Calcul matriciel

Calcul matriciel 1
Chapitre 3
Calcul matriciel
3.1 Matrices d´ecompos´ees en blocs
Nous consid´ererons, par ordre de g´en´eralit´e croissante, les matrices diagonales, triangulaires,
diagonales par blocs, triangulaires par blocs et enfin, pour terminer, la th´eorie g´en´erale
3.1.1 Matrices diagonales
D´efinition 1 Soit (λ1, . . . ,λn)∈Kn, la matrice diagonale not´ee Diag(λ1, . . . ,λn)est la matrice
λ10· · · 0
0.......
.
.
.
.
.......0
0· · · 0λn
L’ensemble des matrices diagonales de Mn(K)se note Dn(K)
Remarque: Diag(λ1, . . . ,λn) = (δij λi)i,j∈[1,n]= (δij λj)i,j∈[1,n].
Proposition 1 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension net B= (e1, . . . ,en)une base de E.
Un endomorphisme uposs`ede, dans B, une matrice diagonale si et seulement si
∀i∈[1,n]u([ei]) ⊂[ei].
[Ind] Appliquer la d´efinition de la matrice dans une base donn´ee d’un endomorphisme.
Th´eor`eme 1 Dn(K)est une sous-alg`ebre pleine commutative de Mn(K)de dimension n.
Une matrice diagonale Diag(λ1, . . . ,λn)a pour d´eterminant λ1· · · λn. Elle est inversible si et
seulement si pour tout i∈[1,n]λi6= 0. Son inverse est alors la matrice diagonale Diag(λ−1
1, . . . ,λ−1
n).
[Ind] Calculer le produit de deux matrices diagonales. Calculer le d´eterminant en le d´eveloppant suivant
la premi`ere colonne et conclure en effectuant une d´emonstration par r´ecurrence.
3.1.2 Matrices triangulaires
D´efinition 2 La matrice A= (aij )i,j∈[1,n]∈ Mn(K)est:
- triangulaire sup´erieure si ∀i,j ∈[1,n]j < i =⇒aij = 0.
- triangulaire inf´erieure si ∀i,j ∈[1,n]i < j =⇒aij = 0.
Proposition 2 Soit Eun Kev de dimension net B= (e1, . . . ,en)une base de E. Un endomor-
phisme uposs`ede, dans B, une matrice triangulaire sup´erieure si et seulement si
∀k∈[1,n]u([e1, . . . ,ek]) ⊂[e1, . . . ,ek].

2 Calcul matriciel
[Ind] Appliquer la d´efinition de la matrice d’un endomorphisme dans une base donn´ee.
Proposition 3 Soit Eun Kev de dimension net B= (e1, . . . ,en)une base de E. Si l’endo-
morphisme uposs`ede, dans la base B, une matrice triangulaire sup´erieure, alors la matrice de u
dans la base (en, . . . ,e1)est triangulaire inf´erieure.
[Ind] Calculer...
Th´eor`eme 2 L’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures de Mn(K)est une sous-alg`ebre
pleine (non commutative si n≥2) de Mn(K)de dimension n(n+1)
2.
Une matrice A= (aij )i,j∈[1,n]∈ Mn(K)triangulaire sup´erieure a pour d´eterminant le pro-
duit des ´el´ements diagonaux a11a22 · · · ann. Elle est inversible si et seulement si pour tout i∈
[1,n]aii 6= 0. Son inverse est alors une matrice triangulaire sup´erieure dont les ´el´ements dia-
gonaux sont, terme `a terme, les inverses des ´el´ements diagonaux de la matrice A.
[Ind] Appliquer la proposition pr´ec´edente en se ramenant aux endomorphismes de Knassoci´es aux
matrices consid´er´ees
Remarque: Si A=
λ1N
...
0λn
et B=
µ1N
...
0µn
alors
AB =
λ1µ1N
...
