Ch.05 - Suites et séries de fonctions

5. Suites et séries de fonctions
Sauf indication contraire, Idésigne un intervalle non trivial de Ret Kreprésente Rou C.
II - Diverses notions de convergence
1) Convergence simple, convergence uniforme d’une suite de fonctions
Définitions
Soient (f
n
)
n∈N
une suite d’applications de Idans Ket f:I→K.
1) On dit que la suite de fonctions (f
n
)converge simplement (CVS) vers fsur Isi et seulement si,
pour tout xde I, la suite numérique f
n
(x)converge vers f(x)(la convergence simple est aussi
appelée convergence ponctuelle ou convergence point par point).
Autrement dit, (f
n
)CVS vers fsur Isi et seulement si
∀ε > 0∀x∈I∃n
0
∈N∀n∈Nn≥n
0
⇒ |f
n
(x)−f(x)| ≤ ε
où n
0
dépend de εet de x.
2) On dit que la suite de fonctions (f
n
)converge uniformément (CVU) vers fsur Isi et seulement si
sup
x∈I
|f
n
(x)−f(x)| −→
n→∞
0
(ce qui suppose que f
n
−fest bornée à partir d’un certain rang). Cette propriété équivaut à
∀ε > 0∃n
0
∈N∀n∈Nn≥n
0
⇒∀x∈I|f
n
(x)−f(x)| ≤ ε
où n
0
dépend de ε,mais ne dépend pas de x.
NB : lorsque (f
n
)converge uniformément vers fsur Iavec les f
n
bornées sur I, alors fest également
bornée sur Iet la convergence uniforme de la suite de fonctions (f
n
)vers fsur In’est autre que
la convergence dans l’espace vectoriel normé B(I, K)muni de la norme N
∞
, appelée norme de
la convergence uniforme. La notation N
∞
a le défaut de ne pas faire apparaître l’intervalle I. . .
Propriété : si (f
n
)converge uniformément vers fsur I, alors (f
n
)converge simplement vers fsur I.
Attention ! Réciproque fausse !
Exemple : soit, pour tout nde N,f
n
:x→ x
n
;
•(f
n
)CVS sur [0,1] vers f:x→ 0si x∈[0,1[
1si x= 1 (voir la suite numérique (x
n
)pour xfixé).
•(f
n
)ne converge pas uniformément sur [0,1] : s’il y avait CVU, ce serait vers f; or, pour tout n,
sup
x∈[0,1]
|f
n
(x)−f(x)|= 1.
•Pour α∈]0,1[,(f
n
)converge uniformément vers 0 sur [0, α]: en effet sup
x∈[0,α]
|f
n
(x)−f(x)|=α
n
.
•Il ne suffit pas d’écarter la valeur 1 : pas de CVU sur [0,1[ puisque
sup
x∈[0,1[
|f
n
(x)−f(x)|= sup
x∈[0,1[
x
n
= 1.

5. Suites et séries de fonctions Page 2
Remarques pratiques
1) Plan d’étude standard pour étudier une suite de fonctions (f
n
)sur I
∗CVS : fixer xdans Iet étudier la suite numérique f
n
(x), ce qui fournit fle cas échéant
(si nécessaire, distinguer différents cas selon la valeur de x) ;
∗CVU : si (f
n
)CVS vers fsur I,fixer ndans Net chercher un majorant de |f
n
(x)−f(x)|
indépendant de x,δ
n
, tel que la suite numérique (δ
n
)converge vers 0 ; en cas de succès,
on a la CVU puisque sup
I
|f
n
−f| ≤ δ
n
. On peut éventuellement déterminer la valeur exacte
de sup
I
|f
n
−f|, par exemple en étudiant les variations de f
n
−f, lorsque E=R(comparer
alors le sup des valeurs positives et l’inf des valeurs négatives, puisque c’est sup
I
|f
n
−f|que l’on
cherche !).
2) Pour nier la convergence uniforme de (f
n
)vers fsur I, il suffit d’exhiber une suite (x
n
)d’éléments
de Itelle que la suite numérique f
n
(x
n
)−f(x
n
)ne converge pas vers 0.
En effet, si (f
n
)CVU vers fsur I, alors pour toute suite (x
n
)d’éléments de I
∀n∈N|f
n
(x
n
)−f(x
n
)| ≤ sup
I
|f
n
−f|
et donc f
n
(x
n
)−f(x
n
)converge vers 0.
