2016 blanc - Irma - Université de Strasbourg

Département de mathématique le 14 décembre 2015
Université de Strasbourg Analyse fonctionnelle
Durée 3 heures (voire 6 heures...)
Exercice 1. (Je préconise de ne pas faire cet exercice
aujourd’hui)
(1) Énoncer le théorème de Banach-Steinhaus sous
les hypothèses les plus générales possibles.
(2) Décrire la stratégie de sa démonstration.
(3) Donner une application de ce résultat.
Exercice 2. (Je préconise de ne pas faire cet exercice
aujourd’hui)
(1) Énoncer le lemme de Zorn.
(2) Donner un résultat d’analyse fonctionnelle dont
la démonstration fait appel au lemme de Zorn
et détailler comment.
Exercice 3. (Je préconise de ne pas faire cet exercice
aujourd’hui)
(1) Énoncer le théorème de représentation de Riesz.
(2) Donner les étapes de sa démonstration.
(Aujourd’hui, ne faire que deux exercices parmi les
3 suivants.)
Exercice 4. Soient (en)n∈N∗une suite orthonormée
d’un espace de Hilbert Het (cn)n∈N∗une suite rélle
bornée. Posons, pour tout n≥1,
un=1
n
n
X
k=1
ckek.
(1) Montrer que (un)n≥1converge vers 0.
(2) Montrer que (√nun)n≥1converge faiblement
vers 0.
(3) Donner un exemple où la suite (√nun)ne tend
pas nécessairement vers 0.
Exercice 5. Soit p∈[1,+∞[et dénotons par `p
l’espace de Banach des suites complexes (xn)n∈N
telles que kxkp=P+∞
n=0 |xn|p1/p <+∞. Pour une
suite complexe λ= (λn)n∈Non note Mλl’opéra-
teur de multiplication Mλ(x) = (λ0x0, λ1x1, . . . )si
x= (x0, x1, . . . ).
(1) Montrer que (∀x∈`p,Mλ(x)∈`p)⇐⇒
supn∈N|λn|<+∞.
(2) Montrer que, sous cette condition, la norme de
l’opérateur Mλ:`p→`pest égale à supn∈N|λn|.
(3) Montrer que Mλ:`p→`pest compact si et
seulement si la suite λconverge vers 0.
Exercice 6. Soient Hun espace de Hilbert et T:
H→Hun opérateur linéaire continu non nul véri-
fiant T2=T. Montrer que les énoncés suivants sont
équivalents :
(1) Test une projection orthogonale ;
(2) ker(T)=(T(H))⊥;
(3) kTk= 1 ;
(4) T=T∗;
(5) Test normal, i.e. T T ∗=T∗T;
(6) hT x, xi ≥ 0pour tout xdans H.
Exercice 7. C’est un problème un peu long, ne pas
traiter les questions écrites en petit.
Une fonction continue f:R→Cest dite presque-
périodique (en abrégé pre.per.) si pour tout ε > 0il
existe ` > 0de sorte que tout intervalle Ide longueur
≥`contient un élément ξ∈Itel que
|f(x+ξ)−f(x)|< ε, ∀x∈R.
Une autre caractérisation des fonctions pre.per. est la
suivante :
— Une fonction continue est presque périodique si
pour toute suite réelle (ξn)n∈Nil existe une sous-
suite (ξϕ(n))n∈Ntelle que la suite de fonctions
(x7→ f(x+ξϕ(n)))n∈Nest uniformément conver-
gente.
(1) Montrer que toute fonction pre.per. est bornée.
(2) Montrer que toute fonction pre.per. est uniformément conti-
nue.
(3) Montrer que les sommes, les produits et les limites uniformes
de fonctions pre.per. sont encore pre.per.
(4) Montrer que, pour tout ν, la fonction eν:R→
C|x7→ eiνx est pre.per. (plus généralement
toute fonction périodique est pre.per.)
(5) Pour toute fonction pre.per. f, les moyennes intégrales
1
2TZ+T
−T
f(x+t) dt
tendent, lorsque T→ ∞, vers une limite indépendante de x, et
cela uniformément pour x∈R. La limite est notée Mt{f(t)}.
(6) La fonctionnelle f7→ Mt{f(t)}est une fonctionnelle linéaire
sur l’espace Pdes fonctions continues pre.per., elle vérifie
Mt{f(s±t)}=Mt{f(t)}et M{1}= 1.
(7) Si une fonction fcontinue et pre.per. (c’est-à-dire f∈P) est
positive, alors Mt{f(t)} ≥ 0et Mt{f(t)}= 0 si et seulement
si f= 0.
(8) Montrer que la formule
hf, gi=Mt{f(t)g(t)},∀f, g ∈P,
définit un produit scalaire sur P. On notera k·k
la norme associée.
1

2
(9) Montrer que, pour tout fdans P,kfk ≤
supt∈R|f(t)|.
L’espace Pn’est pas complet. On ne cherchera pas à le
compléter.
(10) Pour fet gdans Pon définit f×gpar f×g(x) = Mt{f(x−
t)g(t)}. Montrer qu’alors f×gest pre.per., que f×g=g×f,
que (f×g)×h=f×(g×h).
(11) Montrer que la famille (eν)ν∈Rforme un système
orthonormé dans P.
(12) En déduire que Pn’est pas séparable.
Pour fdans Ples coefficients de Fourier gé-
néralisés de fsont
cν=hf, eνi, ν ∈R.