0λnµn
3.1.3 Matrices diagonales par blocs
D´efinition 3 Soit A∈ Mn(K)et n1, . . . ,np∈IN∗tels que n1+· · · np=n.Aest diagonale
par blocs n1, . . . ,nps’il existe des matrices carr´ees A1, . . . ,Apde tailles respectives n1, . . . ,np
(appel´ees blocs diagonaux) telles que
A=
A10
...
0Ap
Proposition 4 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension net B= (e1, . . . ,en)une base de
E. Notons s1= 0 et pour tout k∈[2,p],sk=n1+· · · +nk−1et enfin, pour tout k∈[1,p],
Ek= [esk+1,· · · ,esk+nk]. La matrice de l’endomorphisme uest diagonale par blocs n1, . . . ,npsi
et seulement si
∀k∈[1,p]u(Ek)⊂Ek.
[Ind] Appliquer la d´efinition de la matrice dans une base donn´ee d’un endomorphisme.
Th´eor`eme 3 Soient A1∈ Mp(K),A2∈ Mq(K)et B∈ Mpq(K).
¯¯¯¯
A1B
0A2¯¯¯¯= det A1.det A2
[Ind] L’application qui, `a une matrice A1∈ Mp(K), associe
ŕ
ŕ
ŕ
ŕ
A1B
0A2
ŕ
ŕ
ŕ
ŕ
est une forme p-lin´eaire altern´ee
des colonnes de A1.
Proposition 5 Le d´eterminant d’une matrice diagonale par blocs n1, . . . ,np, dont les blocs dia-
gonaux sont A1, . . . ,Ap, est ´egal au produit des d´eterminants de ses blocs diagonaux.
[Ind] Appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent.

3.1. Matrices d´ecompos´ees en blocs 3
Th´eor`eme 4 L’ensemble des matrices de Mn(K), diagonales par blocs n1, . . . ,npest une sous-
alg`ebre pleine de Mn(k)de dimension n2
1+· · · +n2
p.
Une matrice A, diagonale par blocs, est inversible si et seulement si ses blocs diagonaux sont
inversibles. Son inverse est alors la matrice diagonale par blocs dont les ´el´ements diagonaux sont,
terme `a terme, les inverses des blocs diagonaux de A.
[Ind] Utiliser les endomorphismes de Knassoci´es aux matrices consid´er´ees.
3.1.4 Matrices triangulaires par blocs
D´efinition 4 Soit A∈ Mn(K)et n1, . . . ,np∈IN∗tels que n1+· · · np=n.Aest triangulaire
sup´erieure par blocs n1, . . . ,nps’il existe des matrices carr´ees A1, . . . ,Apde tailles respectives
n1, . . . ,np(appel´ees blocs diagonaux) et une famille de matrices (Bkl)k∈[1,p−1]
l∈[k+1,p]
v´erifiant, pour
tout k∈[1,p −1] et tout l∈[k+ 1,p],Bkl ∈ Mnknl, telles que
A=
A1B12 · · · B1,p
0.......
.
.
.
.
.......Bp−1,p
0··· 0Ap
Proposition 6 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension net B= (e1, . . . ,en)une base de
E. Notons s1= 0 et pour tout k∈[2,p],sk=n1+· · · +nk−1et enfin, pour tout k∈[1,p],
Fk= [e1,· · · ,esk+nk]. La matrice de l’endomorphisme uest triangulaire sup´erieure par blocs
n1, . . . ,npsi et seulement si
∀k∈[1,p]u(Fk)⊂Fk.
[Ind] Appliquer la d´efinition de la matrice dans une base donn´ee d’un endomorphisme.
Proposition 7 Le d´eterminant d’une matrice triangulaire par blocs n1, . . . ,np, dont les blocs
diagonaux sont A1, . . . ,Ap, est ´egal au produit des d´eterminants de ses blocs diagonaux.
[Ind] Utiliser le th´eor`eme sur le d´eterminant des matrices du type
ŕ
ŕ
ŕ
ŕ
A1B
0A2
ŕ
ŕ
ŕ
ŕ
.
