Devoir surveillé n° 5

Devoir surveillé n° 5
ECS1 – Mercredi 3 février 2016 de 13h à 17h
On prendra le plus grand soin de la rédaction ainsi que de la clarté des raisonnements.
Le sujet comporte 4 pages. Les exercices sont indépendants.
Exercice 1 Les questions de cet exercice sont indépendantes.
A– Résoudre le système d’équations linéaires suivant :
2x+y+3z+t=3
2x−5y+z−t=1
x+2y+2z+t=2
.
B– Calculer l’intégrale Z5
2
1
x−1+px−1dxà l’aide du changement de variable t=px−1.
C– Soit P le polynôme défini par P(X) = 2X3+9X2+12X +4.
Sachant que P a une racine double, déterminer toutes ses racines et factoriser P complè-
tement.
D– Soit la matrice A =
1 0 2
−1−1 1
2 1 2
. Montrer que A est inversible et déterminer son inverse.
E– Soit la matrice A =
−1 0 0
3−1−3
−3 0 2 
.
1) Montrer que X2−X−2 est un polynôme annulateur pour A.
2) En déduire que A est inversible et déterminer A−1.
F– On considère un jeu où le joueur commence avec 5 points. À chaque partie, il tire à pile
ou face avec une pièce où la probabilité d’obtenir pile est 2/3 :
– s’il obtient pile, il gagne un point ;
– s’il obtient face, il perd un point.
Le joueur effectue 5 parties indépendantes. On définit la variable aléatoire X égale au
nombre de piles obtenues.
On définit aussi la variable aléatoire Y égale aux nombre de points à l’issue des 5 parties.
1) Quelle est la loi de X ?
2) Quelle est la probabilité que le joueur n’ait plus de points ?
3) Exprimer Y en fonction de X.
4) Quelle est l’espérance de Y ?
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Exercice 2
Soit In=Z1
0
xnln(1+x)dx, pour n∈N.
1. a) Montrer que In¾0 pour tout n∈N.
b) Établir que la suite (In)est décroissante.
c) En déduire que la suite (In)est convergente.
2. Calculer I0(à l’aide d’une intégration par parties).
3. a) Justifier l’inégalité xnln(1+x)¶xnln2 pour tout x∈[0,1].
b) En déduire que, pour tout n∈N, In¶ln2
n+1.
c) Calculer lim
n→+∞In.
4. a) Montrer que pour tout n∈N, In=ln2
n+1−1 n+1Z1
0
xn+1
1+xdx (par parties).
b) Montrer que 0 ¶Z1
0
xn+1
1+xdx¶1 n+2.
c) En déduire une minoration de Inpuis donner un encadrement de In.
d) Déterminer la limite de nInquand ntend vers +∞d’après ce qui précède.
Exercice 3 (les deux parties sont indépendantes)
Les parties sont indépendantes mais dans chaque partie on considère une urne contenant
initialement 4 boules indiscernables au toucher : 1 blanche et 3 rouges. Les modalités de tirage
sont différentes dans chaque partie.
A– On effectue des tirages d’une boule sans remise dans l’urne jusqu’à obtenir une boule
blanche. On définit Y la variable aléatoire égale au rang du tirage où l’expérience s’arrête.
Pour k∈N∗, on définit les événements :
– Rk:«au ketirage on tire une boule rouge »;
– Bk:«au ketirage on tire une boule blanche ».
1. Déterminer les valeurs prises par Y.
2. Calculer P(Y=1).
3. Décrire l’événement [Y=2]et calculer P(Y=2).
4. Montrer de manière détaillée, que Y suit la loi uniforme sur Y(Ω).
5. Déterminer son espérance E(Y)et sa variance V(Y).
6. Soit Z la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges restant dans l’urne au
moment où l’expérience s’arrête.
a) Exprimer Z en fonction de Y.
b) En déduire la loi de Z, son espérance E(Z)et sa variance V(Z).
B– Soit N un entier supérieur ou égal à 2.
Dans cette partie, on effectue N tirages successifs d’une boule de l’urne successivement
avec la règle suivante :
– si on tire la boule blanche, on la remet dans l’urne ;
– si on tire une boule rouge, on ne la remet pas.
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Pour n∈¹1, Nº, on note Tnle nombre de boules rouges tirées lors des npremiers tirages.
1. Déterminer la loi de T1.
2. Déterminer la loi de T2et calculer son espérance.
3. Soit n∈¹1,Nº.
a) Déterminer la probabilité que Tn=0.
b) Montrer, en justifiant correctement, que la probabilité que Tn=1 vaut
n
X
k=11
4k−1
×3
4×1 3n−k
.
c) Calculer cette probabilité en fonction de n(exprimer sans symbole X).
Exercice 4
On considère les matrices à coefficients réels P et Q définies par :
P=
111
111
111
, Q =1
4(I+P)
où I désigne la matrice unité d’ordre 3.
1. Calculer P2, PQ, QP en fonction de P.
2. Calculer les produits (4I −P)Q et Q(4I −P). Que peut-on en conclure pour la matrice Q ?
3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, il existe des réels anet bntels que
Qn=anI+bnP
les suites (an)et (bn)vérifiant les relations de récurrence :
an+1=1
4an
bn+1=1
4an+bn
avec a0=1 et b0=0.
4. En déduire anen fonction de n.
5. Montrer que pour tout entier nnon nul :
n−1
X
k=0
(bk+1−bk) = bn.
6. En déduire que pour tout entier n:bn=1
31−1 4n.
7. Donner alors l’expression, sous forme matricielle, de Qnen fonction de l’entier n.
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Exercice 5
On considère les matrices A =7−4
9−5et P =2 3 3 4.
1. Montrer que A est inversible et déterminer son inverse A−1.
2. Vérifier que P est inversible, donner son inverse et vérifier que P−1AP =T où T est la
matrice T =1 1
0 1.
3. Exprimer A en fonction de P et T.
4. Montrer que pour tout n∈N, Tn=1n
0 1.
5. Montrer que pour tout n∈N, An=PTnP−1.
6. En déduire les puissances Ande A en fonction de n.(On souhaite les quatre coefficients de
A).
7. On souhaite maintenant déterminer l’ensemble Cdes matrices M qui commutent avec A,
c’est-à-dire telles que AM =MA.
Pour cela on considère d’abord l’ensemble C0des matrices qui commutent avec T.
a) Traduire le fait que la matrice M =a b
c dcommute avec T sous forme d’un système
d’équations linéaires d’inconnues a,b,cet d.
b) Montrer que C0est l’ensemble des matrices de la forme a b
0a.
c) Montrer que K ∈ C ⇔ P−1KP ∈ C0pour une matrice K ∈ M2(R).
d) En déduire toutes les matrices de C. Montrer qu’elles s’expriment toutes comme
combinaison linéaire de deux matrices que l’on précisera.
Exercice 6
Pour tout entier n¾2, on définit le polynôme Pnpar
Pn(X) = (X+1)n−Xn−1.
1. Déterminer le degré de Pnainsi que son coefficient dominant.
2. Donner une forme développée de Pnà l’aide des coefficients binomiaux. En déduire que
Pnest un polynôme non nul à coefficients réels.
3. Montrer que X divise Pn.
4. Déterminer les valeurs de npour lesquelles Pnest divisible par X +1.
5. Le polynôme Pnpeut-il être divisible par (X+1)2?
6. On pose j=e2iπ/3. Donner un polynôme de degré 2 à coefficients entiers qui admet j
comme racine.
7. Démontrer que s’il existe k∈N∗tel que n=6k+1 alors Pn(j) = 0.
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