espaces vectoriels - applications linéaires - MPSI-1

ESPACES VECTORIELS - APPLICATIONS LINÉAIRES
MPSI 1–Lycée Thiers
Année 2008-2009
Table des matières
A Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
A.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Définitions, notations et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.3 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.4 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 Exemples de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.3 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.4 Sous-espace vectoriel engendré par une partie, par une famille de vecteurs
A.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Espace vectoriel somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
B Applications linéaires
B.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Noyau et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 Définitions (rappels) et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.2 Équation f (x) = b où f est une application linéaire . . . . . . . . .
B.3 L’ensemble des applications linéaires de E dans F . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 L’espace vectoriel L (E,F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Composition, l’ensemble (L (E) , + ,◦) et le groupe linéaire GL (E)
B.4 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4.2 Caractérisation des projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.5 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.5.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.5.2 Caractérisation des symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.6 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11
C Familles de vecteurs d’un K-espace vectoriel
C.1 Retour sur les familles génératrices . . .
C.2 Familles libres, familles liées . . . . . . .
C.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.1 Définitions et exemples . . . . .
C.3.2 Bases et applications linéaires .
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D Espaces vectoriels de dimension finie, dimension
D.1 Ev de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Théorie de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2.1 Résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2.2 Existence de bases en dimension finie, dimension
D.2.3 Caractérisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.3 Ev de dimension finie isomorphes . . . . . . . . . . . . .
D.4 Produit cartésien d’ev de dimension finie . . . . . . . . .
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Mathématiques
chapitre : espaces vectoriels
page 2
E Sous-espaces vectoriels en dimension finie
E.1 Sev et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Existence de supplémentaires d’un sev donné . . . . . . . . . . . . .
E.3 Somme de sev : relation de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.4 Supplémentaires et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.4.1 Caractérisations des sev supplémentaires en dimension finie
E.5 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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F Rang
F.1 Rang d’une famille de vecteurs, d’une application linéaire
F.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.3 Caractérisation des isomorphismes en dimension finie . . .
F.4 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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G Formes linéaires en dimension finie
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H Les exos en vrac
21
A
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Dans tout ce qui suit , K désigne un corps commutatif quelconque . Dans la pratique ce sera toujours un sous
corps de C, le plus souvent R ou C.
A.1
Espaces vectoriels
A.1.1
Définitions, notations et conventions
Définition 1 Soit K un corps et E un ensemble muni d’une loi interne + et
d’une application (appelée loi externe ): K × E → E .
(λ; x) 7→ λ.x
On dit que (E; + ; . ) est un espace vectoriel sur K ( ou encore que c’est un K espace vectoriel ou K -ev ) lorsque:
1. (E; +) est un groupe abélien .
2. Pour tout (x; y) ∈ E × E, (α; β) ∈ K × K on a:
– α.(β.x) = αβ.(x)
– (α + β) .x = α.x + β.x
– α.(x + y) = α.x + α.y
– 1K .x = x
Remarque 1
– Les éléments de E sont alors appelés des vecteurs et ceux de K des scalaires.
– Pour α ∈ K et x ∈ E , on note tout simplement αx le vecteur α.x .
1
x
– Pour α ∈ K∗ et x ∈ E , on note tout simplement le vecteur .x
α
α
A.1.2
Exemples d’espaces vectoriels
Voir le tableau fourni en fin de poly. Celui-ci sera utilisé toute l’année.
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
A.1.3
page 3
Propriétés élémentaires
Propriété 1 Soit E un K -ev . Alors pour α ∈ K et x ∈ E on a :
1. 0K .x = 0E et α0E = 0E .
2. −(αx) = α(−x) = (−α)x .
3. αx = 0E ⇔ α = 0K ou x = 0E
A.1.4
Combinaisons linéaires
Définition 2
1) Soit E un K -ev et x1 ; ... ; xn des éléments de E . On appelle combinaison
n
P
λi .xi où λ1 ;
linéaire ( en abrégé CL ) de x1 ; ... ; xn tout vecteur de la forme
i=1
... ; λn sont des scalaires .
2) Si A est une partie de E, on appelle combinaison linéaire d’éléments de A ,
n
P
tout vecteur de la forme
λi .xi où n ∈ ∗ et x1 ; ... ; xn sont des éléments de
A.
N
i=1
Exemples 1
1. Dans ν3 muni d’une base (i,j,k) tout vecteur est CL des éléments i , j et k .
2. Dans C ( considéré comme R -ev ) , tout vecteur est CL de 1 et i .
3. Dans F (R,R), R-ev , toute fonction polynomiale est CL des fonctions R → R ; n ∈ N
x 7→ xn
→
−
→
3
4. Dans R muni de la base canonique , on considère les deux vecteurs u = (1, − 1,1) et −
v = (−1,3,1).
→
→
(a) Les vecteurs suivants sont-ils combinaison linéaire de −
u et −
v : (1,2,3), (1,0,2)?
→
→
(b) Déterminer l’ensemble des vecteurs qui sont combinaison linéaire de −
u et −
v.
5. Soit, pour tout n ∈ N, fn : R → R . Dans F (R,R), les vecteurs suivants sont-ils combinaison linéaire de
x 7→ xn
vecteurs de {fn ,n ∈ N} : sin , arcsin, arctan, exp, ln?
6. Dans R4 muni de sa structure de R-ev usuelleet de la base canonique on considère le sous-ensemble E
constitué des CL des vecteurs :
u1 = (0,1,2,0)
u2 = (1,0,0,1)
u3 = (1,1,0, − 1)
(a) Montrer que le vecteur f = (4,1, − 2,0) appartient à E et exprimer u1 sous la forme d’une combinaison
linéaire de f , u2 , u3 .
(b) Soit g ∈ R4 \E ; montrer que pour tout λ ∈ R∗ , f + λg n’appartient pas à E.
7. Une CL de CL de x1 ; ... ; xn est une CL de x1 ; ... ; xn .
A.2
Sous-espaces vectoriels
A.2.1
Définition et caractérisation
Définition 3 Soient E un K-ev et F ⊂ E. On dit que F est un sous-espace
vectoriel (abrégé sev) de E lorsque :

