DS n°4 - Fonctions - No Math Error à Mourenx

Nom :
Classe : T S
DS n°4
le 15/12/2015
Note :
… / 37
Avis de l’élève Avis du
professeur
Compétences évaluées Oui Non Oui Non
Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.
Déterminer les limites d'une fonction et les asymptotes éventuelles de sa courbe.
Dériver une fonction.
Etudier le signe d'une fonction.
Etudier les variations d'une fonction.
Construire dans un repère une courbe à partir de points, de tangentes et d'asymptotes.
Etudier la parité / la périodicité d'une fonction trigonométrique.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires / Encadrer la solution d'une équation.
Résoudre une équation du 2nd degré.
Exercice 1 : On considère la fonction f : x a… / 9
On note cf sa courbe représentative dans un repère.
1) Détermine l'ensemble de définition df de la fonction f. (1 point)
2) Ecris f comme la composée de deux fonctions g et h à définir. (1 point)
3) Etudie les limites de f aux bornes de df. Déduis-en les équations des asymptotes à cf. (3 points)
4) a) Justifie que, pour tout réel x dans df * on a :
f ' (x)= -15
√
4x−5
2(4x−5)2
√
3x.
(1,5 point)
b) Déduis-en les variations de la fonction f. (1 point)
5) Trace dans le repère ci-dessous les asymptotes puis la courbe cf. (1,5 point)
Exercice 2 : f est la fonction définie sur R par f (x) = cos (3x) + 1. … / 11
1) a) Etudie la parité de la fonction f. (1 point)
b) Démontre que f(1 point)
c) Déduis-en que l'étude de f peut être restreinte sur l'intervalle [0 (1 point)
d) Complète le tableau de valeurs suivant, en indiquant les calculs sur ta copie : (2 point)

2) a) Etudie le sens de variation de f sur [0 (3 points)
b) Déduis-en le tableau de variations de f sur [-π ; π]. (1,5 point)
c) Construis la courbe représentative cf dans le repère suivant. (1,5 point)
Exercice 3 : f est la fonction définie sur R\{3} par
f(x)= x2+x−11
x−3.
… / 17
On note cf sa courbe représentative dans un repère.
1) Détermine les réels a, b et c tels que, pour tout x de R\{3},
f(x)=ax+b+c
x−3.
(1 point)
2) Détermine les limites de f à gauche et à droite de 3. Que peut-on en déduire. (1,5 point)
3) a) Utilise la définition qui suit pour justifier que la droite (∆) d'équation y = x + 4 est asymptote oblique à cf
en -∞ et en +∞. (1,5 point)
Définition : Lorsque
lim
x→+∞
[f(x)−(ax +b)]=0
ou
lim
x→-∞
[f(x)−(ax+b)]=0
on dit que la droite d'équation
y = ax + b est asymptote oblique à la courbe cf en +∞ ou en -∞.
b) Etudie la position relative de cf et de (∆). (1 point)
4) a) Dresse le tableau de variations complet de la fonction f. (5 points)
b) Justifie que cf admet deux tangentes horizontales. Précise leurs équations. (1,5 point)
5) a) Justifie que l'équation f (x) = 0 admet deux solutions α et β sur [- 4 ; 3[. (1,5 point)
b) Utilise la calculatrice pour déterminer les encadrements de α et β au 100ème près. (1,5 point)
c) Calcule les valeurs exactes simplifiées de α et β.(1,5 point)
6) Trace dans le repère suivant les asymptotes en rouge, les tangentes en vert puis la courbe cf. (1 point)
π
1
0

