Chapitre VII : Dérivation d`un quotient

Chapitre VII
terminale STMG
Chapitre VII : Dérivation d’un quotient
I : Dérivée de l’inverse
Théorème 1 :
On considère une fonction f pouvant s’écrire f = u1 .
Soit I un intervalle sur lequel :
1. f est définie.
2. u est une fonction définie et dérivable
0
f est alors dérivable sur I et sa dérivée f 0 vérifie f 0 = − uu2 sur cet intervalle.
Exemple 1 :
1
On considère la fonction f définie sur ] 12 ; +∞[ par f (x) = 1−2x
.
1
On a f = u avec :
u(x) = 1 − 2x
u est dérivable sur ] 21 ; +∞[ comme polynôme :
u 0 (x) = 0 − 2 × 1
u 0 (x) = −2
f est dérivable sur ] 12 ; +∞[ comme inverse d’une fonction dérivable sur ] 12 ; +∞[ :
0
f 0 = − uu2
−2
f 0 (x) = − (1−2x)
2
2
(1 − 2x)2
Remarques :
• f est définie ici par une division : si son ensemble de définition n’est pas déjà donné dans le texte, il
faut l’étudier avant toute chose !
• En général on ne développe pas le carré qui apparait au dénominateur : la dérivée s’utilise très souvent dans le contexte d’une étude de signe.
f 0 (x) =
II : Dérivée d’un quotient
Théorème 2 :
On considère une fonction f pouvant s’écrire f = uv .
Soit I un intervalle sur lequel :
1. f est définie.
2. u et v sont deux fonctions définies et dérivables
f est alors dérivable sur I et sa dérivée f 0 vérifie f 0 =
u 0 ×v−u×v 0
v2
sur cet intervalle.
Exemple 2 :
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2x+4
.
1+x 2
On a f = uv avec :
• u(x) = 2x + 4
u est dérivable sur ]0; +∞[ comme fonction affine :
u 0 (x) = 2 × 1 + 0
u 0 (x) = 2
• v(x) = 1 + x 2
v est dérivable sur ]0; +∞[ comme polynôme :
v 0 (x) = 0 + 2x
v 0 (x) = 2x
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Chapitre VII
terminale STMG
f est dérivable sur ]0; +∞[ comme quotient de fonctions dérivables sur ]0; +∞[ :
0
0
f 0 = u ×v−u×v
v2
f 0 (x) =
f 0 (x) =
f 0 (x) =
2×(1+x 2 )−(2x+4)×2x
(1+x 2 )2
2+2x 2 −(4x 2 +8x)
(1+x 2 )2
2+2x 2 −4x 2 −8x
(1+x 2 )2
2
2 − 2x − 8x
(1 + x 2 )2
Exemple 3 :
Une entreprise produit chaque année x tonnes de carton, avec x appartenant à l’intervalle [1 ; 50]. Le
coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production mensuelle de x tonnes est
donné par C (x), où C est la fonction définie par :
0, 01x 2 + 4
.
C (x) =
x
Déterminons le coût minimum de production sur [1 ; 50] :
C est un quotient d’un trinôme par une fonction de référence donc dérivable sur son ensemble de définition [1 ; 50].
• u(x) = 0, 01x 2 + 4
u 0 (x) = 0, 02x
• v(x) = x
v 0 (x) = 1
2 +4)×1
C 0 (x) = 0,02x×x−(0,01x
x2
f 0 (x) =
C 0 (x) =
0,02x 2 −0,01x 2 −4
x2
2
0, 01x − 4
.
x2
On étudie le signe de C 0 sur [1 ; 50] :
• 0, 01x 2 − 4 est un trinôme du second degré.
On calcule ∆ = b 2 − 4ac = 02 − 4 × 0, 01 × (−4) = 0, 16.
On a donc
:
p deux racines
p
−0− 0,16
∆
x 1 = −b−
=
=
−20
2a
2×0,01
C 0 (x) =
p
p
−0+ 0,16
∆
et x 2 = −b+
= 2×0,01 = 20
2a
Le trinôme est du signe de a = 0, 01 donc positif sauf entre x 1 = −20 et x 2 = 20 :
• x 2 est un carré donc positif sur R :
On en déduit le tableau de variations de C :
D’après le tableau le coût minimum de production sur [1 ; 50] est
2
5
milliers d’euros, c’est à dire 400 euros.
Cela correspond à 20 tonnes de carton.
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