2016 blanc - Irma - Université de Strasbourg

Département de mathématique
Université de Strasbourg
le 14 décembre 2015
Analyse fonctionnelle
Durée 3 heures (voire 6 heures...)
Exercice 1. (Je préconise de ne pas faire cet exercice Exercice 6. Soient H un espace de Hilbert et T :
aujourd’hui)
H → H un opérateur linéaire continu non nul vérifiant T 2 = T . Montrer que les énoncés suivants sont
(1) Énoncer le théorème de Banach-Steinhaus sous
équivalents :
les hypothèses les plus générales possibles.
(1) T est une projection orthogonale ;
(2) Décrire la stratégie de sa démonstration.
(2) ker(T ) = (T (H))⊥ ;
(3) Donner une application de ce résultat.
(3) kT k = 1 ;
(4) T = T ∗ ;
Exercice 2. (Je préconise de ne pas faire cet exercice
aujourd’hui)
(5) T est normal, i.e. T T ∗ = T ∗ T ;
(1) Énoncer le lemme de Zorn.
(6) hT x, xi ≥ 0 pour tout x dans H.
(2) Donner un résultat d’analyse fonctionnelle dont
la démonstration fait appel au lemme de Zorn Exercice 7. C’est un problème un peu long, ne pas
traiter les questions écrites en petit.
et détailler comment.
Une fonction continue f : R → C est dite presquepériodique (en abrégé pre.per.) si pour tout ε > 0 il
Exercice 3. (Je préconise de ne pas faire cet exercice
existe ` > 0 de sorte que tout intervalle I de longueur
aujourd’hui)
≥ ` contient un élément ξ ∈ I tel que
(1) Énoncer le théorème de représentation de Riesz.
|f (x + ξ) − f (x)| < ε, ∀x ∈ R.
(2) Donner les étapes de sa démonstration.
Une autre caractérisation des fonctions pre.per. est la
suivante :
— Une fonction continue est presque périodique si
(Aujourd’hui, ne faire que deux exercices parmi les
pour toute suite réelle (ξn )n∈N il existe une sous3 suivants.)
suite (ξϕ(n) )n∈N telle que la suite de fonctions
(x 7→ f (x + ξϕ(n) ))n∈N est uniformément converExercice 4. Soient (en )n∈N∗ une suite orthonormée
gente.
d’un espace de Hilbert H et (cn )n∈N∗ une suite rélle
bornée. Posons, pour tout n ≥ 1,
(1) Montrer que toute fonction pre.per. est bornée.
un =
n
(2) Montrer que toute fonction pre.per. est uniformément continue.
k=1
(3) Montrer que les sommes, les produits et les limites uniformes
1X
ck ek .
n
de fonctions pre.per. sont encore pre.per.
(1) Montrer que (un )n≥1 converge vers 0.
√
(2) Montrer que ( nun )n≥1 converge faiblement
vers 0.
√
(3) Donner un exemple où la suite ( nun ) ne tend
pas nécessairement vers 0.
(4) Montrer que, pour tout ν, la fonction eν : R →
C | x 7→ eiνx est pre.per. (plus généralement
toute fonction périodique est pre.per.)
(5) Pour toute fonction pre.per. f , les moyennes intégrales
Z +T
1
f (x + t) dt
2T −T
Exercice 5. Soit p ∈ [1, +∞[ et dénotons par `p
l’espace de Banach des suites complexes (xn )n∈N
P+∞
p 1/p
telles que kxkp =
< +∞. Pour une
n=0 |xn |
suite complexe λ = (λn )n∈N on note Mλ l’opérateur de multiplication Mλ (x) = (λ0 x0 , λ1 x1 , . . . ) si
x = (x0 , x1 , . . . ).
tendent, lorsque T → ∞, vers une limite indépendante de x, et
cela uniformément pour x ∈ R. La limite est notée Mt {f (t)}.
(6) La fonctionnelle f 7→ Mt {f (t)} est une fonctionnelle linéaire
sur l’espace P des fonctions continues pre.per., elle vérifie
Mt {f (s ± t)} = Mt {f (t)} et M {1} = 1.
(7) Si une fonction f continue et pre.per. (c’est-à-dire f ∈ P) est
positive, alors Mt {f (t)} ≥ 0 et Mt {f (t)} = 0 si et seulement
(1) Montrer que (∀x ∈ `p , Mλ (x) ∈ `p ) ⇐⇒
supn∈N |λn | < +∞.
si f = 0.
(8) Montrer que la formule
(2) Montrer que, sous cette condition, la norme de
l’opérateur Mλ : `p → `p est égale à supn∈N |λn |.
hf, gi = Mt {f (t)g(t)},
(3) Montrer que Mλ : `p → `p est compact si et
seulement si la suite λ converge vers 0.
∀f, g ∈ P,
définit un produit scalaire sur P. On notera k·k
la norme associée.
1
2
(9) Montrer que, pour tout f dans P, kf k ≤
supt∈R |f (t)|.
(21) Montrer que A est un opérateur symétrique (les formules des
questions 10 et 15 peuvent être utiles).
L’espace P n’est pas complet. On ne cherchera pas à le
compléter.
(22) Vous allez établir que A est un opérateur compact : mieux, de
toute suite (hn )n∈N de P bornée pour k·k, vous allez trouver
une sous-suite de (Ahn )n∈N uniformément convergente.
Pour s dans R on notera as la fonction x 7→ a(−s + x). On
fixe aussi un sous-ensemble R ⊂ R dénombrable et dense.
(10) Pour f et g dans P on définit f × g par f × g(x) = Mt {f (x −
t)g(t)}. Montrer qu’alors f × g est pre.per., que f × g = g × f ,
que (f × g) × h = f × (g × h).