Correction du DS n°4
Exercice 1 : On considère la fonction f : x a
On note cf sa courbe représentative dans un repère.
1) Détermine l'ensemble de définition df de la fonction f.
4x – 5 ≥ 0 ⇔ 4x ≥ 5 ⇔ x ≥
3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
f (x≥ 0 et 4x – 5 ≠ 0.
Donc f est définie sur ]-∞ ; 0] ∪; +∞[.
2) Ecris f comme la composée de deux fonctions g et h à définir.
∀ x ∈ ]-∞ ; 0] ∪; +∞[, f (x) = g [h (x)] avec :
h : x ag : X
lim
x→5
4
x>5
4
3x=3×5
4=15 4>0 et lim
x→5
4
x>5
4
4x−5=0+ donc, par quotient de limites, lim
x→5
4
x>5
4
f(x)=+∞
On en déduit que la droite d'équation xcf .
4) a) Justifie que, pour tout réel x dans df * on a :
f ' (x)= -15
√
4x−5
2(4x−5)2
√
3x.
f est dérivable sur df * = ]-∞ ; 0[ ∪; +∞[ car :
◦d'une part, la fonction rationnelle h est définie, dérivable et strictement positive sur df *.
◦d'autre part, la fonction racine carrée g est dérivable sur R+*.
∀ x ∈ df *, f ' (x) = h ' (x) × g ' [h (x)]
et
{
u' (x)=3
v ' (x)=4
D'autre part :
g(X)=
√
X donc g ' (X)= 1
2
√
X
Finalement :
f ' (x)= - 15
(4x−5)2×1
2
√
3x
4x−5
= - 15
(4x−5)2×1
2
√
3x
√
4x−5
= - 15
(4x−5)2×
√
4x−5
2
√
3x= - 15
√
4x−5
2(4x−5)2
√
3x

b) Déduis-en les variations de la fonction f.
∀ x ∈ df *,
√
4x−5>0, (4x−5)2>0 et
√
3x>0
2 > 0 et -15 < 0 donc : ∀ x ∈ df *, f ' (x) < 0.
On en déduit que f est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[ ; +∞[.
5) Trace dans le repère ci-dessous les asymptotes puis la courbe cf.
Exercice 2 : f est la fonction définie sur R par f (x) = cos (3x) + 1.
1) a) Etudie la parité de la fonction f.
∀ x ∈ R, -x ∈ R et f (-x) = cos (-3x) + 1 = cos (3x) + 1 = f (x).
Donc f est paire sur R.
b) Démontre que f
∀ x ∈ R, x∈ R et f (x x x + 2π) + 1 = cos (3x) + 1 = f (x).
Donc fR.
c) Déduis-en que l'étude de f peut être restreinte sur l'intervalle [0
Puisque fR
;
Puisque f est paire sur R, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc restreindre l'étude de f sur l'intervalle [0
d) Complète le tableau de valeurs suivant, en indiquant les calculs sur ta copie :
f (0) = cos (0) + 1 = 1 + 1 = 2 f
f 0,29 f
cf

2) a) Etudie le sens de variation de f sur [0 ;
∀ x ∈ [0 ;f (x) = cos (3x) + 1
f ' (x) = -3 sin (3x)
f ' (x) = 0 ⇔ -3 sin (3x) = 0 ⇔ sin (3x) = 0 ⇔ sin (3x) = sin 0 ⇔
{
3x=0+2k
ou
3x=π+2k
avec k ∈ Z et k ' ∈ Z. L'ensemble des solutions de f ' (x) = 0 sur l'intervalle [0
Remarque
0 ≤ x⇔ 0 ≤ 3x ≤ π
Or, la fonction sinus est positive sur [0 ; π]. Donc : ∀ x ∈ [0 ;x) ≥ 0 et -3 sin (3x) ≤ 0.
On en déduit que f ' est négative sur [0 ;f est décroissante sur [0 ;
b) Déduis-en le tableau de variations de f sur [-π ; π].
On a vu précédemment que cf était symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (car f est paire).
On en déduit que si f est décroissante sur [0 ;f; 0].
f étant R, ses variations sont les mêmes sur [-π ; ; ; π].
D'où le tableau suivant :
c) Construis la courbe représentative cf dans le repère suivant.