, x3) = x1a1+x2a2+x3a3.
(1) Montrer que Lest un épimorphisme.
(2) Déterminer ker(L).
Exercice 10 Soit V={a∈RN;∀n≥0, an+2 = 2an+1 + 3an}.
(1) Montrer que Vest un sous-espace vectoriel de RN.
(2) Montrer que dimRV= 2 puis que les suites (3k)k∈Net ((−1)k)k∈Nforment une base de V.
Exercice 11 Soit Eun espace vectoriel et soit pun endomorphisme de Evérifiant p◦p=p.
Montrer que E= ker(p)⊕Im(p).
Exercice 12 Septembre 2004.
On considère les fonctions réelles h1et h2définies par :
∀x∈R, h1(x) = ex, h2(x) = e−x.
On définit l’ensemble
E={f∈RRtel que ∃(a, b)∈R2, f =ah1+bh2}.
(1) Montrer que Eest un sous-espace vectoriel de RR.
(2) Déterminer une base de Eet en déduire que dimRE= 2.
(3) Soit φ:E→R2l’application définie par φ(f) = (f(0), f (1)). Montrer que φest un isomorphisme.
(4) Soit ψl’application qui, à une application fde Eassocie sa dérivée f′.
(a)Vérifier que ψest un endomorphisme de E.
(b)Calculer ψ◦ψ. En déduire que ψest bijective.
Exercice 13 Soit Eun R-espace vectoriel et soit fun endomorphisme de Evérifiant f2−Id = 0.
Montrer que E= ker(f+Id)⊕ker(f−Id).
Exercice 14 Soit Eun R-espace vectoriel et soit fun endomorphisme de Evérifiant f2−3f−4Id = 0.
Montrer que E= ker(f+Id)⊕ker(f−4Id).
Exercice 15 Soit Eun R-espace vectoriel et soit b∈Rdonné. Soit pun projecteur de Edonné (i.e.
p2=p).
Résoudre en xl’équation x+p(x) = b.
Exercice 16 Soit Eun R-espace vectoriel et soit b∈Rdonné. Soit sune symétrie de Edonnée (i.e.
s2=Id).
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Résoudre en xl’équation x+ 2s(x) = b.
Exercice 17 Soit Eun R-espace vectoriel, soit a∈R\{−1}donné et soit u∈Edonné. Soit fune
application linéaire de Edans Etelle que f3=Id.
Résoudre en xl’équation x+af(x) = u.
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI,
PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
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