Intégration par parties.

Intégration par parties
Intégration par parties.
Dans la suite nous noterons [F (t)] = f (b) − f (a).
Ainsi si F est une primitive de f sur [a,b], le théorème fondamentale de l'analyse
s'écrit
Z
b
a
b
b
f (t) dt = [F (t)]a
a
Rappelons que si f est intégrable sur [a,b], alors la fonction dénie pour tout
par
Z
x ∈ [a,b]
x
x 7→
f (t) dt
est la primitive de f sur [a,b] qui s'annule en a.
a
I
Le cours.
L'intégration par parties est un procédé astucieux pour intégrer une fonction (et
donc éventuellement en chercher une primitive) notamment dans le cas de fonctions
produits.
Faisons apparaître cette astuce.
Nous connaissons la formule pour calculer la dérivée d'un produit
(uv)0 = u0 v + uv 0
Isolons le terme u v
0
u0 v = (uv)0 − uv 0
Intégrons les deux membres de l'égalité
Z
b
u0 (t)v(t) dt =
a
Par linéarité de l'intégrale
Z
b
u0 (t)v(t) dt =
a
Z
b
(uv)0 (t) − u(t)v 0 (t) dt
a
Z
b
(uv)0 (t) dt −
Z
b
0
u (t)v(t) dt =
a
u(t)v 0 (t) dt
0
b
[u(t)v(t)]a
-1-
b
a
a
Et puisque, (uv) est une primitive de (uv)
Z
Z
−
a
b
u(t)v 0 (t) dt
Intégration par parties
Nous avons établi le résultat suivant.
Proposition 1 - Intégration par parties
Soient u et v des fonctions dérivables sur un intervalle [a,b] et dont les dérivées
sont continues.
b
Z
0
u (t)v(t) dt =
a
b
[u(t)v(t)]a
Z
−
b
u(t)v 0 (t) dt
a
Exercice 1
Calculez : I =
e
Z
(t + 1) ln(t) dt.
1
Correction exercice 1
Calculons I .
Nous pouvons penser à essayer l'intégration par partie car nous ne connaissons pas de
primitive de la fonction à intégrer et que celle-ci se présente sous forme d'un produit.
Il faut choisir une fonction u et une fonction v 0 .
Choisissons pour u une fonction que nous savons dériver et pour v 0 une fonction dont
nous connaissons une primitive.
Notons u0 (t) = t + 1 et v(t) = ln(t).
Alors : u(t) = 21 t2 + t et v 0 (t) = 1t .
Les fonctions u et v sont dérivables et à dérivées continues sur [1,e], nous pouvons
donc précéder à une intégration par parties
e Z e 1 2
1 2
1
t + t × ln(t) −
t + t × dt
2
2
t
1
1
Z e
1
1 2
= e +e−
t + 1 dt
2
1 2
e
1
1 2
t +t
= e2 + e −
2
4
1
1 2
1
1 2
= e +e− e −e+ +1
2
4
4
I=
Enn
I=
1 2 5
e +
4
4
-2-
Intégration par parties
Remarques.
1. Nous utiliserons l'intégration par parties pour calculer des intégrales ou rechercher des primitives de fonctions s'exprimant sous forme de produits.
2. Typiquement nous utiliserons l'intégration par parties pour intégrer des fonctions de la forme :
g(t) ln(t),
g(t)e ,
g(t) sin(t) ou g(t) cos(t),
g(t) sinh(t) ou g(t) cosh(t) (fonctions hyperboliques),
3. Il est parfois possible et nécessaire de procéder à plusieurs intégrations par
parties.
t
II
Exercices.
Exercice 2
Calculez les intégrales suivantes.
1. I =
1
Z
5. I =
xet dt
0
2. I =
√
(3t + 1) t dt
6. I =
3. I =
4. I =
Z
e
Z
t2 (1 − 2 ln t) dt
1
1
Z
(2t − 1)et dt.
0
4
Z
1
Z
ln 2
7. I =
(t + 2)et dt
0
2
8. I =
ln t dt
π
6
Z
t ln t dt
1
1
Correction exercice 2
1.
1
I = tet 0 −
1
Z
et dt
0
1
= e − et 0
= e − (e − 1)
=1
2.
Exercice 3
-3-
(2t − 1) sin t dt
Z0 e
Intégration par parties
1. Soit f une fonction réelle dénie sur R par :
∀x ∈ R, f (x) = (x2 + 2x + 2) exp(−x)
Démontrez qu'il existe a, b et c, et une fonction F :
telle que F soit une primitive de f sur R.
