APPLICATION DE LA DERIVATION APPLICATION DE LA DERIVATION 1/ Application de la dérivation à l’étude du sens de variation. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée. Si f ’ est nulle sur I alors f est constante sur I . Si f ‘ est positive sur I alors f est croissante sur I . Si f ‘ est négative sur I alors f est décroissante sur I . 2/ Application de la dérivation à la recherche d’extrêmum. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée. a) Si f admet un extrêmum local en x0 de I alors f ‘( x0 ) = 0 et la courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x0. b) Si f ‘ s’annule et change de signe pour une valeur x0 alors f admet un extrêmum local au point d’abscisse x0 et la courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x0. 3/ Application de la dérivation à la résolution de l’équation f(x) = k ; k un réel. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [ a ;b ] a) Si k ∈ [ f(a) ;f(b) ] et si f est strictement croissante sur [ a ;b ] Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution x0 ∈ [ a ; b ] . b) Si k ∈ [ f(b) ;f(a) ] et si f est strictement décroissante sur [ a ; b ] Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution x0 ∈ [ a ;b ] . 1/ Application de la dérivation à l’étude du sens de variation. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée. Si f ’ est nulle sur I alors f est constante sur I . Si f ‘ est positive sur I alors f est croissante sur I . Si f ‘ est négative sur I alors f est décroissante sur I . 2/ Application de la dérivation à la recherche d’extrêmum. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée. a) Si f admet un extrêmum local en x0 de I alors f ‘( x0 ) = 0 et la courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x0. b) Si f ‘ s’annule et change de signe pour une valeur x0 alors f admet un extrêmum local au point d’abscisse x0 et la courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x0. 3/ Application de la dérivation à la résolution de l’équation f(x) = k ; k un réel. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [ a ;b ] a) Si k ∈ [ f(a) ;f(b) ] et si f est strictement croissante sur [ a ;b ] Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution x0 ∈ [ a ; b ] . b) APPLICATION DE LA DERIVATION Si k ∈ [ f(b) ;f(a) ] et si f est strictement décroissante sur [ a ; b ] Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution x0 ∈ [ a ;b ] . APPLICATION DE LA DERIVATION 1/ Application de la dérivation à l’étude du sens de variation. 1/ Application de la dérivation à l’étude du sens de variation. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée. Si f ’ est nulle sur I alors f est constante sur I . Si f ‘ est positive sur I alors f est croissante sur I . Si f ‘ est négative sur I alors f est décroissante sur I . Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée. Si f ’ est nulle sur I alors f est constante sur I . Si f ‘ est positive sur I alors f est croissante sur I . Si f ‘ est négative sur I alors f est décroissante sur I . 2/ Application de la dérivation à la recherche d’extrêmum. 2/ Application de la dérivation à la recherche d’extrêmum. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée. a) Si f admet un extrêmum local en x0 de I alors f ‘( x0 ) = 0 et la courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x0. b) Si f ‘ s’annule et change de signe pour une valeur x0 alors f admet un extrêmum local au point d’abscisse x0 et la courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x0. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ‘ sa dérivée. a) Si f admet un extrêmum local en x0 de I alors f ‘( x0 ) = 0 et la courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x0. b) Si f ‘ s’annule et change de signe pour une valeur x0 alors f admet un extrêmum local au point d’abscisse x0 et la courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x0. 3/ Application de la dérivation à la résolution de l’équation f(x) = k ; k un réel. 3/ Application de la dérivation à la résolution de l’équation f(x) = k ; k un réel. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [ a ;b ] a) Si k ∈ [ f(a) ;f(b) ] et si f est strictement croissante sur [ a ;b ] Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution x0 ∈ [ a ; b ] . b) Si k ∈ [ f(b) ;f(a) ] et si f est strictement décroissante sur [ a ; b ] Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution x0 ∈ [ a ;b ] . Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [ a ;b ] a) Si k ∈ [ f(a) ;f(b) ] et si f est strictement croissante sur [ a ;b ] Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution x0 ∈ [ a ; b ] . b) Si k ∈ [ f(b) ;f(a) ] et si f est strictement décroissante sur [ a ; b ] Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution x0 ∈ [ a ;b ] .