Chapitre 8 : Suites et séries de fonctions

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques Suites et séries de fonctions
Chapitre 8
Suites et séries de fonctions
F. Delacroix, École des Mines de Douai, 7 janvier 2011
Introduction
Présentation et objectifs
Ce chapitre pose essentiellement les bases des chapitres 9 et 10 dédiés à l’étude de séries
de fonctions particulières, et détaille les notions générales permettant la construction et
l’étude de nouvelles fonctions (en tant que limites de suites ou sommes de séries). Ces
notions peuvent également servir dans les questions liées l’approximation numérique de
fonctions, en approchant des grandeurs continues (des fonctions) par des sommes finies
(donc calculables).
On présente d’abord les notions de suites et séries de fonctions sur un mode « naïf », en
les considérant simplement commes des suites ou séries numériques munies d’un paramètre.
Tout l’objet de ce chapitre est alors l’étude des propriétés de la fonction limite (ou somme) :
d’abord son existence (modes de convergence) puis sa régularité (continuité, dérivabilité,
etc.). On propose également quelques théorèmes, dits de densité, d’approximation de
fonctions par des suites de fonctions d’un type particulier, phénomènes largement exploités
dans de nombreux problèmes de calcul et de modélisation numériques.
Prérequis:
Chapitre 7
Analyse et topologie (limites, continuité, dérivation, développements limités) (SUP)
Intégration (SUP)
Suites:
Chapitres 9, 10
Analyse complexe
Thermodynamique
Dans tout ce chapitre, Edésigne un K-espace vectoriel normé (où K=Rou C). On
considère des fonctions définies sur une partie de Eà valeurs dans K. Certains résultats
peuvent se généraliser à des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé complet
(espace de Banach), par exemple un espace vectoriel normé de dimension finie.
1 Suites de fonctions
Soient Aune partie de E,(fn)n∈Nune suite de fonctions définies sur A.
1.1 Modes de convergence
1

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Définition 1
On dit que la suite de fonctions (fn)n∈Nconverge simplement sur Avers une
fonction fsi la fonction fest définie sur Aet si, pour tout x∈A, la suite (de réels
ou complexes) (fn(x))n∈Nconverge vers f(x); c’est-à-dire
∀x∈A, ∀ε > 0,∃N∈N,∀n>N, |f(x)−fn(x)|< ε.
La fonction fest alors appelée limite simple de la suite (fn)n∈N.
Le plus grand (au sens de l’inclusion) ensemble Asur lequel la suite (fn)converge
simplement est appelé domaine de convergence simple de la suite (fn).
Il s’agit donc d’une convergence à xfixé.
♠Démontrer que la limite simple, si elle existe, est unique.
♠Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (fn)définies sur Rpar
fn(x) = xn
en précisant le domaine de convergence simple. Illustrer graphiquement le phé-
nomène en représentant sur un même graphique les fonctions f0,f1,f2et f3.
♠La limite simple d’une suite de fonctions C∞est-elle nécessairement continue ?
♠Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (fn)n∈N∗définies sur R
par
fn(x) = 
n2xsi |x|61
n
1
xsi |x|>1 n
en précisant le domaine de convergence simple. Montrer que chaque fonction
fnest continue et bornée. La limite simple fest-elle continue ? bornée ?
Pour obtenir un minimum de conservation des propriétés de régularité par passage à
la limite, on est donc amené à considérer un autre mode de convergence, plus exigeant
que la convergence simple.
Définition 2
On dit que la suite de fonctions (fn)n∈Nconverge uniformément vers fsur Asi
kf−fnk∞= sup
x∈A|fn(x)−f(x)|−−−→
n→+∞0
c’est-à-dire si
∀ε > 0,∃N∈N,∀n>N, ∀x∈A, |f(x)−fn(x)|< ε.
On dit alors que la fonction fest limite uniforme de la suite (fn)n∈N
♠Ecrire la négation de la convergence uniforme de (fn)vers une fonction f.
Pour vérifier cette propriété, il est nécessaire de déjà connaître la limite f. La propo-
sition suivante permet de répondre à ce problème.
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Proposition 1
Si (fn)n∈Nconverge uniformément vers f, alors (fn)converge simplement vers f.
La démonstration du fait que (fn)ne converge pas uniformément vers fpasse géné-
ralement par la mise en évidence d’une suite (xn)de Aconvergente telle que fn(xn)ne
tende pas vers f( lim
n→+∞xn).
♠Démontrer cette proposition.
Souvent, la convergence de (fn)vers fn’est pas uniforme sur Atout entier mais sur
certaines parties de A(par exemple sur tous les compacts de A). C’est alors une propriété
plus faible, toutefois suffisante dans bien des cas.