3) En l’absence de convergence uniforme sur I(par exemple si les f
n
ne sont pas bornées), on peut
parfois établir la convergence uniforme sur certaines parties de I(en mettant à l’écart les points qui
posent problème. . . Voir les exemples).
Exemples :
1) Sur I=R
+
soit, pour tout nde N,f
n
:x→ nx
1 + nx ;
∗(f
n
)CVS sur R
+
vers f:x→ 0si x= 0
1si x > 0(voir la suite numérique f
n
(x)pour xfixé).
∗(f
n
)ne converge pas uniformément sur R
+
, ni sur R
+∗
: s’il y avait CVU, ce serait vers f; or,
pour x
n
=1
n,|f
n
(x
n
)−f(x
n
)|=1
2.
∗Pour a > 0,(f
n
)converge uniformément vers 1 sur [a, +∞[: en effet, pour nfixé
∀x∈[a, +∞[|f
n
(x)−1|=1
1 + nx ≤1 1 + na
et δ
n
=1
1 + na est un majorant indépendant de xqui tend vers 0 lorsque ntend vers l’infini.
2) Soit α∈Ret, sur I=R
+
soit, pour tout nde N,f
n
:x→ n
α
xe
−nx
;
∗(f
n
)CVS sur R
+
vers 0 ;
∗Pour étudier la convergence uniforme, je fixe net j’essaie de trouver un majorant de f
n
(x)
indépendant de x: une majoration banale est improbable (produit d’une fonction croissante par
une fonction décroissante) d’où l’idée d’étudier les variations de f
n
; il vient :
sup
R
+
|f
n
|=f
n
1
n=n
α−1
e.
Conclusion : (f
n
)converge uniformément vers 0 sur R
+
si et seulement si α < 1.
∗Pour a > 0,(f
n
)converge uniformément vers 0 sur [a, +∞[: en effet, pour nsuffisamment grand,
a > 1
net alors f
n
décroît sur [a, +∞[d’où
∀x∈[a, +∞[|f
n
(x)| ≤ f
n
(a)
or f
n
(a)est indépendant de xet tend vers 0 lorsque ntend vers l’infini, cela quel que soit α.

5. Suites et séries de fonctions Page 3
Attention ! Certaines propriétés à caractère ponctuel (comme positive, paire, périodique, croissante. . . )
se transmettent à la limite par convergence simple (par exemple : “si la suite de fonctions
(f
n
)converge simplement vers fsur un intervalle Ide Ret si les f
n
sont croissantes sur
I, alors fest croissante sur I”).
Mais une suite de fonctions continues peut converger simplement vers une fonction dis-
continue (ça s’arrange avec la convergence uniforme : voir § II).
2) Convergence simple, uniforme, normale d’une série de fonctions
Notations : comme pour définir les séries numériques, à toute suite (f
n
)de fonctions de Idans Kon
associe la série de fonctions f
n
et la suite des sommes partielles (S
p
)associée, qui est
la suite de fonctions définie par
∀p∈N∀x∈I S
p
(x) =
p
n=0
f
n
(x).
Définition : soit (f
n
)une suite d’applications de Idans K. On dit que la série de fonctions f
n
converge simplement ( resp. uniformément) sur Isi et seulement si la suite (S
p
)des
sommes partielles converge simplement (resp. uniformément) sur I.
En cas de convergence, la fonction somme Sde la série de fonctions f
n
est définie par
∀x∈I S (x) =
∞
n=0
f
n
(x)= lim
p→∞
S
p
(x)et l’on écrit S=
∞
n=0
f
n
.
Propriété : si f
n
converge simplement sur I, alors on dispose de la suite des restes (R
p
), suite de
fonctions définie par
∀p∈N∀x∈I R
p
(x) =
∞
n=p+1
f
n
(x)
et la série de fonctions f
n
converge uniformément sur Isi et seulement si la suite des
restes (R
p
)converge uniformément vers 0 sur I.
Dém. Si f
n
converge simplement sur I, soit Sla fonction somme, alors f
n
converge uniformément
sur Isi et seulement si la suite de fonctions (S
p
)converge uniformément vers Ssur I, or
∀p∈Nsup
I
|S
p
−S|= sup
I
|R
p
|
et donc (S
p
)converge uniformément vers Ssur Isi et seulement si la suite de fonctions (R
p
)converge
uniformément vers 0 sur I.
