Devoir surveillé n° 5

Devoir surveillé n° 5
ECS1 – Mercredi 3 février 2016 de 13h à 17h
On prendra le plus grand soin de la rédaction ainsi que de la clarté des raisonnements.
Le sujet comporte 4 pages. Les exercices sont indépendants.
Exercice 1 Les questions de cet exercice sont indépendantes.
A– Résoudre le système d’équations linéaires suivant :

2x + y + 3z + t = 3
2x − 5 y + z − t = 1 .

x + 2 y + 2z + t = 2
Z
B– Calculer l’intégrale
2
5
p
1
dx à l’aide du changement de variable t = x − 1.
p
x −1+ x −1
C– Soit P le polynôme défini par P(X) = 2X3 + 9X2 + 12X + 4.
Sachant que P a une racine double, déterminer toutes ses racines et factoriser P complètement.


1
0 2
D– Soit la matrice A = −1 −1 1 . Montrer que A est inversible et déterminer son inverse.
2
1 2


−1 0
0
E– Soit la matrice A =  3 −1 −3 .
−3 0
2
1) Montrer que X2 − X − 2 est un polynôme annulateur pour A.
2) En déduire que A est inversible et déterminer A−1 .
F– On considère un jeu où le joueur commence avec 5 points. À chaque partie, il tire à pile
ou face avec une pièce où la probabilité d’obtenir pile est 2/3 :
– s’il obtient pile, il gagne un point ;
– s’il obtient face, il perd un point.
Le joueur effectue 5 parties indépendantes. On définit la variable aléatoire X égale au
nombre de piles obtenues.
On définit aussi la variable aléatoire Y égale aux nombre de points à l’issue des 5 parties.
1) Quelle est la loi de X ?
2) Quelle est la probabilité que le joueur n’ait plus de points ?
3) Exprimer Y en fonction de X.
4) Quelle est l’espérance de Y ?
1/4
Exercice 2Z
Soit I n =
1
x n ln(1 + x) dx, pour n ∈ N.
0
1.
a) Montrer que I n ¾ 0 pour tout n ∈ N.
b) Établir que la suite (I n ) est décroissante.
c) En déduire que la suite (I n ) est convergente.
2. Calculer I0 (à l’aide d’une intégration par parties).
3.
a) Justifier l’inégalité x n ln(1 + x) ¶ x n ln 2 pour tout x ∈ [0, 1].
ln 2
b) En déduire que, pour tout n ∈ N, I n ¶
.
n+1
c) Calculer lim I n .
n→+∞
4.
1
ln 2
−
a) Montrer que pour tout n ∈ N, I n =
n+1 n+1
Z 1 n+1
x
1
b) Montrer que 0 ¶
dx ¶
.
1
+
x
n
+
2
0
Z
0
1
x n+1
dx (par parties).
1+ x
c) En déduire une minoration de I n puis donner un encadrement de I n .
d) Déterminer la limite de nI n quand n tend vers +∞ d’après ce qui précède.
Exercice 3 (les deux parties sont indépendantes)
Les parties sont indépendantes mais dans chaque partie on considère une urne contenant
initialement 4 boules indiscernables au toucher : 1 blanche et 3 rouges. Les modalités de tirage
sont différentes dans chaque partie.
A– On effectue des tirages d’une boule sans remise dans l’urne jusqu’à obtenir une boule
blanche. On définit Y la variable aléatoire égale au rang du tirage où l’expérience s’arrête.
Pour k ∈ N∗ , on définit les événements :
– R k : « au ke tirage on tire une boule rouge » ;
– Bk : « au ke tirage on tire une boule blanche ».
1. Déterminer les valeurs prises par Y.
2. Calculer P(Y = 1).
3. Décrire l’événement [Y = 2] et calculer P(Y = 2).
4. Montrer de manière détaillée, que Y suit la loi uniforme sur Y(Ω).
5. Déterminer son espérance E(Y) et sa variance V(Y).
6. Soit Z la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges restant dans l’urne au
moment où l’expérience s’arrête.
a) Exprimer Z en fonction de Y.
b) En déduire la loi de Z, son espérance E(Z) et sa variance V(Z).
B– Soit N un entier supérieur ou égal à 2.
Dans cette partie, on effectue N tirages successifs d’une boule de l’urne successivement
avec la règle suivante :
– si on tire la boule blanche, on la remet dans l’urne ;
– si on tire une boule rouge, on ne la remet pas.
2/4
Pour n ∈ ¹1, Nº, on note Tn le nombre de boules rouges tirées lors des n premiers tirages.
1. Déterminer la loi de T1 .
2. Déterminer la loi de T2 et calculer son espérance.
3. Soit n ∈ ¹1, Nº.
a) Déterminer la probabilité que Tn = 0.
b) Montrer, en justifiant correctement, que la probabilité que Tn = 1 vaut
n  ‹k−1
X
1
4
k=1
 ‹n−k
3
1
× ×
.
4
3
c) Calculer cette probabilité en fonction de n (exprimer sans symbole
X
).
Exercice 4
On considère les matrices à coefficients réels P et Q définies par :