(13) Montrer que pour tout ε > 0, l’ensemble des
νtels que |cν|> ε est fini. En conclure que
{ν∈R|cν6= 0}est un ensemble fini ou dé-
nombrable, ν1,ν2, . . ., νk, . . . La série
X
k
cνkeνk
s’appelle la série de Fourier généralisée de f.
Le reste de ce problème vise à montrer le ré-
sultat suivant :
Pour tout fdans P, la série de Fourier
généralisée de fconverge, au sens de la
norme k·k sur P, vers f.
(14) Montrer qu’il suffit de montrer l’égalité de Par-
seval
(∗)kfk2=X
k|cνk|2.
Pour f:R→Con pose
f∗(x) = f(−x),∀x∈R.
(15) Montrer que si f∈Palors f∗∈P, que (f∗)∗=f,
(f×g)∗=g∗×f∗,f×g∗(0) = hf, gi,hf∗, g∗i=hf, gi.
Une fonction fest dite symétrique si f∗=f.
(16) Déduire des formules ci-dessus, que les produits
scalaires hf, gisont réels lorsque fet gsont sy-
métriques.
(17) Montrer que toute fonction fde Ps’écrit de
manière unique f=f1+if2où f1et f2sont
symétriques.
(18) Montrer en outre que (pour tout ν∈R)
kfk2=kf1k2+kf2k2,et
|hf, eνi|2=|hf1, eνi|2+|hf2, eνi|2.
(19) En déduire qu’il suffit de démontrer (∗) pour f
symétrique.
Dans la suite de ce problème on fixe un élé-
ment asymétrique de P. On définit alors un
opérateur A:P→Ppar la formule
Ah =a×h.
(20) Pour tout xdans R, interpréter Ah(x)comme
un produit scalaire. En déduire que |Ah(x)| ≤
kakkhket a fortiori que kAhk≤kakkhk. En
conclure que Aest un opérateur linéaire conti-
nue.
(21) Montrer que Aest un opérateur symétrique (les formules des
questions 10 et 15 peuvent être utiles).
(22) Vous allez établir que Aest un opérateur compact : mieux, de
toute suite (hn)n∈Nde Pbornée pour k·k, vous allez trouver
une sous-suite de (Ahn)n∈Nuniformément convergente.
Pour sdans Ron notera asla fonction x7→ a(−s+x). On
fixe aussi un sous-ensemble R ⊂ Rdénombrable et dense.
(a) Montrer l’existence d’une suite extraite (hφ(n))n∈Ntel
que, pour tout x∈ R, la suite (hhφ(n), axi)n∈Nconverge.
(b) En supposant que la suite de fonctions (Ahφ(n))n∈N
ne converge pas uniformément, montrer l’existence d’un
ε0>0, d’une suite de réels (xk)k∈Net de deux suites
d’entiers (nk)k∈Net (mk)k∈Ntendant vers +∞tels que
Ahφ(nk)(xk)−Ahφ(mk)(xk) > ε0,∀k∈N.
Démontrer que cette dernière inégalité est équivalente à
hhφ(nk)−hφ(mk), axki > ε0.
(c) En utilisant la continuité uniforme de a, montrer que l’on
peut supposer de plus que, pour tout k,xkappartient à
R.
(d) Par la deuxième définition des fonctions pre.per., quitte
à extraire une sous-suite, on supposera qu’en outre la
suite (axk)k∈Nconverge uniformément. Montrer qu’alors
la suite (hhφ(nk)−hφ(mk), axki)k∈Ntend vers 0en contra-
diction avec l’hypothèse faite.
(23) Expliquer pourquoi il est possible d’appliquer le théorème
de diagonalisation des opérateurs compacts autoadjoints à la
transformation A.
(24) Soient alors (µk)la suite (finie ou dénombrable)
des valeurs propres de Aet (φk)une suite or-
thonormée de vecteurs propres (cette suite n’est
pas unique s’il y a des valeurs propres multiples).
Pour tout gdans Pon a donc l’égalité
Ag =X
k
µkhg, φkiφk,
au sens où la série converge vers Ag pour la
norme k·k sur P. En utilisant la question 20
montrer que cette série converge uniformément
(vers Ag donc).
(25) Montrer que Aa(0) = kak2, que µkφk(0) =
hφk, aiet en conclure que kak2=Pk|ha, φki|2.
La conclusion viendra maintenant du fait, dé-
montré dans les questions suivantes, que l’on
peut toujours faire en sorte que les fonctions
propres φksont dans la famille (eν)ν∈R.
(26) Pour ξ∈Rsoit Uξl’opérateur P→Pdéfini par
Uξf(x) = f(x+ξ). Montrer que les opérateurs
Uξcommutent deux à deux, commutent avec A,
qu’ils sont unitaires (c’est-à-dire isométriques)
et que, pour tout f∈Pet toute suite (ξn)n∈N
convergeant vers ξ, la suite (Uξnf)n∈Nconverge
vers Uξf. Montrer aussi que UξUξ0=Uξ+ξ0.
(27) Si (Uξ)ξ∈Rest une famille continue d’opérateurs unitaires
d’un espace de Hilbert Hde dimension finie telle que, pour
tous ξet ξ0,UξUξ0=Uξ+ξ0et, pour tout v∈H, la fonction
R→H|ξ7→ Uξvest continue, montrer qu’il existe une base
orthonormée (v`)de vecteurs propres et que, pour tout `, il
existe ω`∈Rtel que Uξv`=eiωlξvl.
(28) En déduire que l’on peut choisir tous les vecteurs
propres de Aparmi les éléments de (eν)ν∈R.