
UNIVERSITÉ DE DOUALA - FS - DMI
Session Normale UE INF132
Filière : Informatique Corrigé-type
Niveau : L1 Juillet 2024
Élément d’Algèbre pour Informatique I
Exercice 1 Système linéaire et inversion d’une matrice (6 points)
M:=
1 1 0
1 2 2
1 0 −6
,et (S) :
x+ (α−1)y+ (2 −α)z=α+ 5
x+αy + 2z= 4
x+ (α−2)y+ (2 −2α2)z= 6
.
(1) Discuter suivant les valeurs de α∈R, le nombre de solutions de (S). Le
système est résoluble ssi la matrice du système et la matrice augmentée
sont de même rang.
1α−1 2 −α
1α2
1α−2 2 −2α2
α+ 5
4
6
∼
1α−1 2 −α
0 1 α
002α(1 −α)
α+ 5
α−1
−2α
.
Pour α∈R∗∖{1}le système a une unique solution. 1 pt
Pour α= 0 le système a une infinité de solution. 0,5 pt
Pour α= 1 le système n’a aucune solution. 0,5 pt
(2) Calculons le déterminant de la matrice M.
det(M) = −4.1 pt
(3) Calculons l’inverse M−1de la matrice M.
Après un long calcul, M−1=1
4
12 −6−2
−8 6 2
2−1−1
2 pts
(4) Déduisons-en la solution de (S)pour α= 2.
X=M−1
7
4
6
=
12
−5
1
.1 pt
Exercice 2 Symétrie vectorielle (4 points)
Soient les vecteurs de R3v1= (1,−1,−3),v2= (1,0,3) et v3= (2,−1,1).
Notons F=V ect(v1)et G=V ect(v2, v3).
(1) Montrer que la famille B= (v1, v2, v3)est une base de R3.1 pt
Que peut-on dire des espaces Fet G?
Fet Gsont supplémentaire. 1 pt
(2) Déterminer les coordonnées du vecteur v= (4,−2,1) dans la base B.
On résout v=xv1+yv2+zv3et on trouve v= (1,1,1)B1 pt
(3) Soit sla symétrie d’axe Fparallèlement à G. Déterminer la matrice M
de sdans la base B.
M=
1 0 0
0−1 0
0 0 −1
.1 pt
Exercice 3 Application linéaire (10 points)
f:R3→R3
(x, y, z)7→ (−x+y+z, x −y+z, x −y−3z).
(1) Déterminer le noyau de f.
v(x, y, z)∈Ker(f)⇐⇒
−x+y+z= 0
x−y+z= 0
x−y−3z= 0
⇐⇒ (x=y
z= 0 .
Donc Ker(f) = ⟨(1,1,0)⟩.2 pts
(2) Déterminer le rang et l’image de f.
D’après le théorème du rang, rg(f) = 3 −1=2.1 pt
Donc Im(f) = ⟨f(1,0,0), f(0,1,0)⟩=⟨(−1,1,1),(1,−1,−1)⟩.1 pt
(3) L’application fest injective ? Bijective ?
fn’est ni injective ni bijective. 1 pt
(4) Écrite la matrice Aof fdans la base canonique de R3.
A=
−1 1 1
1−1 1
1−1−3
.2 pts
(5) Pour quelle valeur de βle vecteur v= (1,1, β)est dans Im(f) ?
v∈Im(f)ssi
−x+y+z= 1
x−y+z= 1
x−y−3z=β
est soluble.
−1 1 1 |1
1−1 1 |1
1−1−3|β
∼
−111|1
0 0 2 |2
0 0 0 |3 + β
.
Donc v∈Im(f)ssi β=−3.1 pt
One mark of presentation to everybody. 1 pt
1/1