1 1 1
1
Q = (I + P)
P =  1 1 1 ,
4
1 1 1
où I désigne la matrice unité d’ordre 3.
1. Calculer P2 , PQ, QP en fonction de P.
2. Calculer les produits (4I − P)Q et Q(4I − P). Que peut-on en conclure pour la matrice Q ?
3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, il existe des réels an et bn tels que
Q n = an I + bn P
les suites (an ) et (bn ) vérifiant les relations de récurrence :

1

an
 an+1 =
4
1

an + bn
 bn+1 =
4
avec a0 = 1 et b0 = 0.
4. En déduire an en fonction de n.
5. Montrer que pour tout entier n non nul :
n−1
X
(bk+1 − bk ) = bn .
k=0

‹
1
1
1− n .
6. En déduire que pour tout entier n : bn =
3
4
7. Donner alors l’expression, sous forme matricielle, de Q n en fonction de l’entier n.
3/4
Exercice 5

‹

‹
7 −4
2 3
On considère les matrices A =
et P =
.
9 −5
3 4
1. Montrer que A est inversible et déterminer son inverse A−1 .
2. Vérifier que 
P est ‹
inversible, donner son inverse et vérifier que P−1 AP = T où T est la
1 1
matrice T =
.
0 1
3. Exprimer A en fonction de P et T.

‹
1 n
4. Montrer que pour tout n ∈ N, T =
.
0 1
n
5. Montrer que pour tout n ∈ N, An = PT n P−1 .
6. En déduire les puissances An de A en fonction de n. (On souhaite les quatre coefficients de
A).
7. On souhaite maintenant déterminer l’ensemble C des matrices M qui commutent avec A,
c’est-à-dire telles que AM = MA.
Pour cela on considère d’abord l’ensemble C 0 des matrices qui commutent avec T.

‹
a b
a) Traduire le fait que la matrice M =
commute avec T sous forme d’un système
c d
d’équations linéaires d’inconnues a, b, c et d.

‹
a b
0
b) Montrer que C est l’ensemble des matrices de la forme
.
0 a
c) Montrer que K ∈ C ⇔ P−1 KP ∈ C 0 pour une matrice K ∈ M2 (R).
d) En déduire toutes les matrices de C . Montrer qu’elles s’expriment toutes comme
combinaison linéaire de deux matrices que l’on précisera.
Exercice 6
Pour tout entier n ¾ 2, on définit le polynôme Pn par
Pn (X) = (X + 1)n − X n − 1.
1. Déterminer le degré de Pn ainsi que son coefficient dominant.
2. Donner une forme développée de Pn à l’aide des coefficients binomiaux. En déduire que
Pn est un polynôme non nul à coefficients réels.
3. Montrer que X divise Pn .
4. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles Pn est divisible par X + 1.
5. Le polynôme Pn peut-il être divisible par (X + 1)2 ?
6. On pose j = e2iπ/3 . Donner un polynôme de degré 2 à coefficients entiers qui admet j
comme racine.
7. Démontrer que s’il existe k ∈ N∗ tel que n = 6k + 1 alors Pn ( j) = 0.
4/4