Période des inverses

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Période des inverses
Par un élève de Terminale S du lycée Fragonard de l’Isle Adam(2007-2008) :
Gustave Emprin
Enseignants : Dominique Baroiller et Annick Boisseau
Chercheur : Philippe Guillot
Le sujet : Si on examine le développement décimal de 1/n pour un entier naturel non nul
donné n, deux cas se présentent : soit le développement est fini (par exemple 1/2 = 0,5) , soit
il est constitué de chiffres qui se répètent à partir d’un certain moment : un cycle (par exemple
1/11 = 0,090909…). On s’intéresse au nombre de chiffres de ce cycle.
Introduction
Comme tous les nombres, les inverses des entiers naturels admettent une écriture décimale.
Par exemple pour 7, on observe un motif ou cycle de 6 chiffres qui se répète :
=
7
10,142857142857142857142857…
On remarque une périodicité du développement décimal. Il est facile de prouver que cette
périodicité existe pour l’inverse de tout entier.
Définition : On appellera ici période le nombre de chiffres du motif.
On cherche à déterminer cette période pour tous les inverses des entiers naturels non nuls.
Dans la suite, nous utilisons les notations suivantes :
un = 10n1−
a | b signifie « a divise b »
a≡b [n] signifie « a et b ont même reste dans la division euclidienne par n »
p(x), la période de x, est le nombre de chiffres d’un cycle de x
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Par convention (personnelle), un nombre décimal a une période nulle car son développement
est fini.
Par exemple,
2
1= 0,50000000000… p(1/2) = 0
4
1= 0,25000000000… p(1/4) = 0

2
On remarque que les multiples d’une période sont aussi des périodes.
Par exemple :
7
1= 0,142857142857142857…
a 6 6 6
Définition : La période d’un nombre est la plus petite période.
On définit donc 6 comme la période de 7 .
Conjecture : Les multiples de 6 : 12, 18, 24, etc. sont aussi des périodes de 7 (les autres).
I- Une suite très pratique
La définition « graphique » de la période étant difficile à utiliser, nos premiers efforts ont
porté sur la recherche d’un outil plus maniable.
En effet, on montre que :
Si n est période de x, alors la multiplication par 10n, c'est-à-dire un décalage de n chiffres
laisse le développement décimal périodique inchangé après la virgule. On s'en débarrasse à
l'aide d'une simple soustraction de x
1. Le développement est alors fini, d'où :
Dire que n est période de x signifie que xx
n110 − est un nombre décimal.
C’est à dire, il existe des entiers α et β tels que x
n)110( 5 2 −×× βα
est un entier.
Ceci signifie que
βα
5 2 ×
xdivise 10n-1 = un .
Conclusion :
x admet n pour période si, et seulement s'il existe α et β entiers tels que
βα
5 2 ×
xdivise un.
De plus, comme un est premier avec 10, il est premier avec 2 et 5, on doit donc choisir
α et β
pour que
βα
5 2 ×
x soit premier avec 10.
Exemples :
• 6 = 2 × 3

3
2
6= 3 et 3 divise 101-1 = 9
Donc 3 et 6 ont pour période 1.
• P(7) = 6 et ...142857,142857
7
1
106=× d’où ...0,142857
7
1
7
106
=−
71106− est un entier, donc 1106− est un multiple de 7.
En effet, u6 = 1106−= 999999 = 142857
×
7.
• De plus, u3 = 1103−= 999 = 37
×
27
donc 3 est période de 27 1, 54 1 et 37
1 (entre autres).
On supposera, pour la suite, que x est premier avec 2 et 5, et que n est la période de x.
II- Période et périodes
On a émis la conjecture que les multiples de la période sont des périodes. Quelles sont les
relations entre la période et les périodes ?
Soit n la période de x.
x divise 10n-1, donc 10n-1 est congru à 0 modulo x.
10n est congru à 1 modulo x donc pour tout entier k, 10knest congru à 1k modulo x.
Ceci signifie que si n est une période de x, alors kn l’est aussi.
D'autre part, soit k une période, et soient q et r le quotient et le reste de la division euclidienne
de k par n : k = qn + r ; 0 ≤ r < n
x | uk
x | 10qn+r –1
x | 10qn+r-10r+10r-1
x | 10r(10qn-1)+(10r-1)
x | 10r(uqn)+ur
Or x | uqn , donc x | 10r(uqn), c'est à dire, par différence

4
x divise ur
Comme n est la plus petite valeur non nulle telle que x | un , alors r = 0 .
Conclusion :
k est une période de x si et seulement si k est multiple de n.
La conjecture est vérifiée.
III- Composons les périodes
Afin de déterminer plus facilement la période d'un nombre composé, on cherche ici à
déterminer la période du produit, par exemple, de deux nombres premiers entre eux.
En effet, si 1
xet 2 x, premiers entre eux, admettent respectivement pour période 1 n et 2 n,
Alors ils divisent respectivement 1
n
uet 2
n
u,
Ainsi que, pour tous entiers k et k’, 1
kn
uet 2
n'k
u,
Soit x = 1
x×2 xet n le plus petit commun multiple de 1 n et 2 n
Alors 1
x et 2 xdivisent un , c'est-à-dire x | un car 1 xet 2 x sont premiers entre eux
et n | PPCM ( 1
n,2 n )
Si k appartient à N* et est la plus petite valeur telle que x divise uk , alors
1
xdivise x, donc 1 xdivise uk
De même 2
xdivise uk, d’où :
p(x) = PPCM [p ( 1
x) ; p ( 2 x)]
Conclusion :
Soit 1 x et 2 x deux entiers premiers entre eux, alors le produit x = 1 x
×
2
xa pour période
p(x) = PPCM [p ( 1
x) ; p ( 2 x)].
Exemple :
p (7) = 6
p (41) = 5
p (11) = 2
PPCM ( 2 ; 5 ) = 10
donc p (451) = 10

5
PPCM ( 2 ; 6 ) = 6
donc p (77) = 6
IV- Et les puissances ?
La propriété ci-dessus ne s'applique que pour 1 n et 2 n premiers entre eux, ce qui pose
problème dans le cas de la puissance d’un nombre, premier par exemple. Le calcul de cette
période, plus complexe, nécessite une démonstration plus étoffée.
a) Construire une conjecture.
On cherche la valeur de la période de différentes puissances de nombres premiers.
=
7
1 0,142857142857… p (7) = 6
D'après I-, 49 | uP(49)
Comme 7 divise 49, on a 7 divise uP(49) donc p (49) est une période de 7, c'est à dire (d'après
II-), p (7) divise p (49) .
Il suffit donc de tester des périodes multiples de 6. On trouve finalement p (49) = 42
On cherche de même la période de 343, pour laquelle on trouve p (343) = 294
On procède de même pour les puissances de 11, pour lesquelles on trouve :
p (11) = 2w
p (121) = 22w
p (1331) = 242
Une conjecture semble ressortir : p (xk) = p (x)1−
×k x
On observe toutefois une exception pour 3 :
p (3) = 1
p (9) = 1
p (27) = 3
p (81) = 9w
p (243) = 27