Théorème et définition : soit (f
n
)une suite de fonctions de B(I, K).
•On dit que la série de fonctions f
n
converge normalement (CVN) sur Isi et seulement si la série
numérique sup
I
|f
n
|converge (i.e. N
∞
(f
n
)converge, d’où le nom de convergence normale).
•Si la série de fonctions f
n
converge normalement sur I, alors elle converge uniformément sur I.
Attention ! Réciproque fausse ! (voir ci-dessous 
n≥1
(−1)
n−1
n·x
n
sur [0,1])
Dém. Supposons que f
n
converge normalement sur I; alors f
n
converge simplement sur I, car
pour tout xde I, la série numérique f
n
(x)est absolument convergente (|f
n
(x)| ≤ sup
I
|f
n
|).
Pour montrer la convergence uniforme, je considère la suite (de fonctions) (R
p
)des restes de la série de
fonctions f
n
et la suite (numérique) (r
p
)des restes de la série numérique sup
I
|f
n
|.
(r
p
)converge vers 0 par hypothèse, or
∀p∈N∀x∈I∀N > p 
N
n=p+1
f
n
(x)≤
N
n=p+1
|f
n
(x)| ≤
N
n=p+1
sup
I
|f
n
| ≤ r
p
d’où, par passage à la limite pour N→ ∞ :∀p∈N∀x∈I|R
p
(x)| ≤ r
p
, d’où sup
I
|R
p
| ≤ r
p
.
Il en résulte que la suite de fonctions (R
p
)converge uniformément vers 0 sur Iet la propriété précédente
s’applique.

5. Suites et séries de fonctions Page 4
Remarques pratiques
1) Plan d’étude standard pour étudier une série de fonctions f
n
sur I
∗Étudier d’abord la CVN : fixer ndans Net chercher un majorant de |f
n
(x)|indépendant de
x,u
n
, tel que la série numérique u
n
converge (étudier éventuellement les variations de f
n
).
∗En cas d’échec, étudier la CVS (fixer xdans Iet étudier la série numérique f
n
(x)) puis la CVU
(chercher un majorant de |R
p
(x)|indépendant de x,δ
n
, tel que la suite numérique (δ
n
)con-
verge vers 0 — penser au théorème spécial des séries alternées !).
2) Pour nier la CVU, il suffit de montrer que la suite de fonctions (f
n
)ne converge pas uniformément
vers 0 (en effet, si la série de fonctions f
n
CVU, alors la suite de fonctions (f
n
)CVU vers 0,
puisque f
n
=R
n−1
−R
n
. . . ).
Attention ! Réciproque fausse, voir exemple 3) ci-dessous.
Exemples :
1) Soit α > 0et, sur I= [0,1] soit, pour tout nde N
∗
,f
n
:x→ (−1)
n−1
n
α
·x
n
;sup
[0,1]
|f
n
|=1
n
α
.
∗Pour α > 1,f
n
CVN sur [0,1] (donc CVU et CVS !).
∗Pour 0< α ≤1, pas de CVN sur [0,1], mais pour xfixé dans [0,1] la série numérique f
n
(x)
vérifie le théorème spécial des séries alternées, d’où la convergence simple de la série de fonctions
f
n
et la majoration du reste :
∀p∈N
∗
∀x∈[0,1] |R
p
(x)| ≤ |f
p+1
(x)|=x
p+1
(p+ 1)
α
≤1
(p+ 1)
α
;
ce majorant est indépendant de xet tend vers 0 lorsque ptend vers l’infini, donc la suite de
fonctions (R
p
)converge uniformément vers 0 sur [0,1] : ainsi la série de fonctions f
n
converge
uniformément sur [0,1] (alors qu’ici elle ne converge pas normalement. . . ).
2) Sur I=R
+
soit, pour tout nde N,f
n
:x→ nx
2
n
3
+x
2
.
∗Déjà, pour tout n≥1,sup
R
+
|f
n
| ≥ f
n
(n) = n
3
n
3
+n
2
≥1
2: il n’y a donc, pour la série f
n
, ni
CVN sur R
+
(sup
R
+
|f
n
|DV grossièrement) ni même CVU sur R
+
(la suite de fonctions (f
n
)ne
converge pas uniformément vers 0, cf. la remarque 2) ci-dessus).