♠Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions (fn)n∈N
définies sur ]−1,1] par
∀n∈N,∀x∈]−1,1], fn(x) = xn.
Montrer que la convergence est uniforme sur tout intervalle du type [−a, a]où
a∈[0,1[.
♠Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions (fn)n∈N∗
définies sur Rpar
∀n∈N,∀x∈R, fn(x) = 
n2xsi |x|61
n
1
xsinon.
Montrer que la convergence est uniforme sur tout intervalle du type [a, +∞[,
où a > 0.
Proposition 2
Si (fn)n∈Net (gn)n∈Nsont deux suites de fonctions convergeant uniformément res-
pectivement vers fet g, alors, pour tout λ, µ ∈K, la suite (λfn+µgn)n∈Nconverge
uniformément vers λf +µg.
♠Démontrer cette proposition à l’aide de l’inégalité triangulaire.
1.2 Espace des applications bornées
On note B(A, K)le K-espace vectoriel des applications bornées sur Aà valeurs dans
K. La proposition suivante formalise un résultat du chapitre 1.
Proposition 3
L’application
B(A, K)−−−→ K
f7−−−→ kfk∞= sup
x∈A|f(x)|
est une norme sur B(A, K), appelée norme de la convergence uniforme sur A.
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♠En quoi l’hypothèse que les fonctions considérées soient bornées est-elle néces-
saire ?
Théorème 4
Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions de B(A, K). Les assertions suivantes sont équiva-
lentes :
(1) la suite (fn)converge uniformément vers une fonction f∈B(A, K);
(2) la suite (fn)converge vers une fonction f∈B(A, K)au sens de la norme k.k∞:
fn−f ∞−−−→
n→+∞0;
(3) la suite (fn)est uniformément de Cauchy, c’est-à-dire
∀ε > 0,∃N∈N,∀p, q >N,  fp−fq ∞< ε.
Remarquons que l’assertion (3) du théorème 4 permet parfois de prouver la convergence
uniforme sans connaître la limite f. Elle sera mise à profit à la section 3.2 pour l’étude
des séries de fonctions.
1.3 Conservation des propriétés par convergence uniforme
1.3.1 Continuité
Théorème 5
Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions continues sur Aconvergeant uniformément vers
une fonction fsur A. Alors fest continue sur A.
♠Que dire d’une suite de fonctions continues convergeant simplement vers une
fonction discontinue ? Reprendre les exemples précédents à la lumière de cette
remarque.
1.3.2 Limite
Théorème 6
Soient aun point adhérent à A,(fn)n∈Nune suite de fonctions sur Aconvergeant
uniformément vers une fonction fsur Aet telles que, pour tout n∈N, la limite
`n= lim
x→afn(x)
existe et soit finie. Alors la suite (`n)admet une limite `et
`= lim
x→af(x).
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Autrement dit, sous ces hypothèses, on a
lim
x→alim
n→+∞fn(x)= lim n→+∞lim
x→afn(x).
On démontre que ce résultat subsiste également lorsque K=Ret a=±∞.
♠On considère la suite de fonctions (fn)n∈N∗définies par
fn:R−−−→ R
x7−−−→ Arctan x
n.
Montrer que cette suite converge simplement vers la fonction nulle. En consi-
dérant les limites en +∞, montrer que la convergence n’est pas uniforme sur
R. Montrer qu’elle l’est sur tout compact de R.
1.3.3 Dérivabilité
On suppose dans cette partie que E=Ret que Aest un intervalle de R.
Théorème 7
Soit (gn)n∈Nune suite de fonctions de classe C1sur Aconvergeant simplement vers
une fonction get telle que la suite de fonctions (g0
n)converge uniformément vers une
fonction fsur A. Alors gest dérivable sur Aet g0=f.
Autrement dit, sous ces hypothèses,
lim
n→+∞gn0
= lim
n→+∞(g0
n).
♠On le voit la convergence uniforme de la suite (gn)n’est pas nécessaire. En
considérant la suite de fonctions (gn)définie par
gn: [−1,1] −−−→ R
x7−−−→ sx2+1
n
montrer qu’elle n’est pas non plus suffisante à elle seule.
1.3.4 Intégration
À nouveau on se place dans le cas où E=Ret A=Iest un intervalle borné de R.
Proposition 8
Soient (fn)une suite de fonctions continues par morceaux absolument intégrables
sur un intervalle Iborné, convergeant uniformément vers une fonction fcontinue par
morceaux sur I. Alors fest absolument intégrable sur Iet
ZI
f(x)dx = lim
n→+∞ZI
fn(x)dx.
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