 (1) OE ∈ F
(2) F est stable pour l’addition : ∀ (x,y) ∈ F 2 ,x + y ∈ F

(3) F est stable pour le produit externe : ∀ (λ,x) ∈ K × F,λx ∈ F
Rem On peut noter que F estun sev de E ssi F est un sous-groupe de (E,+) qui est stable pour la loi externe.
 (1) OE ∈ F
(2) ∀ (x,y) ∈ F 2 ,x + y ∈ F
En effet F est un sev ssi

(3) ∀ (λ,x) ∈ K × F,λx ∈ F
Mathématiques
chapitre : espaces vectoriels
 

 (1) OE ∈ F


(2) ∀ (x,y) ∈ F 2 ,x + y ∈ F
ssi
 0
(2 ) ∀x ∈ F, − x ∈ F ( (3) avec λ = −1)



(3) ∀ (λ,x) ∈ K × F,λx ∈ F
ssi
page 4
F sous-groupe de (E,+)
.
∀ (λ,x) ∈ K × F,λx ∈ F
Proposition 1 Soient E un K-ev et F ⊂ E. Alors F est un sev de E si et seulement si, pour les lois induites, F est lui même un K-espace vectoriel.
Rem1 Dans la pratique, pour montrer qu’un espace est un K-ev il peut être utile (car c’est beaucoup plus court)
de montrer que c’est un sev d’un certain K-ev (rencontré dans le problème ou l’exercice ou bien connu : il
fait partie des exemples classiques).
Rem2 Soient E un K-ev et F ⊂ E.
1. Forme condensée. Soient E un K-ev et F ⊂ E. F est un sev de E ssi
(10 ) OE ∈ F
.
(20 ) ∀ ((x,y) , (λ,µ)) ∈ F 2 × K2 ,λx + µy ∈ F
2. Vision plus globale des choses. F est un sev de E ssi 0E ∈ F et F est stable par combinaison linéaire (toute combinaison linéaire d’éléments de F est un élément de F : pour tout n ∈ N∗ et tout
((x1 ,...,xn ) , (λ1 ,...,λn )) ∈ F n × Kn , λ1 x1 + ... + λn xn ∈ F ).
3. Pour montrer que F est un sev de E, la vérification 0E ∈ F peut être remplacée (dans la définition et
dans les diverses caractérisations données) par F 6= ∅. Dans la pratique, on montrera que 0E ∈ F .
A.2.2
1.
Exemples de sous-espaces vectoriels
(a) Dans le R-espace vectoriel R2 :
Rq : pour représenter le R-espace vectoriel R2 on l’identifie au plan muni d’un repère (on représente
les couples (x,y) par des points M et on opère -on fait des combinaisons linéaires- sur les vecteurs
−−→
OM -on ne fait pas de combinaison linéaire de points-) ou à C.
i. La droite (Ox) (identifiée à R dans C) est un sev de E.
ii. Toute droite D passant par l’origine est un sev de R2 apparaissant alors comme l’ensemble des
combinaisons linéaires d’un vecteur non nul.
(b) Dans le R-espace vectoriel R3 .
Rq : pour représenter le R-espace vectoriel R3 : il s’identifie à l’espace de dimension 3 muni d’un
−−→
repère (on représente les triplets (x,y,z) par un point M et on opère sur les vecteurs OM -on n’ajoute
pas les points-).
Les doites passant par l’origine (apparaissant alors comme l’ensemble des combinaisons linéaires
d’un vecteur non nul) , les plans passant par l’origine ( apparaissant alors comme l’ensemble des
combinaisons linéaires de deux vecteurs non colinéaires ) sont des sev de R3 .
2. Soit E un K-ev.
(a) Les sev dits triviaux de E: si E est un K-ev, E et {0E } sont des sev de E .
(b) Soit x ∈ E. La droite vectorielle engendrée par x, {λx,λ ∈ K} est un sev de E souvent noté
Kx.
3. L’ensemble des suites réelles bornées, l’ensemble des suites réelles convergentes sont des sev du R-ev
RN .La suite nulle est en effet dans chacun de ces ensembles. Par ailleurs toute combinaison lnéaire de
suites bornées est bornée et toute combinaison linéaire de suites convergentes l’est encore .
L’ensemble des suites r éelles qui convergent vers un réel fixé est-il un sev de N ?
R
4. I désignant un intervalle non trivial de R. L’ensemble des fonctions continues (resp dérivables, de classe