(11) Montrer que la famille (eν )ν∈R forme un système
orthonormé dans P.
(12) En déduire que P n’est pas séparable.
Pour f dans P les coefficients de Fourier généralisés de f sont
cν = hf, eν i,
ν ∈ R.
(13) Montrer que pour tout ε > 0, l’ensemble des
ν tels que |cν | > ε est fini. En conclure que
{ν ∈ R | cν 6= 0} est un ensemble fini ou dénombrable, ν1 , ν2 , . . ., νk , . . . La série
X
cνk eνk
k
s’appelle la série de Fourier généralisée de f .
Le reste de ce problème vise à montrer le résultat suivant :
Pour tout f dans P, la série de Fourier
généralisée de f converge, au sens de la
norme k·k sur P, vers f .
(14) Montrer qu’il suffit de montrer l’égalité de Parseval
X
(∗)
kf k2 =
|cνk |2 .
k
Pour f : R → C on pose
f ∗ (x) = f (−x),
∀x ∈ R.
(15) Montrer que si f ∈ P alors f ∗ ∈ P, que (f ∗ )∗ = f ,
(f × g)∗ = g ∗ × f ∗ , f × g ∗ (0) = hf, gi, hf ∗ , g ∗ i = hf, gi.
Une fonction f est dite symétrique si f ∗ = f .
(16) Déduire des formules ci-dessus, que les produits
scalaires hf, gi sont réels lorsque f et g sont symétriques.
(17) Montrer que toute fonction f de P s’écrit de
manière unique f = f1 + if2 où f1 et f2 sont
symétriques.
(18) Montrer en outre que (pour tout ν ∈ R)
kf k2 = kf1 k2 + kf2 k2 , et
|hf, eν i|2 = |hf1 , eν i|2 + |hf2 , eν i|2 .
(19) En déduire qu’il suffit de démontrer (∗) pour f
symétrique.
Dans la suite de ce problème on fixe un élément a symétrique de P. On définit alors un
opérateur A : P → P par la formule
Ah = a × h.
(20) Pour tout x dans R, interpréter Ah(x) comme
un produit scalaire. En déduire que |Ah(x)| ≤
kak khk et a fortiori que kAhk ≤ kak khk. En
conclure que A est un opérateur linéaire continue.
(a) Montrer l’existence d’une suite extraite (hφ(n) )n∈N tel
que, pour tout x ∈ R, la suite (hhφ(n) , ax i)n∈N converge.
(b) En supposant que la suite de fonctions (Ahφ(n) )n∈N
ne converge pas uniformément, montrer l’existence d’un
ε0 > 0, d’une suite de réels (xk )k∈N et de deux suites
d’entiers (nk )k∈N et (mk )k∈N tendant vers +∞ tels que
Ahφ(n ) (xk ) − Ahφ(m ) (xk ) > ε0 , ∀k ∈ N.
k
k
Démontrer que cette dernière inégalité est équivalente à
hhφ(n ) − hφ(m ) , ax i > ε0 .
k
k
k
(c) En utilisant la continuité uniforme de a, montrer que l’on
peut supposer de plus que, pour tout k, xk appartient à
R.
(d) Par la deuxième définition des fonctions pre.per., quitte
à extraire une sous-suite, on supposera qu’en outre la
suite (axk )k∈N converge uniformément. Montrer qu’alors
la suite (hhφ(nk ) −hφ(mk ) , axk i)k∈N tend vers 0 en contradiction avec l’hypothèse faite.
(23) Expliquer pourquoi il est possible d’appliquer le théorème
de diagonalisation des opérateurs compacts autoadjoints à la
transformation A.
(24) Soient alors (µk ) la suite (finie ou dénombrable)
des valeurs propres de A et (φk ) une suite orthonormée de vecteurs propres (cette suite n’est
pas unique s’il y a des valeurs propres multiples).
Pour tout g dans P on a donc l’égalité
X
Ag =
µk hg, φk iφk ,
k
au sens où la série converge vers Ag pour la
norme k·k sur P. En utilisant la question 20
montrer que cette série converge uniformément
(vers Ag donc).
(25) Montrer que Aa(0) = kak2 , que µk φk (0) =
P
hφk , ai et en conclure que kak2 = k |ha, φk i|2 .
La conclusion viendra maintenant du fait, démontré dans les questions suivantes, que l’on
peut toujours faire en sorte que les fonctions
propres φk sont dans la famille (eν )ν∈R .
(26) Pour ξ ∈ R soit Uξ l’opérateur P → P défini par
Uξ f (x) = f (x + ξ). Montrer que les opérateurs
Uξ commutent deux à deux, commutent avec A,
qu’ils sont unitaires (c’est-à-dire isométriques)
et que, pour tout f ∈ P et toute suite (ξn )n∈N
convergeant vers ξ, la suite (Uξn f )n∈N converge
vers Uξ f . Montrer aussi que Uξ Uξ0 = Uξ+ξ0 .
(27) Si (Uξ )ξ∈R est une famille continue d’opérateurs unitaires
d’un espace de Hilbert H de dimension finie telle que, pour
tous ξ et ξ 0 , Uξ Uξ0 = Uξ+ξ0 et, pour tout v ∈ H, la fonction
R → H | ξ 7→ Uξ v est continue, montrer qu’il existe une base
orthonormée (v` ) de vecteurs propres et que, pour tout `, il
existe ω` ∈ R tel que Uξ v` = eiωl ξ vl .
(28) En déduire que l’on peut choisir tous les vecteurs
propres de A parmi les éléments de (eν )ν∈R .