Th´eor`eme 5 L’ensemble des matrices de Mn(K), triangulaires par blocs n1, . . . ,np, est une
sous-alg`ebre pleine de Mn(k)de dimension n1(n1+· · · +np) + n2(n2···+np) + ···n2
p.
Une matrice A, triangulaire sup´erieure par blocs, est inversible si et seulement si ses blocs
diagonaux sont inversibles. Son inverse est alors une matrice triangulaire sup´erieure par blocs.
[Ind] Utiliser des endomorphismes de Knassoci´es aux matrices consid´er´ees.
L’´etude des matrices d´ecompos´ees en blocs va permettre d’´etudier la structure de l’inverse d’une
matrice inversible triangulaire sup´erieure par blocs
3.1.5 Matrices d´ecompos´ees en blocs
D´efinition 5 Soit A∈ Mn(K)et n1, . . . ,np∈IN∗tels que n1+· · · np=n.Aest d´ecompos´ee
en blocs n1, . . . ,nps’il existe une famille de matrices (Akl)k,l∈[1,p]v´erifiant, pour tout k,l ∈[1,p],
Akl ∈ Mnknl, telles que
A=
A11 · · · A1,p
.
.
..
.
.
Ap1· · · App

4 Calcul matriciel
Remarque: Les matrices situ´ees sur la diagonale d’une matrice d´ecompos´ee en blocs sont
carr´ees.
Notations.
Soient E1, . . . ,Epdes s.e.v. d’un Kev Ede dimension ntels que E=E1⊕ · · · ⊕ En. Notons,
pour tout i∈[1,p], ni= dim Eiet choisissons une base Bide Ei.
La base B= (B1, . . . ,Bp) est une base de E.
Soit (π1, . . . ,πp) la famille de projecteurs associ´es `a la d´ecomposition de Een somme directe de
E1, . . . ,Ep.
Pour tout endomorphisme ude E, notons, pour i,j ∈[1,p], uij =πi◦u◦πj.
On a, pour tout i,j ∈[1,p], uij (Ej)⊂Ei, nous pouvons donc consid´erer l’application lin´eaire
˜uij qui est la restriction de uij `a Ejau d´epart et Ei`a l’arriv´ee.
Proposition 8 L’application Φqui, `a u∈ L(E), associe la famille (˜uij )i,j∈[1,p]est un isomor-
phisme d’espaces vectoriels entre L(E)et Y
i,j∈[1,p]
L(Ej,Ei).
[Ind] Une application lin´eaire est un isomorphisme si elle poss`ede une application r´eciproque.
Proposition 9 Soient u,v ∈ L(E).
Φ(u◦v) = (
p
X
k=1
˜uik ◦˜vkj )i,j∈[1,p]
[Ind] Essayer d’introduire les projecteurs pk.
Proposition 10 Soit u∈ L(E)et Φ(u) = (˜uij )i,j∈[1,p]∈Y
i,j∈[1,p]
L(Ej,Ei)la famille associ´ee.
Notons, pour tout i,j ∈[1,p],Ai,j =MBj,Bi(˜uij ). On a
MB(u) = 
A11 · · · A1,p
.
.
..
.
.
Ap1· · · App
[Ind] Calculer l’image d’un vecteur de la base Bjpar l’application ˜uij .
On en d´eduit
Proposition 11 Soient Aet Bdeux matrices carr´ees de taille n, d´ecompos´ees en blocs de
mˆemes tailles ( A= (Aij )i,j∈[1,p],B= (Bij )i,j∈[1,p]) et λ∈K.
A+λ.B = (Aij +λ.Bij )i,j∈[1,p]
A×B= (
p
X
k=1
Aik ×Bkj )i,j∈[1,p]
[Ind] Utiliser les propositions pr´ec´edentes
Proposition 12 L’inverse d’une matrice Ainversible, triangulaire sup´erieure par blocs, est une
matrice triangulaire sup´erieure par blocs dont les ´el´ements diagonaux sont, terme `a terme, les
inverses des blocs diagonaux de A.