C n où n ∈ N ∪ {∞} est fixé ) de I dans R est un sev de F (I,R). L’ensemble des fonctions polynômiales de
R dans R est un sev de F (R,R).
A.2.3
Intersection de sous-espaces vectoriels
Proposition 2 Soit E un K-ev. Toute intersection de sev
T de E est un sev de E i.e. : si I est un ensemble
non vide et (Fi )i∈I est une famille de sev de E, alors Fi est un sev de E.
i∈I
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
A.2.4
page 5
Sous-espace vectoriel engendré par une partie, par une famille de vecteurs
Définition 4 Soit E un K-evTet A une partie (quelconque) de E. On appelle sev engendré
par A, et on le note vectA,
F où FA = {F ; F sev de E et A ⊂ F } (vectA est l’intersecF ∈FA
tion des sev de E qui contiennent A).
T
Justifions la définition : l’ensemble FA des sev de E contenant A n’est pas vide : E ∈ FA . Ainsi
F a un sens.
F ∈FA
T
De plus, en tant qu’intersection de sev de E
F est un sev de E.
F ∈FA
Rem1 vectA est le plus petit sev de E contenant A pour l’inclusion (autrement dit : vectA est le plus petit élément
de l’ensemble FA ordonné par l’inclusion).
Rem2 vect∅ = {0E } ; vectA = A ssi A est un sev de E ; si A ⊂ B, alors vectA ⊂ vectB.
La définition plus haut n’est pas très pratique, il vaut mieux voir les choses autrement :
Proposition 3 (Description de vectA) Soit E un K-ev et A une partie non vide de E.
vectA est l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. ( et on comprend
l’appellation de sev engendré par A).
C’est-à-dire que vectA = {λ1 a1 + ... + λn an ,n ∈ N∗ , (a1 ,...,an ) ∈ An , (λ1 ,...,λn ) ∈ Kn }
Autrement dit y ∈ vectA ssi existent n ∈ N∗ , (a1 ,...,an ) ∈ An et (λ1 ,...,λn ) ∈ Kn tels que y = λ1, a1 + ... + λn an .
En particulier. Si A est une partie finie non vide de E, alors :
– si A = {x1 ,...,xp } : vectA = {λ1 x1 + ... + λp ap , (λ1 ,...,λp ) ∈ Kp } (vectA est l’ensemble des combinaisons
linéaires de x1 , ..., xp ): on prend alors systématiquement p vacteurs dans la CL mais un certain nombre des
coeffs peuvent être nuls.
Exemples :Dans E K-ev :
– x ∈ E : vect {x} = {λx,λ ∈ K} : c’est {0E } si x = 0E et c’est la droite vectorielle engendrée par x si x 6= 0E .
On la note Kx.
– x,y ∈ E : vect {x,y} = λx + µy, (λ,µ) ∈ K2 .
Définition 5 Soient E un K-ev et (x1 ,...,xn ) (où n ∈ N∗ ) une famille finie de
vecteurs de E. Le sev engendré par (x1 ,...,xn ) (par la famille (x1 ,...,xn )) est
par définition le sev engendré par la partie {x1 ,...,xn } de E que cette famille
détermine . Il est noté vect (x1 ,...,xn ).
Définition 6 Soient E un K-ev et V un sev de E.
1. Soit A une partie de E. On dit que A est une partie génératrice de V (ou
que V est engendré par A) lorsque V = vectA (i.e. lorsque V est en fait
l’ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A).
2. Soit (x1 ,...,xn ) ∈ E n . On dit que (x1 ,...,xn ) est une famille génératrice
de V (ou que V est engendré par (x1 ,...,xn )) lorsque V = vect (x1 ,...,xn ).
Remarque 2
1. Ceci impose A ⊂ V et que tout xi est élément de V .
2. Cette terminologie s’applique en particulier au cas V = E.
Exemples 2 1. Dans C, R-ev : vect (1,i) = vect (1,i,1 + i) = C ((1,i) engendre ou est génératrice de C),
vect (1) = vect (1,0) = vect (2) = R, vect (i) = vect (πi) = Ri ensemble des imaginaires purs,
vect(1,i,j) = C.
Dans C, C-ev, vect (1) = C.
(Le corps de base est fondamental ; c’est pour cela que l’on note parfois vectK E : vectR (1) = R,
vectC (1) = C).
2. Dans V2 : vect (0), vectu, vect (u,v).
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques


