Corrigé d'examen Algèbre Linéaire L1 - Université Douala

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UNIVERSITÉ DE DOUALA - FS - DMI
Session Normale UE INF132
Filière : Informatique Corrigé-type
Niveau : L1 Juillet 2024
Élément d’Algèbre pour Informatique I
Exercice 1 Système linéaire et inversion d’une matrice (6 points)
M:=
1 1 0
1 2 2
1 0 6
,et (S) :
x+ (α1)y+ (2 α)z=α+ 5
x+αy + 2z= 4
x+ (α2)y+ (2 2α2)z= 6
.
(1) Discuter suivant les valeurs de αR, le nombre de solutions de (S). Le
système est résoluble ssi la matrice du système et la matrice augmentée
sont de même rang.
1α1 2 α
1α2
1α2 2 2α2
α+ 5
4
6
1α1 2 α
0 1 α
002α(1 α)
α+ 5
α1
2α
.
Pour αR{1}le système a une unique solution. 1 pt
Pour α= 0 le système a une infinité de solution. 0,5 pt
Pour α= 1 le système n’a aucune solution. 0,5 pt
(2) Calculons le déterminant de la matrice M.
det(M) = 4.1 pt
(3) Calculons l’inverse M1de la matrice M.
Après un long calcul, M1=1
4
12 62
8 6 2
211
2 pts
(4) Déduisons-en la solution de (S)pour α= 2.
X=M1
7
4
6
=
12
5
1
.1 pt
Exercice 2 Symétrie vectorielle (4 points)
Soient les vecteurs de R3v1= (1,1,3),v2= (1,0,3) et v3= (2,1,1).
Notons F=V ect(v1)et G=V ect(v2, v3).
(1) Montrer que la famille B= (v1, v2, v3)est une base de R3.1 pt
Que peut-on dire des espaces Fet G?
Fet Gsont supplémentaire. 1 pt
(2) Déterminer les coordonnées du vecteur v= (4,2,1) dans la base B.
On résout v=xv1+yv2+zv3et on trouve v= (1,1,1)B1 pt
(3) Soit sla symétrie d’axe Fparallèlement à G. Déterminer la matrice M
de sdans la base B.
M=
1 0 0
01 0
0 0 1
.1 pt
Exercice 3 Application linéaire (10 points)
f:R3R3
(x, y, z)7→ (x+y+z, x y+z, x y3z).
(1) Déterminer le noyau de f.
v(x, y, z)Ker(f)
x+y+z= 0
xy+z= 0
xy3z= 0
(x=y
z= 0 .
Donc Ker(f) = (1,1,0).2 pts
(2) Déterminer le rang et l’image de f.
D’après le théorème du rang, rg(f) = 3 1=2.1 pt
Donc Im(f) = f(1,0,0), f(0,1,0)=(1,1,1),(1,1,1).1 pt
(3) L’application fest injective ? Bijective ?
fn’est ni injective ni bijective. 1 pt
(4) Écrite la matrice Aof fdans la base canonique de R3.
A=
1 1 1
11 1
113
.2 pts
(5) Pour quelle valeur de βle vecteur v= (1,1, β)est dans Im(f) ?
vIm(f)ssi
x+y+z= 1
xy+z= 1
xy3z=β
est soluble.
1 1 1 |1
11 1 |1
113|β
111|1
0 0 2 |2
0 0 0 |3 + β
.
Donc vIm(f)ssi β=3.1 pt
One mark of presentation to everybody. 1 pt
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