Corrigé

Trigonométrie, théorème du sinus et cosinus - série n°4 Corrigé page 1
Le théorème du sinus dit que : sin( ) sin( ) sin( )
AB AC BC
γ
βα
==
Le théorème du cosinus dit que : 222 2cos()AB AC BC AC BC
γ
=+−⋅⋅⋅ et
222 2cos()AC AB BC AB BC
β
=+−⋅⋅⋅ et
222 2cos()BC AB AC AB AC
α
=+−⋅⋅⋅
On sait aussi que : 180
α
βγ ++= °
1) Le théorème du cosinus permet de calculer la valeur de x :
222 22
2 cos( ) 24 36 2 24 36 cos(44 ) 628,98xACBC ACBC γ = + −⋅ ⋅ ⋅ = + −⋅ ⋅ ⋅ °≈
Donc x ≈ 25,08.
Le théorème du sinus permet de calculer les angles α et β .
24 24 sin(44 )
sin( ) 0,6647
sin(44 ) sin( ) sin( )
xAC
x
β
ββ
⋅
°
== ⇔ = ≈
°
Puisque 24 n'est pas le plus long côté, 0 90
β
°< < °, donc arcsin(0,6647) 41,66
β
≈
š
36 36 sin(44 )
sin( ) 0,9971
sin(44 ) sin( ) sin( )
xBC
x
α
αα
⋅
°
== ⇔ = ≈
°
Puisque 362 > 242 + 25,082, 90 180
β
°< < ° , donc 180 arcsin(0,9971) 94,36
α
≈
°− ≈ °
Il est bon de vérifier que
α + β + γ = 180°.
On aurait pu utiliser le théorème du cosinus pour calculer les angles α et β. Exemple :
222
arccos arccos( 0,07559) 94,33
2
AB AC BC
AB AC
α
+−
=≈−≈°
⋅⋅
L'aire = 0,5⋅base ⋅ hauteur = 0,5 36 0,5 36 24 sin(44 ) 0,5 36 16,672 300,09hauteur⋅⋅ = ⋅⋅⋅ °≈ ⋅⋅ ≈
2)
222 222
9157,8
arccos arccos arccos(0,908) 24,77
22915
AH AC CH
AH AC
α
+− +−
===š
⋅⋅ ⋅⋅
L'angle en C du triangle ABC égale : γ = 180° − 22° − α ≈ 180° − 22° − 24,77° = 133,23°.
L'angle en C du triangle AHC égale :
γ1 =
22 2 222
7,8 15 9
arccos arccos arccos(0,875) 28,91
227,815
CH AC AH
CH AC
+− +−
=≈≈°
⋅⋅ ⋅⋅
γ2 = γ − γ1 ≈ 133,23° − 28,91° ≈ 104,32°
Le théorème du sinus permet de conclure.
2
7,8 7,8 sin(104,34 ) 20,17
sin( ) sin( ) sin(22 ) sin(22 )
xCH xx
γβ
⋅
°
== ⇔≈ ≈≈
°°
2
7,8 7,8 sin(180 22 104,33 ) 16,77
sin( ) sin( ) sin(22 ) sin(22 )
yCH yy
ηβ
⋅
°− °− °
== ⇔≈ ≈≈
°°
L'aire = 0,5⋅base ⋅ hauteur = 0,5 ( 9) ( sin(22 )) 0,5 29,17 6,282 91,63xy⋅+⋅⋅ °≈ ⋅ ⋅ ≈
3.1) 222 40 60 2 40 60 cos(28 ) 961,85, donc 961,85 31, 01aa=+−⋅⋅⋅ °≈ ≈ ≈
22 2
60 40
arccos arccos(0, 7958) 37, 26
260
a
a
β
+−
=≈≈°
⋅⋅
22 2
40 60
arccos arccos( 0, 4184) 114,73
240
a
a
γ
+−
=≈−≈°
⋅⋅
Il est bon de vérifier que : γ = 180° − α − β ≈ 114,74°.

Trigonométrie, théorème du sinus et cosinus - série n°4 Corrigé page 2
3.2)
222
81011
arccos arccos(0, 26875) 74, 41
2810
α
+−
==š
⋅⋅
222
10 11 8
arccos arccos(0, 7136) 44, 47
21011
β
+−
=≈≈°
⋅⋅
222
81110
arccos arccos(0, 483) 61,12
2811
γ
+−
=≈≈°
⋅⋅
Il est bon de vérifier que : γ = 180° − α − β ≈ 61,12°.
3.3) Ici, le théorème du sinus est plus agréable à utiliser. (Celui du cosinus est utilisable)
18 36 18
sin( ) sin(70 ) 0, 4698
sin( ) sin(70 ) 36
α
α
=⇒=⋅°≈
°
18 < 36, donc α < 90°, donc arcsin(0,4698) 28,02
α
≈≈°
β = 180° − α − 70° ≈ 81,96°.
222
36 18 2 36 18 cos( ) 1'439,09, donc 1' 439,09 37,94bb β =+−⋅⋅⋅ °≈ ≈ ≈
Il est bon de vérifier que : 18 36 38,31
sin( ) sin(70 ) sin( )
b
αβ
==≈
°°.
3.4) β = 180° - 45° - 60° = 75°.
Ici, seul le théorème du sinus est utilisable.
20 20 sin(60 ) 24, 49
sin(60 ) sin(45 ) sin(45 )
aa⋅°
=⇒= ≈
°° °
20 20 sin(75 ) 27,32
sin(75 ) sin(45 ) sin(45 )
bb⋅°
=⇒= ≈
°° °
4) On utilise le théorème du cosinus pour calculer divers angles.
222
1
54 56 10
arccos arccos(0,984) 10, 22
25456
α
+−
=≈≈°
⋅⋅
222
1
56 10 54
arccos arccos(0, 2857) 73,398
25610
γ
+−
=≈≈°
⋅⋅
222
1
10 54 56
arccos arccos( 0,111) 96,379
21054
δ
+−
=≈−≈°
⋅⋅
Il est bon de vérifier que : α1 + γ1 + δ1 ≈ 180°
222
33 54 27
2 arccos arccos(0,91919) 23,19
23354
α
+−
=≈≈°
⋅⋅
222
33 27 54
2 arccos arccos( 0,61616) 128,04
23327
ε
+−
=≈−≈°
⋅⋅
Donc ε
3 = 180° −
ε
2 ≈ 51,96°
β
3 = 180° −
α − γ
1 = 180° − α1 − α2 −
γ
1 ≈ 73,19°
δ
3 = 180° −
ε
3 −
β
3 ≈ 54,85°
Le théorème du sinus permet de conclure.
3
27 27 sin(54,85 ) 23,06
sin( 3) sin( ) sin(73,19 )
xxx
δβ
⋅°
=⇔≈ ≈≈
°°
3
27 27 sin(51,96 ) 22, 21
sin( 3) sin( ) sin(73,19 )
yyy
εβ
⋅°
=⇔≈ ≈≈
°°