2. Calculez I =
1
Z
R→R
x 7→ (ax2 + bx + c)e−x
(t2 + 2t + 2) exp(−t) dt.
0
3. Calculez I en procédant à deux intégrations par parties.
Correction exercice 3
1. Nous allons faire un raisonnement par analyse synthèse pour démontrer cette existence.
(a) Analyse. Supposons qu'il existe a, b et c tels que F soit une primitive de f .
Si F est une primitive de f alors quelque soit x ∈ R
F 0 (x) = f (x)
Ce qui équivaut successivement à
(2ax + b)e−x + (ax2 + bx + c) −e−x = f (x)
2ax + b − ax2 − bx − c e−x = f (x)
−ax2 + (2a − b)x − c + b e−x = f (x)
Comme e−x 6= 0
−ax2 + (2a − b)x − c + b = x2 + 2x + 2
Par identication
a = −1 et 2a − b = 2 et b − c = 2
a = −1 et b = −4 et c = −6
(b) Synthèse. Vérions que a = −1, b = −2 et c = −6 répondent à la question.
x 7→ (−x2 − 4x − 6)e−x est dérivable sur R et quelque soit réel F 0 (x) =
(x2 + 2x + 2) exp(−x).
Nous avons démontré par analyse et synthèse qu'il est possible des
trouver a, b et c.
-4-
Intégration par parties
2. Calculons I .
D'après ce qui précède et le théorème fondamental de l'analyse
I = F (1) − F (0)
= 5e−1 − 2
I = 5e−1 − 2.
3.
III
Intégrales de Wallis.
Exercice 4
On appelle
intégrales de Wallis
les termes de la suite (Wn )n∈N dénie par
Z
∀n ∈ N, Wn =
π
2
sinn (t) dt
0
1. (a)
(b)
(c)
(d)
2. (a)
Justiez que la suite (Wn )n∈N est bien dénie.
Justiez qu'il s'agit d'une suite positive.
Démontrez que (Wn ) est décroissante.
Discutez de la convergence de (Wn )n∈N .
Soit n ≥ 2.
Intégrez par parties Wn en choisissant u0 (t) = sin(t) et v(t) = sinn−1 (t) puis
montrez que
nWn = (n − 1)Wn−2 .
(b) Démontrez que quelque soit p ∈ N,
W2p =
(2p − 1)(2p − 3) . . . 1 π
·
[(2p)(2p − 2) . . . 2]2 2
et
W2p+1 =
(c) Montrez que pour tout p entier naturel
(2p + 1)W2p W2p+1 =
(d) Démontrez que (Wn )n∈N converge vers 0.
-5-
π
2
[(2p)(2p − 2) . . . 2]2
(2p + 1)(2p − 1) . . . 3
Intégration par parties
Remarque. Les intégrales de Wallis peuvent être utilisées pour retrouver la valeur de
l'intégrale de Gauss.
Il est possible d'encadrer l'intégrale de Gauss par des intégrales de Wallis. Sans aucun
formalisme mathématique
"(n + 1)Wn+1 Wn =
π
2
⇒
p
√
nWn = π2 ".
Correction exercice 4
1. (a) sin est continue sur le segment 0; π2 donc Wn est bien dénie pour tout n.
(b) sin est positive sur 0; π2 .
(c)
(d)
2. (a)
(b)
IV
Wn+1 − Wn =
R
π
2
0
sinn (t) [sin(t) − 1] dt.
Positive et décroissante donc convergente.
Par récurrence avec I0 = π2 et I1 = 1.
Par télescopage.
Fonction gamma d'Euler.
Exercice 5
La fonction
gamma d'Euler
est la fonction dénie sur par :
Γ:
R∗+
x
→
7
→
R
R +∞
0
tx−1 e−t dt
Nous admettrons que l'intégrale existe et que donc la fonction Γ est dénie sur R∗+ .
1. Nous souhaitons calculer Γ(1).
(a) Soit y ∈ R. Calculez g(y) = 0y e−t dt en fonction de y .
(b) Déterminez limy→+∞ g(y) et déduisez-en Γ(1).
R
2. Montrez que quelque soit x ∈ R∗+ , Γ(x + 1) = xΓ(x).
3. Démontrez que
∀n ∈ N, Γ(n + 1) = n!
q
4. Procédez au changement de variable s = 2t dans l'intégrale calculant Γ
déduisez-en, d'après votre cours, la valeur de Γ 12 .
Correction exercice 5
1. (a) g(y) = −e−y + 1.
(b) Γ(1) = 1.
2. Intégration par parties.
3. Par récurrence.
-6-
1
2
et