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PS 22
TD II
P 2004
PS 22
TD II
P 2004
Exercice N°2
Exploitation graphique de résultats expérimentaux
On étudie une grandeur qui décroît au cours du temps, on a le tableau suivant :
Objectifs
•
•
•
t en s
x(t)
Tracé et mise en forme de courbes et graphiques. Échelles logarithmiques.
Utilisation de formules matricielles. Régression linéaire, moindres carrés, constante de temps.
Impression de la feuille de calcul et des graphiques.
Ouvrir un classeur EXCEL qui permettra de mettre chaque exercice sur une feuille de calcul séparée.
Exercice N°1
Un mobile est lâché sur un plan incliné auquel est associé un axe Ox. Une série de capteurs permet de mesurer v
la vitesse acquise pour différentes valeurs de l’abscisse x.
Les mesures conduisent aux résultats suivants :
x(cm)
5,0
10,0
20,0
30,0
40,0
60,0
80,0
100,0
120,0
v(cm/s)
20,9
22,3
27,2
30,1
34,0
38,9
43,2
48,3
53,0
0
1000
4,2
570
8,5
320
12,1
200
16,6
150
20,0
70
24,3
40
32,5
20
36,9
10
40,8
6
Dans une nouvelle feuille de calcul, renommée Constante de temps, saisir les données sous forme d’un tableau
en colonnes.
• Créer un graphique, x en fonction de t, en utilisant l’assistant graphique nuage de points.
• Obtenir un graphique clair et lisible dans une feuille graphique Graph. CdT. Imprimer ce graphique, après
avoir ajouté votre nom, la date, PS22 dans l’en-tête ou le pied de page.
• Évaluer sur le graphique la constante de temps (définie par le temps mis par la grandeur pour décroître d’un
facteur e=2,718). (On peut aussi utiliser la méthode rapide décrite dans la manip N°2 en TP).
• Évaluer encore la constante de temps en traçant la tangente à la courbe à un point d’abscisse t1. Cette
tangente coupe l’axe des t au point d’abscisse t2=t1+τ. Si la décroissance est exponentielle le résultat ne
dépend pas de t1.
• Créer un nouveau graphique [1] , x fonction de t, en tant qu’objet dans la feuille Constante de temps.
• Mettre ce graphique [1] en échelle logarithmique pour l’axe des ordonnées (x) (échelle semi-logarithmique).
Si on suppose que le mouvement est uniformément accéléré (avec l’accélération a), le théorème de l’énergie
Calcul d’une constante de temps par les moindres carrés.
cinétique permet d’écrire v 2 − v02 = 2 a x . Si la relation est vraie, la courbe obtenue en représentant le carré
On cherche à déterminer la constante de temps par la méthode des moindres carrés appliquée à la relation entre
les variables z=ln(x) et t. En cours on a montré que si x(t) est de la forme :
x(t)=X0exp(–t/τ), alors z(t)=ln(X0)-t/τ=mt+b
La constante de temps apparaît comme l’inverse de l’opposé de la pente (τ=–1/m) de la droite d’équation
z=mt+b.
La méthode des moindres carrés (ou régression linéaire) permet de trouver une valeur de m (la meilleure au sens
des moindres carrés), donc une valeur de τ et une valeur de b=ln(X0), donc une valeur de X0.
• Ajouter au tableau une colonne avec z(t)=ln(x(t)). Tracer, en tant qu’objet dans la feuille de calcul, le
graphique [2], nuage de points correspondant à z(t). Calculer m et b par la méthode des moindres carrés en
utilisant la fonction DROITEREG. En déduire la constante de temps et la valeur de X0.
• On veut comparer les points expérimentaux avec ceux que donnerait la loi "théorique" avec les paramètres
qui viennent d’être calculés : x1(t)=X0exp(-t/τ). Ajouter une colonne au tableau avec les valeurs de x1.
• Ajouter sur le graphique [1] la série de données x1. Représenter les valeurs expérimentales par des points
(marques sans courbe) et les valeurs théoriques par une courbe (sans marque).