∗Toutefois (et cela peut être bien utile, voir § II), pour tout M > 0,f
n
converge normalement
sur [0, M], puisque
∀n∈N
∗
∀x∈[0, M]|f
n
(x)| ≤ M
2
n
2
d’où la convergence de sup
[0,M]
|f
n
|;a fortiori,f
n
converge uniformément et simplement sur
[0, M], cela pour tout M > 0.
∗Du résultat précédent, je déduis que f
n
CVS sur R
+
(pour xfixé, choisir Mtel que x∈[0, M]. . . ) mais. . .
Attention ! La convergence uniforme sur [0, M]pour tout M > 0n’entraîne pas la convergence uni-
forme sur R
+
(voir contre-exemple ci-dessus !).
3) Sur I=R
+
soit, pour tout nde N
∗
,f
n
:x→ x
1 + n
2
x
2
.
∗L’étude des variations de f
n
montre que, pour tout n≥1,
sup
R
+
|f
n
|=f
n
1
n=1 2n;
il n’y a donc pas CVN pour f
n
sur R
+
(sup
R
+
|f
n
|DV par comparaison à une série de Riemann).

5. Suites et séries de fonctions Page 5
∗Toutefois, toujours dans le même esprit, pour 0< a < M,f
n
converge normalement sur [a, M],
puisque
∀n∈N
∗
∀x∈[a, M]|f
n
(x)| ≤ M
1 + a
2
n
2
d’où la convergence de sup
[a,M]
|f
n
|. J’en déduis comme ci-dessus la convergence simple sur R
+∗
,
donc sur R
+
puisque la série f
n
(0) converge trivialement.
∗L’étude de la convergence uniforme de f
n
sur R
+
est ici plus délicate ; je montre qu’il n’y a
pas CVU en minorant les restes : fixons p∈N
∗
et x∈R
+
,
∀N > p R
p
(x)≥
N
n=p+1
f
n
(x) = x
N
n=p+1
1
1 + n
2
x
2
≥x·N−p
1 + N
2
x
2
d’où
sup
R
+
|R
p
| ≥ R
p
1
N≥N−p 2N, cela pour tout N > p ;
il en résulte (en faisant tendre Nvers l’infini) que :
sup
R
+
|R
p
| ≥ 1
2
donc la suite de fonctions (R
p
)ne converge pas uniformément vers 0.
On a donc ici un exemple où la série de fonctions f
n
ne converge pas uniformément tandis que
la suite de fonctions (f
n
)converge uniformément vers 0.
IIII - Transmission (ou pas) de la régularité
1) Interversion de limites
Attention ! C’est un vrai problème ! ! lim
x
<
→1
lim
n→∞
x
n
= 0 alors que lim
n→∞
lim
x
<
→1
x
n
= 1
Théorème : soient a∈Iet (f
n
)une suite de fonctions de Idans K, toutes continues en a.
a) Si la suite de fonctions (f
n
)converge uniformément vers fsur I, alors fest continue
en a.
b) Si la série de fonctions f
n
converge uniformément sur I, alors la fonction somme S
est continue en a.
Théorème de la double limite
Soient aun point adhérent à I(aréel ou a=±∞ lorsque Iest une demi-droite ou Rtout entier) et
(f
n
)une suite de fonctions de Idans Ktelle que, pour tout n,f
n
admet en aune limite finie b
n
∈K.
1) Si la suite de fonctions (f
n
)converge uniformément vers fsur I, alors la suite numérique (b
n
)
converge dans Kvers une limite bet fadmet bpour limite en a.
2) Si la série de fonctions f
n
converge uniformément sur I, alors la série numérique b
n
converge
et la fonction somme S=
∞
n=0
f
n
admet
∞
n=0
b
n
pour limite en a.
NB : les résultats ci-dessus correspondent bien à une interversion de deux limites (ou à l’interversion
d’une limite et d’une somme de série), puisqu’ils s’écrivent
lim
x→a
lim
n→∞
f
n
(x)= lim
n→∞
lim
x→a
f
n
(x)et lim
x→a
∞
n=0
f
n
(x)=
∞
n=0
lim
x→a
f
n
(x).
Attention ! Bien justifier la CVU (généralement obtenue dans le cas des séries par CVN ou grâce à la
majoration du reste associée au TSSA).