Exercice 1 : méthode de Héron d`Alexandrie. Exercice 2 : étude de

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Exercice 1 : méthode de Héron d'Alexandrie.
Soit α un réel strictement supérieur à 1 et
p
un entier naturel tel que :
( p 1)2≤α≤ p 2 .
On considère la suite (u n ) définie par u 0= p et pour tout n∈ℕ par :
u n+1=
1
u +α
2 n un
(
)
1- Démontrer que : ∀n∈ℕ on a : u n>0
2- Démontrer que : ∀ n∈ℕ on a : u n≥ √ α
3- Déterminer le sens de variation de la suite (u n ) puis justifier que le suite (u n ) est
convergente.
4- Montrer que : ∀ n∈ℕ∗ , on a : u n
√α≤
1
( 2 √ α)
2
n
1
. En déduire la limite de la suite (u n )
Exercice 2 : étude de continuité.
Étudier en tout point de ℝ la continuité des applications définies par :
f (x)=x+√ x E (x) et g (x )=E (x)+√ x E(x )
Exercice 3 : noyau de Dirichlet
Pour n∈ℕ∗ fixé, on considère l'application suivante appelée noyau de Dirichlet.

x

sin  (2n + 1) 

2
 K ( x) = 
si x ∈ R \ 2π Z

x
2sin  
K : x∈ R a 
2


1
 K ( x) = (2n + 1) si x ∈ 2π Z
2

Avec 2 π ℤ={2k π , k ∈ℤ}
1- Montrer que K est une application périodique.
2- Montrer que
K est continue sur ℝ .
n
3- Montrer que : ∀ x∈ℝ , on a :
∑ cos(kx )=K ( x)
k =1
1/4
1
2
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Exercice 4
a- Montrer qu'une application linéaire transforme une famille liée en une famille liée.
b- Montrer qu'une application linéaire injective transforme une famille libre en une famille libre.
c- Montrer qu'une application linéaire surjective transforme une famille génératrice en une famille
génératrice.
d- Montrer qu'un isomorphisme transforme une base en un base.
Exercice 5
Soit
E un
K espace vectoriel de dimension 1.
Montrer que tout vecteur non nul de E, forme une base de
E .
Exercice 6 : familles libres de polynômes.
1- Soit ℝn [ X ] avec n∈ℕ . Soit ( P k )0≤k ≤n une famille de polynômes de ℝn [ X ] , telles
que : ∀ k , 0≤k ≤n , deg (P k )=k .
1-a- Démontrer que la famille ( P k )0≤k ≤n est libre.
1-b- En déduire que c'est une base de ℝn [ X ]
2-a- Dans ℝ2 [ X] , montrer que la famille (1,( X 1),( X 1)2 ) forme une base.
2-b- Déterminer l'écriture des polynômes 1, X , et X 2 dans cette base, puis l'écriture d'un polynôme
quelconque a+bX+cX2 .
Exercice 7
On pose E=ℝ [ X ] , le ℝ espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour tout
P ∈E , f (P)=P XP ' .
1-a- Résoudre l’équation différentielle y xy '=1 .
1-b- Possède-t-elle des solutions sur ℝ ?
2- Prouver que
f est un endomorphisme de E.
3- Déterminer son noyau :
4-
f est-elle injective ?
f est-elle surjective ?
5- f 2 est-elle injective ? Surjective ? Déterminer
2/4
Ker ( f 2 ) .
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Exercice 8
On considère ici ℂ comme ℝ -espace vectoriel, et l’application f définie sur ℂ par :
f ( z )=z +a ̄z , où a ∈ℂ∗ est fixé.
1- Montrer que f est un endomorphisme de ℂ .
2- En déterminer le noyau et l’image.
Exercice 9
Soit le ℝ espace vectoriel
E=ℝ 2 . On définit u 1=(1 ;1) et u 2=(2 ; 3) .
F =vect (u1 ) et G=vect (u 2 ) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires
1- Vérifier que
dans E .
2- Calculer l’expression du projecteur p sur F parallèlement à G .
Comment peut-on vérifier la cohérence du résultat ?
3- Calculer l’expression de la symétrie s par rapport à F parallèlement à G .
Et de la symétrie t par rapport à G , parallèlement à F ?
Exercice 10 (*)
Soit f , un endomorphisme d’un espace vectoriel
Montrer que :
E = Im( f ) ⊕ Ker ( f )
E vérifiant
f 3= f .
Exercice 11 (*)
Soit
E , un ℝ espace vectoriel et
f ∈ L( E ; R) , une forme linéaire non-nulle sur
f une application surjective.
1- Prouver que
2- Montrer qu’il existe a ∈ E tel que :
E = Ker ( f ) ⊕ Vect ( a)
Exercice 12 (*)
Soit
E un espace vectoriel et
Montrer que
f ∈ L( E ) , un endomorphisme de
f ( Ker ( f ∘ f ))=Im ( f )∩Ker ( f ) .
3/4
E .
E .
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Exercice 13 (*)
Soient E et F , deux espaces vectoriels, et des applications u ∈L(E ; F ) et v ∈ L( F ; E )
telles que : v ∘u=Id E
u ∘ v calculer ( (u ∘ v)∘(u ∘ v) ) ?
1- Que peut-on dire de
2- Montrer que :
F = Im(u ) ⊕ Ker (v)
Exercice 14 (*)
Soit f , un endomorphisme d’un K espace vectoriel
E , la famille ( x , f ( x)) est liée.
E tel que, pour tout vecteur
x de
a- Vérifier que cela signifie : ∀ x∈E ,∃λ x ∈K , f ( x)=λ x x .
b- Montrer que f est une homothétie, autrement dit que : f vérifie :
∃λ∈K , ∀ x ∈ E , f ( x)=λ x
Indication : pour a ∈ E fixé et
(a ; x ) libre ou liée.
x ∈ E , considérer λ a , λ x et λ a+ x et séparer les cas
Exercice 15 (*)
Soit
p , un projecteur d’un
K -espace vectoriel
1- Montrer que q est un projecteur et
E . On pose q=Id E
p et
s= p q .
s une symétrie.
2- On pose :
L={u∈L( E )∣∃ f ∈ L( E ) , u= f ∘ p} ; M ={u ∈L( E )∣∃ f ∈L ( E) , u= f ∘ q} .
Montrer que
L et
M sont des sous-espaces supplémentaires dans
*** Fin du sujet ***
4/4
L( E) .