• Comparer x et x1, modifier les données expérimentales pour voir l’influence sur le résultat. On peut déplacer
les points expérimentaux en "tirant" sur une marque, quand elle est sélectionnée. Passer en coordonnées
semi-log pour faire apparaître la droite de régression.
• Ajouter au tableau une colonne avec z1=mt+b.
• Ainsi qu’on l’a vu dans l’exercice N°1, Excel permet d’obtenir très simplement la droite de régression à
partir d’un graphique, en ajoutant une courbe de tendance. On peut par une option faire apparaître l’équation
de la droite. Mais le résultat de la régression obtenu de cette manière n’est pas utilisable dans la feuille de
calcul. En revanche, la fonction TENDANCE (colonne z_t) calcule z en une seule étape. Comparer z1 et z_t.
• Imprimer pour la remettre à l’assistant, une feuille de calcul montrant sur une seule page les données, les
quantités t, x, z, x1, z1,et z_t, la date, votre nom, ainsi que les graphiques [1] et [2] en tant qu’objets dans la
feuille.
de la vitesse en fonction de l’abscisse x est une droite dont l’ordonnée à l’origine est v02 (le carré de la vitesse à
l’origine) et la pente est 2a (le double de l’accélération).
• Saisir les données dans un tableau en colonnes. Donner des noms aux colonnes. Renommez la feuille
Mouvement, à la place de feuil1.
• Tracer la courbe de la vitesse v en fonction de x, en utilisant le type de graphique nuage de points (sans
relier les points). Mettre le graphique [1] en tant qu’objet dans la feuille Mouvement.
• Dans le menu Graphique, sélectionner Ajouter une courbe de tendance... (il faut que le graphique soit
sélectionné). Choisir le Type Linéaire, puis, dans l’onglet Options, cocher les 2 cases Afficher l’équation
sur le graphique et Afficher le coefficient (R2) sur le graphique. Le résultat devrait montrer que les points
expérimentaux ne s’alignent pas très bien.
• Ajouter au tableau une colonne avec le carré de la vitesse, noté y.
• Tracer la courbe y en fonction de x, placer le graphique [2] à côté du graphique [1], lui appliquer le même
traitement (courbe de tendance, etc.). Les points devraient s’aligner mieux.
• Tracer une nouvelle courbe y fonction de x, et placer le graphique sur une nouvelle feuille appelée Vitesse
au carré, plutôt que Graph1. Comme type de graphique, il faut choisir nuage de points (sans relier les
points). Rajouter les quadrillages secondaires, de façon à pouvoir les utiliser pour mesurer des valeurs.
Imprimer ce graphique après avoir ajouté votre nom, la date, PS22 dans l’en-tête ou le pied de page. Pour
imprimer, il faut toujours faire Aperçu avant impression, puis cliquer sur le bouton Imprimer…
• Sur le graphique imprimé, tracer avec une règle une droite qui passe au mieux près de tous les points
expérimentaux. On met l’équation de la droite sous la forme y=m'x+b'. Déterminer graphiquement m' et b'.
• Utiliser la fonction matricielle DROITEREG pour calculer m (la pente), b (l’ordonnée à l’origine) et R le
coefficient de détermination pour la droite des moindres carrés. (Pour des informations sur cette fonction
matricielle chercher dans l’aide d’EXCEL : Fonctions de feuille de calcul, statistiques). Comparer m et m'
ainsi que b et b'. Vérifier que m, b et R correspondent aux valeurs affichées sur la courbe de tendance du
graphique [2].
• Ajouter au tableau des données une colonne avec les valeurs z=mx+b. Ajouter z en fonction de x sur le
graphique Vitesse au carré (Sélectionner les valeurs, faire Copier, sélectionner le graphique, faire Coller).
Supprimer les quadrillages secondaires. Faire apparaître la légende (en bas, plutôt que sur le côté)
[Graphique/Options du graphique…]. Dans [Graphique/Données source…/Série] changer les noms en
Points expérimentaux et Droite théorique. Sélectionner la courbe z, et [Format/Série de données
sélectionnée/Motifs], choisir Trait Automatique et Marque Aucune. Vérifier que c’est bien l’inverse pour y.
MH & PW
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