[Ind] Quel est le produit de deux matrices triangulaires sup´erieures par blocs (de mˆeme tailles)?
Exercice 1 Soit T∈ Mn(K), une matrice inversible, triangulaire sup´erieure en blocs p,q:
T=µA B
0C¶
D´eterminer T−1.

3.2. Endomorphismes et matrices nilpotents 5
3.2 Endomorphismes et matrices nilpotents
Proposition 13 Soit Eun Kev et u∈ L(E). Notons, pour k∈IN,Nk= Ker uket Ik= Im uk.
Les suites de s.e.v. (Nk)et (Ik)sont respectivement croissante et d´ecroissante et s’il existe
k0∈IN tel que Nk0=Nk0+1 (resp. Ik0=Ik0+1), alors, pour tout entier ksup´erieur `a k0, on a
Nk=Nk0(resp. Ik=Ik0).
[Ind] Pour montrer l’´egalit´e de deux ensembles, on peut proc´eder par double inclusion.
Remarque: Si Eest de dimension finie, les deux suites (Nk) et (Ik) sont stationnaires et le
th´eor`eme du rang assure que lorsque l’une des deux suites (Nk) ou (Ik) est stationnaire elles le
sont toutes les deux `a partir du mˆeme rang.
Exercice 2 Soit uun endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension finie. On pose, pour
tout entier naturel p:Kp= Ker upet Ip= Im up.
Montrer que les suites (Kp) et (Ip) sont stationnaires; de plus si sest le plus petit des entiers
ptels que Ip=Ip+1 alors Ks=Ks+1 et si s≥r:Kr−16=Kr. Montrer enfin que Eest somme
directe de Kset Is.
D´efinition 6 Soit Eun Kev et u∈ L(E). On dit que uest nilpotent s’il existe un entier naturel
non nul mtel que um= 0. L’ordre de l’endomorphisme nilpotent est alors le plus petit entier
naturel ptel que up= 0.
Exercice 3 Soit ∆ : Kn[X]→Kn[X] ; P7→ P(X+ 1) −P(X). Montrer que ∆ est nilpotent.
Th´eor`eme 6 Soit Eun Kev de dimension finie et uun endomorphisme de Enilpotent. Alors
l’ordre de uest inf´erieur ou ´egal `a dim E.
[Ind] ´ Etudier la suite (dim Ik).
D´efinition 7 Soit N∈ Mn(K). On dit que Nest nilpotente s’il existe un entier m∈IN∗tel
que Nm= 0. L’ordre de Nest alors le plus petit entier naturel ptel que Np= 0.
Proposition 14 Soit N∈ Mn(K). Si Nest nilpotente, Nn= 0.
[Ind] Utiliser le th´eor`eme pr´ec´edent.
Proposition 15 Une matrice triangulaire sup´erieure est nilpotente si et seulement si ses ´el´ements
diagonaux sont nuls.
[Ind] Calculer...
Exercice 4 Une matrice triangulaire sup´erieure (ou inf´erieure) par blocs est nilpotente si et
seulement si ses blocs diagonaux sont nilpotents.
Proposition 16 Soit uun endomorphisme nilpotent d’ordre p. Alors IdE−uest inversible et
(IdE−u)−1= IdE+u+· · · +up.
[Ind] Calculer la compos´ee des endomorphismes propos´es.
3.3 Transformations ´el´ementaires
3.3.1 Matrices de permutation
D´efinition 8 Soit n∈N∗et σ∈ Snun ´el´ement du groupe des permutations de l’ensemble
d’entiers [1,n]. On appelle matrice de permutation associ´ee `a σ, la matrice Mσ= (δi,σ(j))i,j∈[1,n].
Proposition 17 Soit Eun Kev de dimension n≥1et B= (e1, . . . ,en)une base de E. La
matrice de l’endomorphisme uest une matrice de permutation associ´ee `a la permutation σsi et
seulement si ∀i∈[1,n]u(ei) = eσ(i).
[Ind] Appliquer la d´efinition de la matrice dans une base donn´ee d’un endomorphisme.