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Université du Havre
UFR des Sciences et Techniques
Licence Sciences, Technologies, Santé
(3ème Année)- Topologie
Contrôle continu du 16 janvier 2013 - Durée : 3 heures.
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Exercice 1.
1. (a) Donner la définition d’une distance.
(b) Montrer que toute distance sur un espace métrique est uniformément
équivalente à une distance bornée.
2. (a) Soit (X, d)un espace métrique muni de sa distance d. Donner la défi-
nition d’une suite de Cauchy dans (X, d). Quand dit-on que l’espace
métrique (X, d)est complet ?
(b) L’espace Rnmuni de la distance usuelle est-il complet ? (Répondre
sans démonstration)
(c) L’espace Qmuni de la distance usuelle est-il complet ? (Répondre sans
démonstration)
3. (a) Donner la définition d’un espace bien enchaîné.
(b) Montrer que Qmuni de la distance usuelle est bien enchaîné mais qu’il
n’est pas connexe.
4. (a) Donner la définition d’une composante connexe.
(b) Déterminer les composantes connexes de Q(muni de la topologie
usuelle). Justifier votre réponse.
Exercice 2.
1. Soit Pn(x)la suite de polynômes définie par la récurrence :
P0= 0, Pn+1(x) = Pn(x) + 1
2(x−P2
n(x))
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(a) Montrer par récurrence que :
0≤Pn(x)≤√xet 0≤√x−Pn(x)≤2√x
2 + n√x.
(b) En déduire la convergence uniforme de la suite Pn(x)vers la fonction
√xsur [0,1].
2. Énoncer le théorème de Stone-Weierstrass (cas réel).
3. Soit (fn)n∈Nla suite de fonctions définie sur R+par :
∀n∈N,∀x∈R+, fn(x) = nex+xe−x
n+x.
(a) Montrer que la suite (fn)n∈Nconverge simplement vers une fonction
fque l’on explicitera.
(b) Montrer que la convergence est uniforme sur [0,1].
(c) La convergence est-elle uniforme sur R+?
Exercice 3. Soit (X, O)est un espace localement compact, c’est à dire que
(X, O)est un espace topologique séparé dont tout point possède un voisinage
compact. On ajoute à Xun nouveau point noté w,w /∈X, et on pose : X∞=
X∪ {w}.
1. Soit O∞un ensemble de parties de X∞défini par : Uappartient à O∞si
Uappartient à Oou bien si Uest le complémentaire dans X∞d’une partie
compacte de (X, O).
(a) Vérifier que O∞est une topologie.
(b) Montrer que (X∞,O∞)est un espace séparé.
(c) On veut maintenant montrer que X∞est compact. Soit (Ui)i∈Iun re-
couvrement ouvert de X∞. Soit i0∈Itel que w∈Ui0.
i. Pourquoi X∞\Ui0est-il compact dans X?
ii. En déduire que X∞est compact .
(d) Montrer que si Xest compact alors west un point isolé de X∞. (C’est
à dire qu’il existe un voisinage Wde wdans X∞tel que W∩X∞=
{w}.)
(e) Montrer que si Xest localement compact mais non compact alors X
est dense dans X∞.
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2. Soit Yun espace compact et g:X→Yun homéomorphisme de Xsur
g(X)tel que Y\g(X)soit réduit à un point w0. On définit l’application hde
X∞dans Ypar :
h(x) = (g(x)si x∈X,
w0si x=w. (1)
(a) Montrer que hest bijective de Xdans Y.
(b) Soit Vun voisinage ouvert de w0dans Y. Montrer que K=Y\V⊂
g(X)est un compact de Y.
(c) Montrer que X∞\h−1(V)est un compact de X. En déduire que hest
continue sur X∞.
(d) En déduire que hest un homéomorphisme.
3. Dans cette partie, on pose X=R. On munit Xde sa topologie usuelle.
(a) Montrer que Rest localement compact mais non compact.
(b) Soit S={(x, y)∈R2;x2+y2= 1}. On munit Sde la topologie
induite par celle de R2. On définit k(x, y)sur S\(0,1) par k(x, y) =
x
1−y. Montrer que kest une bijection continue de S\(0,1) dans R.
(c) Soit gune fonction de Rdans R2définie par g(x) = ( 2x
x2+1 ,x2−1 x2+1 ).
Vérifier que k◦g(x) = xet en déduire que gest un homéomorphisme
de Rdans S\(0,1).
(d) Justifier que Sest compact. En déduire que S=X∞à un isomor-
phisme près.
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