APPLICATION DE LA DERIVATION 1/ Application de la

APPLICATION DE LA DERIVATION
1/ Application de la dérivation à l’étude du sens de variation.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée.
Si f ’ est nulle sur I alors f est constante sur I .
Si f ‘ est positive sur I alors f est croissante sur I .
Si f ‘ est négative sur I alors f est décroissante sur I .
2/ Application de la dérivation à la recherche d’extrêmum.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée.
a) Si f admet un extrêmum local en x0 de I
alors f ‘( x0 ) = 0 et la courbe de f admet une
tangente horizontale au point d’abscisse x0.
b) Si f ‘ s’annule et change de signe pour une valeur x0
alors f admet un extrêmum local au point d’abscisse
x0 et la courbe de f admet une tangente horizontale
au point d’abscisse x0.
3/ Application de la dérivation à la résolution de l’équation f(x) = k ;
k un réel.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [ a ;b ]
a) Si k ∈ [ f(a) ;f(b) ] et si f est strictement croissante sur
[ a ;b ]
Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution
x0 ∈ [ a ; b ] .
b) Si k ∈ [ f(b) ;f(a) ] et si f est strictement décroissante
sur [ a ; b ]
Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution
x0 ∈ [ a ;b ] .
APPLICATION DE LA DERIVATION
1/ Application de la dérivation à l’étude du sens de variation.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée.
Si f ’ est nulle sur I alors f est constante sur I .
Si f ‘ est positive sur I alors f est croissante sur I .
Si f ‘ est négative sur I alors f est décroissante sur I .
2/ Application de la dérivation à la recherche d’extrêmum.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée.
a) Si f admet un extrêmum local en x0 de I
alors f ‘( x0 ) = 0 et la courbe de f admet une
tangente horizontale au point d’abscisse x0.
b) Si f ‘ s’annule et change de signe pour une valeur x0
alors f admet un extrêmum local au point d’abscisse
x0 et la courbe de f admet une tangente horizontale
au point d’abscisse x0.
3/ Application de la dérivation à la résolution de l’équation f(x) = k ;
k un réel.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [ a ;b ]
a) Si k ∈ [ f(a) ;f(b) ] et si f est strictement croissante sur
[ a ;b ]
Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution
x0 ∈ [ a ; b ] .
b) Si k ∈ [ f(b) ;f(a) ] et si f est strictement décroissante
sur [ a ; b ]
Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution
x0 ∈ [ a ;b ] .
APPLICATION DE LA DERIVATION
1/ Application de la dérivation à l’étude du sens de variation.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée.
Si f ’ est nulle sur I alors f est constante sur I .
Si f ‘ est positive sur I alors f est croissante sur I .
Si f ‘ est négative sur I alors f est décroissante sur I .
2/ Application de la dérivation à la recherche d’extrêmum.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée.
a) Si f admet un extrêmum local en x0 de I
alors f ‘( x0 ) = 0 et la courbe de f admet une
tangente horizontale au point d’abscisse x0.
b) Si f ‘ s’annule et change de signe pour une valeur x0
alors f admet un extrêmum local au point d’abscisse
x0 et la courbe de f admet une tangente horizontale
au point d’abscisse x0.
3/ Application de la dérivation à la résolution de l’équation f(x) = k ;
k un réel.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [ a ;b ]
a) Si k ∈ [ f(a) ;f(b) ] et si f est strictement croissante sur
[ a ;b ]
Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution
x0 ∈ [ a ; b ] .
b) Si k ∈ [ f(b) ;f(a) ] et si f est strictement décroissante
sur [ a ; b ]
Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution
x0 ∈ [ a ;b ] .
APPLICATION DE LA DERIVATION
1/ Application de la dérivation à l’étude du sens de variation.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée.
Si f ’ est nulle sur I alors f est constante sur I .
Si f ‘ est positive sur I alors f est croissante sur I .
Si f ‘ est négative sur I alors f est décroissante sur I .
2/ Application de la dérivation à la recherche d’extrêmum.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée.
a) Si f admet un extrêmum local en x0 de I
alors f ‘( x0 ) = 0 et la courbe de f admet une
tangente horizontale au point d’abscisse x0.
b) Si f ‘ s’annule et change de signe pour une valeur x0
alors f admet un extrêmum local au point d’abscisse
x0 et la courbe de f admet une tangente horizontale
au point d’abscisse x0.
3/ Application de la dérivation à la résolution de l’équation f(x) = k ;
k un réel.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [ a ;b ]
a) Si k ∈ [ f(a) ;f(b) ] et si f est strictement croissante sur
[ a ;b ]
Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution
x0 ∈ [ a ; b ] .
b) Si k ∈ [ f(b) ;f(a) ] et si f est strictement décroissante
sur [ a ; b ]
Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution
x0 ∈ [ a ;b ] .