primitives d`une fonction

TP : terminale GEL
PRIMITIVES D’UNE FONCTION
Définition :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Une fonction F définie sur I est une primitive de f lorsque f est la dérivée de F sur I.
On a donc : F ’ = f
Théorème 1 : Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I.
Théorème 2 : Les primitives d’une fonction f sur un intervalle différent entre elles d’une constante. Autrement dit si F
est une primitive de f, toute primitive de f est de la forme F + C ou C est une constante réelle.
Comment déterminer une primitive d’une fonction f ?
1 er cas : par lecture inverse du tableau des dérivées :
Compléter le tableau suivant ( la plus simple possible des fonctions suivantes ) :
f(x)=
3
2x
3 x2
ex
F(x) =
1
x2
1
2 x
sin x
cos x
1
x
2 ème cas : en utilisant qu’une primitive de la fonction ku où k est une constante réelle est la fonction kU où U est une
primitive de la fonction u.
Dans la pratique la recherche s’effectue dans un tableau de proportionnalité et on utilise les opérations sur les
dérivées.
Utiliser le formulaire des dérivées pour répondre aux questions suivantes.
Exemple 1 :
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur par f(x) = x
Compléter le tableau de gauche et la phrase suivante :
Une primitive de la fonction f définie sur par f(x) = x est la fonction F
définie sur
par F(x) = ……
Exemple 2 :
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur par f(x) = x²
Compléter le tableau de gauche et la phrase suivante :
Une primitive de la fonction f définie sur par f(x) = x² est la fonction F
définie sur
par F(x) = ……
Exemple 3 :
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur par f(x) = e3x
Compléter le tableau de gauche et la phrase suivante :
Une primitive de la fonction f définie sur par f(x) = e3x est la fonction F
définie sur
par F(x) = ……
Exemple 4 :
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur ]0 ; + [
par f(x) =
3
x
Compléter le tableau de gauche et la phrase suivante :
Une primitive de la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f(x) =
3
x
est la
fonction F définie sur ]0 ; + [ par F(x) = ……
Exemple 5 :
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur ]0 ; + [
par f(x) =
5
x
Compléter le tableau de gauche et la phrase suivante :
Une primitive de la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f(x) =
5
x
est la
fonction F définie sur ]0 ; + [ par F(x) = ……
Exemple 6 :
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur
par f(x) = sin 3x
Compléter le tableau de gauche et la phrase suivante :
Une primitive de la fonction f définie sur par f(x) = sin 3x est la fonction
F définie sur
par F(x) = ……
Exemple 7 :
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur ]0 ; + [
8
par f(x) =
x²
Compléter le tableau de gauche et la phrase suivante :
8
Une primitive de la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f(x) =
est la
x²
fonction F définie sur ]0 ; + [ par F(x) = ……
Exemple 8 :
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur
5
par f(x) = x 5
3
Compléter le tableau de gauche et la phrase suivante :
5
Une primitive de la fonction f définie sur
par f(x) = x 5 est la fonction
3
F définie sur
par F(x) = ……
Exemple 9 :
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur [0 ; + [
1
par f(x) =
3x  1
Compléter le tableau de gauche et la phrase suivante :
1
Une primitive de la fonction f définie sur [0 ; + [
par f(x) =
est
3x  1
la fonction F définie sur [0 ; + [
par F(x) = ……
Exemple 10 :
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur [0 ; + [
5
par f(x) =
(2 x  9) 2
Compléter le tableau de gauche et la phrase suivante :
Une primitive de la fonction f définie sur [0 ; + [
est la fonction F définie sur [0 ; + [
par f(x) =
par F(x) = ……
5
(2 x  9) 2