page 6


R → R ,n ∈ N engendre le sev des fonctions polynômiales dans F (R,R).

x 7→ xn
4. Dans R3 , soit F = (x,y,z) ∈ R3 ,x + 3y − z = 0 . Montrer que F est un sev de R3 et en déterminer
une famille génératrice.
5. Montrer
F de R4 donné par
que le sous-ensemble
4
F = x = (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) ∈ R , (x1 = x2 − 3x3 et x3 = 2x4 ) est un sous-espace vectoriel de R4 . Déterminer une famille génératrice de F .
Rem1 Pratique. Comme vu au dernier exemple, si une partie d’un K-ev s’écrit comme un ensemble de combinaisons linéaires d’une famille finie donnée (ou d’une partie donnée), cela prouve que c’est un sev (et cela
donne au passage une famille ou une partie génératrice).
Rem2 Soit E un K-ev.
1. Si A est une partie génératrice de E, alors toute partie de E contenant A est génératrice de E.
2. Si A est une partie génératrice de E, alors pour toute partie B de E, la partie A ∪ B est génératrice de
E.
3. Si L est une famille (finie) génératrice de E, toute famille contenant L comme sous-famille est génératrice de E.
3.

A.3
Somme de sous-espaces vectoriels
A.3.1
Espace vectoriel somme
Définition 7 Soient E un K-ev, F et G des sev de E. La somme de F et G est
la partie notée F + G : F + G = {x + y,x ∈ F,y ∈ G}.
Ainsi, par définition, pour tout z ∈ E : z ∈ F + G ssi il existe (x,y) ∈ F × G tel que z = x + y.
Propriété (Mêmes notations et hypothèses que la définition). F + G est un sev
de E.
Rem Petites propriétés immédiates. Pour F , G, F 0 , G0 des sev de E :
1.
2.
3.
4.
F + G = G + F.
F ⊂ F + G car si x ∈ F alors x = x + 0 et 0 ∈ G car G sev.
G ⊂ F + G idem.
F + F = F car F ⊂ F + F (Cas particulier du 2) et F + F ⊂ F car si z ∈ F + F , alors
∃ (z1 ,z2 ) ∈ F × F tq z = z1 + z2 . Or F est un sev de E donc z ∈ F .
5. F ⊂ G et F 0 ⊂ G0 alors F + F 0 ⊂ G + G0
6. F + G = F ssi G ⊂ F (G sev de F )
7. En particulier F + E = E, F + {0} = F
Exemples 3 1. Dans C, R-ev : C = R + Ri puisque tout complexe se décompose sous la forme z = x + iy où
(x,y) ∈ 2 .
2. Dans R2 Rev usuel, soient F et G les droites suivantes passant par l’origine .....
3. Dans V3 R-ev usuel (Sans justification demandée )
R
–
–
–
–
–
P + D = .......... où P = vect (i,j) D = vect (i + k)
P + D0 = .......... où P = vect (i,j) D0 = vect (i + j) .
P + Q = ............. où P = vect (i,j) Q = vect (i,k)
P + Q = ............. où P = vect (i,j) Q = vect (i + j,i − j)
D1 + D2 = ............ où D1 = vect (i) D2 = vect (i + j)
4. F (R,R) = P (R,R) + I (R,R)
Proposition 4 (Mêmes notations et hypothèses que la définition).
F + G = vect (F ∪ G)
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 7
Ainsi F + G est le plus petit sev de E contenant à la fois F et G.
Rem1 Il vient que : si A est une partie génératrice de F (F = vectA) et B est une partie génératrice de G
