Trigonométrie, théorème du sinus et cosinus - série n°4 Corrigé Le théorème du sinus dit que : Le théorème du cosinus dit que : On sait aussi que : page 1 AB AC BC = = sin(γ ) sin( β ) sin(α ) AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos(γ ) et AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos( β ) et BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos(α ) α + β + γ = 180° 1) Le théorème du cosinus permet de calculer la valeur de x : x 2 = AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos(γ ) = 242 + 362 − 2 ⋅ 24 ⋅ 36 ⋅ cos(44°) ≈ 628,98 Donc x ≈ 25,08. Le théorème du sinus permet de calculer les angles α et β. x AC 24 24 ⋅ sin(44°) = = ⇔ sin( β ) = ≈ 0, 6647 sin(44°) sin( β ) sin( β ) x Puisque 24 n'est pas le plus long côté, 0° < β < 90° , donc β ≈ arcsin(0, 6647) ≈ 41, 66° x BC 36 36 ⋅ sin(44°) = = ⇔ sin(α ) = ≈ 0,9971 sin(44°) sin(α ) sin(α ) x Puisque 362 > 242 + 25,082, 90° < β < 180° , donc α ≈ 180° − arcsin(0,9971) ≈ 94,36° Il est bon de vérifier que α + β + γ = 180°. On aurait pu utiliser le théorème du cosinus pour calculer les angles α et β. Exemple : AB 2 + AC 2 − BC 2 α = arccos ≈ arccos(−0, 07559) ≈ 94,33° 2 ⋅ AB ⋅ AC L'aire = 0,5⋅base ⋅ hauteur = 0,5 ⋅ 36 ⋅ hauteur = 0,5 ⋅ 36 ⋅ 24 ⋅ sin(44°) ≈ 0,5 ⋅ 36 ⋅16, 672 ≈ 300, 09 AH 2 + AC 2 − CH 2 92 + 152 − 7,82 2) α = arccos = arccos = arccos(0,908) ≈ 24, 77° 2 ⋅ AH ⋅ AC 2 ⋅ 9 ⋅15 L'angle en C du triangle ABC égale : γ = 180° − 22° − α ≈ 180° − 22° − 24,77° = 133,23°. L'angle en C du triangle AHC égale : CH 2 + AC 2 − AH 2 7,82 + 152 − 92 γ1 = arccos = arccos ≈ arccos(0,875) ≈ 28,91° 2 ⋅ CH ⋅ AC 2 ⋅ 7,8 ⋅15 γ2 = γ − γ1 ≈ 133,23° − 28,91° ≈ 104,32° Le théorème du sinus permet de conclure. x CH 7,8 7,8 ⋅ sin(104,34°) = = ⇔ x≈ ≈ x ≈ 20,17 sin(γ 2 ) sin( β ) sin(22°) sin(22°) y CH 7,8 7,8 ⋅ sin(180° − 22° − 104,33°) = = ⇔ y≈ ≈ y ≈ 16, 77 sin(η2 ) sin( β ) sin(22°) sin(22°) L'aire = 0,5⋅base ⋅ hauteur = 0,5 ⋅ ( x + 9) ⋅ ( y ⋅ sin(22°)) ≈ 0,5 ⋅ 29,17 ⋅ 6, 282 ≈ 91, 63 3.1) a 2 = 402 + 602 − 2 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ cos(28°) ≈ 961,85, donc a ≈ 961,85 ≈ 31, 01 602 + a 2 − 402 β = arccos ≈ arccos(0, 7958) ≈ 37, 26° 2 ⋅ 60 ⋅ a 402 + a 2 − 602 γ = arccos ≈ arccos(−0, 4184) ≈ 114, 73° 2 ⋅ 40 ⋅ a Il est bon de vérifier que : γ = 180° − α − β ≈ 114,74°. Trigonométrie, théorème du sinus et cosinus - série n°4 Corrigé 82 + 102 − 112 3.2) α = arccos = arccos(0, 26875) ≈ 74, 41° 2 ⋅ 8 ⋅10 102 + 112 − 82 β = arccos ≈ arccos(0, 7136) ≈ 44, 47° 2 ⋅10 ⋅11 82 + 112 − 102 ≈ arccos(0, 483) ≈ 61,12° 2 ⋅ 8 ⋅11 γ = arccos Il est bon de vérifier que : γ = 180° − α − β ≈ 61,12°. 3.3) Ici, le théorème du sinus est plus agréable à utiliser. (Celui du cosinus est utilisable) 18 36 18 = ⇒ sin(α ) = ⋅ sin(70°) ≈ 0, 4698 sin(α ) sin(70°) 36 18 < 36, donc α < 90°, donc α ≈ arcsin(0, 4698) ≈ 28, 02° β = 180° − α − 70° ≈ 81,96°. b 2 = 362 + 182 − 2 ⋅ 36 ⋅18 ⋅ cos( β °) ≈ 1'439, 09, donc b ≈ 1' 439, 09 ≈ 37,94 18 36 b Il est bon de vérifier que : = = ≈ 38,31 . sin(α ) sin(70°) sin( β °) 3.4) β = 180° - 45° - 60° = 75°. Ici, seul le théorème du sinus est utilisable. a 20 20 ⋅ sin(60°) = ⇒ a= ≈ 24, 49 sin(60°) sin(45°) sin(45°) b 20 20 ⋅ sin(75°) = ⇒ b= ≈ 27,32 sin(75°) sin(45°) sin(45°) 4) On utilise le théorème du cosinus pour calculer divers angles. 542 + 562 − 102 α1 = arccos ≈ arccos(0,984) ≈ 10, 22° 2 ⋅ 54 ⋅ 56 562 + 102 − 542 ≈ arccos(0, 2857) ≈ 73,398° 2 ⋅ 56 ⋅10 γ 1 = arccos 102 + 542 − 562 ≈ arccos(−0,111) ≈ 96,379° 2 ⋅10 ⋅ 54 δ1 = arccos Il est bon de vérifier que : α1 + γ1 + δ1 ≈ 180° 332 + 542 − 27 2 α 2 = arccos ≈ arccos(0,91919) ≈ 23,19° 2 ⋅ 33 ⋅ 54 332 + 27 2 − 542 ≈ arccos(−0, 61616) ≈ 128, 04° ⋅ ⋅ 2 33 27 ε 2 = arccos Donc ε3 = 180° − ε2 ≈ 51,96° β3 = 180° − α − γ1 = 180° − α1 − α2 − γ1 ≈ 73,19° δ3 = 180° − ε3 − β3 ≈ 54,85° Le théorème du sinus permet de conclure. x 27 27 ⋅ sin(54,85°) = ⇔ x≈ ≈ x ≈ 23, 06 sin(δ 3) sin( β 3 °) sin(73,19°) y 27 27 ⋅ sin(51,96°) = ⇔ y≈ ≈ y ≈ 22, 21 sin(ε 3) sin( β 3 °) sin(73,19°) page 2