doc - Baudrand

(esc 2005 éco)
EXERCICE 1
Soit B
321 ,, eee
la base canonique de l’espace vectoriel
3
RI
. On considère les matrices :
000
000
000
;
100
010
001
;
083
161
013
OIA
On note :
f l’endomorphisme de
3
RI
dont la matrice relativement à la base B est A.
id l’endomorphisme de
3
RI
dont la matrice relativement à la base B est I.
h l’endomorphisme de
3
RI
défini par :
idfh 3
.
N la matrice de l’endomorphisme h relativement à la base B.
1. a) Vérifier que
383
131
010
N
. En déduire
ONON  32 ;
.
b) Montrer que si  est valeur propre de N alors  = 0 .
Etablir alors que 0 est la seule valeur propre de h .
c) En déduire que f admet 3 pour unique valeur propre.
d) Déterminer une base et la dimension du sous-espace propre de f associé à la valeur propre 3.
e) L' endomorphisme f est-il diagonalisable ? est il bijectif ?
2. a) On considère les vecteurs de
3
RI
:
)(;)(;)1,1,1( 23121 uhuuhuu 
.
Calculer
2
u
et
3
u
. Vérifier que
)0,0,0()( 3uh
.
b) Montrer que la famille
),,( 321 uuu
est une base de
3
RI
, qu'on notera B'.
c) Déterminer la matrice N ' de h relativement à la base B' .
d) Montrer que la matrice de f relativement à la base B' est
NI 3
'.
On considère la matrice
121
011
111
P
.
3. a) A l’aide des questions précédentes, montrer que P est inversible et que
1
)'3(   PNIPA
.
b) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux.
b1. Montrer que
1
)'3(   PNIPA nn
.
b2. Justifier que
ON 
3
)'(
.
En déduire trois réels
nnn cba ,,
tels que
2
'')'3( NcNbIaNI nnn
n
.
b3. Montrer que
2
NcNbIaA nnn
n
.
EXERCICE 2

On considère la fonction de deux variables f définie sur l'ouvert
[;0][;0] U
par :
xyyxyxf lnln)),(( 2
1. On note g la fonction définie sur
[;0] 
par
1ln24)( 2 ttttg
.
(a) Montrer que g est
2
C
sur son domaine et calculer
)(' tg
et
)('' tg
pour
0t
.
(b) Etudier les variations de
'g
sur
[;0] 
puis celle de
g
sur
[;0] 
.
( On précisera à chaque fois les limites aux bornes )
(c) En déduire que l'équation
0)( tg
admet une unique solution notée  .
(d) Vérifier que :
 2
1
2ln
2. (a) Montrer que f est
2
C
sur U.
(b) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de f .
(c) En déduire que si
),( 00 yx
est un point critique de f , alors
1
0x
et
0
2
0
0ln )( x
x
y
.
(d) Etablir alors que
0)(ln 0xg
.
En déduire que f possède un unique point critique noté M , de coordonnées
),( 2
e
e
où  est le réel défini au 1.(c) .
3. (a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de f .
(b) En utilisant la relation de la question 1.(d) , montrer que
 2
)(
ln22
0
0
0x
y
y
.
En déduire que la fonction f ne présente pas d'extremum.
4. On définit sur
RI
l'application h telle que
10lorsque0)(
]1;0]lorsque)),((
5
36
)(
toutth
tttfth
(a) Montrer que h est continue sur
RI
.
(b) Soit k un entier naturel non nul et a un réel de ] 0 ; 1 ]. Calculer
1ln
a
kdttt
.
En déduire que l'intégrale
1
0ln dtttk
existe et vaut
2
)1( 1
k
.
(c) Montrer que pour tout réel t de
]1;0]
,
0ln)1(  tt
.
En déduire que
h
est positive sur
RI
.
(d) Montrer que h est une densité de probabilité.
EXERCICE 3
Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher.
On appelle " épreuve " la séquence suivante :
On tire une boule de l'urne, puis :

 Si la boule tirée est bleue , on la remet dans l'urne.
 Si la boule tirée est rouge , on ne la remet pas dans l'urne mais on
remet une boule bleue dans l'urne à sa place.
L'expérience aléatoire consiste à effectuer une succession illimitée d'épreuves.
Pour tout entier naturel n non nul , on note
n
Y
la variable aléatoire discrète égale au nombre de boules
rouges présentes dans l'urne à l'issue de la n - ième épreuve.
On notera pour chaque entier naturel k non nul les événements suivants :
k
R
: " Lors de la k-ième épreuve on a extrait une boule rouge de l'urne. "
k
B
: " Lors de la k-ième épreuve on a extrait une boule bleue de l'urne. "
1. Donner la loi de probabilité de
1
Y
.
2. Quelles sont les valeurs possibles de
n
Y
dans le cas où n est supérieur ou égal à 2 ?
3. Calculer pour tout entier naturel non nul n ,
)2( 
n
YP
.
4. On pose pour tout entier naturel non nul n ,
)1(  nn YPu
.
(a) Rappeler la valeur de
1
u
et montrer que
3
2
2u
.
(b) En utilisant un système complet d'événements lié à la variable
n
Y
,
montrer que pour tout entier naturel
2n
,
1
132
3
2
 n nn uu
.
Cette relation reste-t-elle valable lorsque n = 1 ?
(c) On pose pour tout entier naturel n non nul
n
nn uv 3
2
.
Montrer que la suite
*
)( NInn v
est géométrique.
En déduire
n
v
en fonction de n et de
1
v
,
Etablir enfin que pour tout entier naturel non nul n,
n
n
n
u3
2
)
3
2
(2 
.
(d) Déduire des résultats précédents
)0( 
n
YP
pour tout entier naturel non nul n .
5. Calculer l'espérance de
n
Y
.
6. On note Z la variable aléatoire égale au numéro de l'épreuve amenant la dernière boule rouge.
(a) Donner Z().
(b) Soit k un entier supérieur ou égal à 2.
Exprimer l'événement
)( kZ 
en fonction des variables
k
Y
et
1k
Y
.
(c) En déduire la loi de Z.