Chapitre VII : Dérivation d`un quotient

Chapitre VII terminale STMG
Chapitre VII : Dérivation d’un quotient
I : Dérivée de l’inverse
On considère une fonction fpouvant s’écrire f=1
u.
Soit Iun intervalle sur lequel :
1. fest définie.
2. uest une fonction définie et dérivable
fest alors dérivable sur Iet sa dérivée f0vérifie f0= − u0
u2sur cet intervalle.
Théorème 1 :
Exemple 1 :
On considère la fonction fdéfinie sur ] 1
2;+∞[ par f(x)=1 1−2x.
On a f=1
uavec :
u(x)=1−2x
uest dérivable sur ] 1
2;+∞[ comme polynôme :
u0(x)=0−2×1
u0(x)=−2
fest dérivable sur ] 1
2;+∞[ comme inverse d’une fonction dérivable sur ] 1 2;+∞[ :
f0= − u0
u2
f0(x)=− −2
(1−2x)2
f0(x)=2
(1 −2x)2
Remarques :
•fest définie ici par une division : si son ensemble de définition n’est pas déjà donné dans le texte, il
faut l’étudier avant toute chose !
•En général on ne développe pas le carré qui apparait au dénominateur : la dérivée s’utilise très sou-
vent dans le contexte d’une étude de signe.
II : Dérivée d’un quotient
On considère une fonction fpouvant s’écrire f=u
v.
Soit Iun intervalle sur lequel :
1. fest définie.
2. uet vsont deux fonctions définies et dérivables
fest alors dérivable sur Iet sa dérivée f0vérifie f0=u0×v−u×v0
v2sur cet intervalle.
Théorème 2 :
Exemple 2 :
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(x)=2x+4
1+x2.
On a f=u
vavec :
•u(x)=2x+4
uest dérivable sur ]0;+∞[ comme fonction affine :
u0(x)=2×1+0
u0(x)=2
•v(x)=1+x2
vest dérivable sur ]0;+∞[ comme polynôme :
v0(x)=0+2x
v0(x)=2x
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fest dérivable sur ]0;+∞[ comme quotient de fonctions dérivables sur ]0;+∞[ :
f0=u0×v−u×v0
v2
f0(x)=2×(1+x2)−(2x+4)×2x
(1+x2)2
f0(x)=2+2x2−(4x2+8x)
(1+x2)2
f0(x)=2+2x2−4x2−8x
(1+x2)2
f0(x)=2−2x2−8x
(1 +x2)2
Exemple 3 :
Une entreprise produit chaque année xtonnes de carton, avec xappartenant à l’intervalle [1 ; 50]. Le
coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production mensuelle de xtonnes est
donné par C(x), où Cest la fonction définie par :
C(x)=0,01x2+4
x.
Déterminons le coût minimum de production sur [1 ; 50] :
Cest un quotient d’un trinôme par une fonction de référence donc dérivable sur son ensemble de défi-
nition [1 ; 50].
•u(x)=0,01x2+4
u0(x)=0,02x
•v(x)=x
v0(x)=1
C0(x)=0,02x×x−(0,01x2+4)×1
x2
C0(x)=0,02x2−0,01x2−4
x2
C0(x)=0,01x2−4
x2.
On étudie le signe de C0sur [1 ; 50] :
•0,01x2−4 est un trinôme du second degré.
On calcule ∆=b2−4ac =02−4×0, 01 ×(−4) =0,16.
On a donc deux racines :
x1=−b−p∆
2a=−0−p0,16 2×0,01 =−20
et x2=−b+p∆
2a=−0+p0,16 2×0,01 =20
Le trinôme est du signe de a=0,01 donc positif sauf entre x1=−20 et x2=20 :
•x2est un carré donc positif sur R:
On en déduit le tableau de variations de C:
D’après le tableau le coût minimum de production sur [1 ; 50] est 2
5milliers d’euros, c’est à dire 400 euros.
Cela correspond à 20 tonnes de carton.
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