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Université du Havre
UFR des Sciences et Techniques
Licence Sciences, Technologies, Santé
(3ème Année)- Topologie
Contrôle continu du 16 janvier 2013 - Durée : 3 heures.
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Exercice 1.
1. (a) Donner la définition d’une distance.
(b) Montrer que toute distance sur un espace métrique est uniformément
équivalente à une distance bornée.
2. (a) Soit (X, d) un espace métrique muni de sa distance d. Donner la définition d’une suite de Cauchy dans (X, d). Quand dit-on que l’espace
métrique (X, d) est complet ?
(b) L’espace Rn muni de la distance usuelle est-il complet ? (Répondre
sans démonstration)
(c) L’espace Q muni de la distance usuelle est-il complet ? (Répondre sans
démonstration)
3. (a) Donner la définition d’un espace bien enchaîné.
(b) Montrer que Q muni de la distance usuelle est bien enchaîné mais qu’il
n’est pas connexe.
4. (a) Donner la définition d’une composante connexe.
(b) Déterminer les composantes connexes de Q (muni de la topologie
usuelle). Justifier votre réponse.
Exercice 2.
1. Soit Pn (x) la suite de polynômes définie par la récurrence :
P0 = 0,
1
Pn+1 (x) = Pn (x) + (x − Pn2 (x))
2
1
(a) Montrer par récurrence que :
0 ≤ Pn (x) ≤
√
x et 0 ≤
√
√
2 x
√ .
x − Pn (x) ≤
2+n x
(b) √
En déduire la convergence uniforme de la suite Pn (x) vers la fonction
x sur [0, 1].
2. Énoncer le théorème de Stone-Weierstrass (cas réel).
3. Soit (fn )n∈N la suite de fonctions définie sur R+ par :
∀n ∈ N, ∀x ∈ R+ , fn (x) =
nex + xe−x
.
n+x
(a) Montrer que la suite (fn )n∈N converge simplement vers une fonction
f que l’on explicitera.
(b) Montrer que la convergence est uniforme sur [0, 1].
(c) La convergence est-elle uniforme sur R+ ?
Exercice 3. Soit (X, O) est un espace localement compact, c’est à dire que
(X, O) est un espace topologique séparé dont tout point possède un voisinage
compact. On ajoute à X un nouveau point noté w, w ∈
/ X, et on pose : X∞ =
X ∪ {w}.
1. Soit O∞ un ensemble de parties de X∞ défini par : U appartient à O∞ si
U appartient à O ou bien si U est le complémentaire dans X∞ d’une partie
compacte de (X, O).
(a) Vérifier que O∞ est une topologie.
(b) Montrer que (X∞ , O∞ ) est un espace séparé.
(c) On veut maintenant montrer que X∞ est compact. Soit (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de X∞ . Soit i0 ∈ I tel que w ∈ Ui0 .
i. Pourquoi X∞ \Ui0 est-il compact dans X ?
ii. En déduire que X∞ est compact .
(d) Montrer que si X est compact alors w est un point isolé de X∞ . (C’est
à dire qu’il existe un voisinage W de w dans X∞ tel que W ∩ X∞ =
{w}.)
(e) Montrer que si X est localement compact mais non compact alors X
est dense dans X∞ .
2
2. Soit Y un espace compact et g : X → Y un homéomorphisme de X sur
g(X) tel que Y \g(X) soit réduit à un point w0 . On définit l’application h de
X∞ dans Y par :
(
g(x) si x ∈ X,
h(x) =
(1)
w0 si x = w.
(a) Montrer que h est bijective de X dans Y .
(b) Soit V un voisinage ouvert de w0 dans Y . Montrer que K = Y \V ⊂
g(X) est un compact de Y .
(c) Montrer que X∞ \h−1 (V ) est un compact de X. En déduire que h est
continue sur X∞ .
(d) En déduire que h est un homéomorphisme.
3. Dans cette partie, on pose X = R. On munit X de sa topologie usuelle.
(a) Montrer que R est localement compact mais non compact.
(b) Soit S = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = 1}. On munit S de la topologie
induite par celle de R2 . On définit k(x, y) sur S\(0, 1) par k(x, y) =
x
. Montrer que k est une bijection continue de S\(0, 1) dans R.
1−y
2
(c) Soit g une fonction de R dans R2 définie par g(x) = ( x22x+1 , xx2 −1
).
+1
Vérifier que k ◦ g(x) = x et en déduire que g est un homéomorphisme
de R dans S\(0, 1).
(d) Justifier que S est compact. En déduire que S = X∞ à un isomorphisme près.
3