(G = vectB), alors A ∪ B est une partie génératrice de F + G.
Rem2 Cela donne avec les familles finies : si F = vect (x1 ,...,xn ) et G = vect (y1 ,...,ym ) alors
F + G = vect (x1 ,...,xn ,y1 ,...,ym ) ;
Rem3 Par exemple, si (x,y) ∈ E 2 , on peut écrire vect (x,y) = vect{x} + vect{y} = Kx + Ky avec les notations
vues plus haut.
A.3.2
Sous-espaces supplémentaires
Définition 8 Soient F et G des sev d’un K-ev E. F et G sont dits supplémentaires dans E lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
(1) E = F + G
(2) F ∩ G = {0}
On note alors E = F ⊕ G.
Exemples 4
1. E = E ⊕ {0} car E ∩ {0} = {0} et E + {0} = E.
2. Dans le R ev : C = R ⊕ Ri
3. Dans R2 : D1 et D2 des droites vectorielles distinctes
4. Dans V3 si u,v non colinéaires vect (u,v) et R (u ∧ v) sont supplémentaires. Plus généralement le plan vectoriel P et la droite vectorielle D sont supplémentaires lorsque D n’est pas incluse dans P.
C
5. Dans R3 Rev.
– Deux droites ne peuvent être supplémentaires car leur somme ne peut faire tout l’espace (c’est une
droite ou c’est un plan)
– Deux plans ne peuvent être supplémentaires car leur intersection ne peut faire {0} (c’est une droite
ou c’est un plan)
– Un plan et une droite peuvent être supplémentaires : ils le sont effectivement ssi la droite n’est pas
incluse dans le plan.
6. F (R,R) = P (R,R) ⊕ I (R,R)
Proposition 5 Soient F et G sev de E un Kev.
E = F ⊕ G ssi tout élément de E se décompose de façon unique sous la forme
x = xF + xG avec xF ∈ F et xG ∈ G i.e. :
∀x ∈ E,∃! (xF ,xG ) ∈ F × G,x = xF + xG .
Rem Reprendre alors les exemples précédents.
Rem D’après la démonstration, on peut être plus précis : par définition E = F ⊕ G lorsque E = F + G et
F ∩ G = {0}
– E = F + G équivaut à l’existence pour tout élément de E d’une décomposition comme somme d’un
élément de F et d’un élément de G : E = F + G ssi ∀x ∈ E,∃ (xF ,xG ) ∈ F × G,x = xF + xG .
– F ∩ G = {0} équivaut à l’unicité d’une décomposition comme somme d’un élément de F et d’un
élément de G pour tout élément de E qui admet une telle décomposition : F ∩ G = {0} ssi ∀x ∈
F + G,∃! (xF ,xG ) ∈ F × G,x = xF + xG .
Rem xF (resp xG ) dépend de F et G.
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 8
Rem Avec les notations précédentes on a
x ∈ F ⇐⇒ xG = 0 et x ∈ G ⇐⇒ xF = 0
Attention Ne pas confondre supplémentaire et complémentaire, ça n’a rien à voir. Exemple : D1 et D2 sont supplémentaires pas complémentaires.
dessin.
Deux sev ne peuvent pas être complémentaires car le complémentaire d’un sev n’est pas un sev (pas 0
dedans !).
Rem Soit F un sev de E.Si G est un sev de E tel que E = F ⊕ G (F et G sont supplémentaires dans E) on
dit que G est un supplémentaire de F dans E. Attention un et non pas le ! Il n’y a aucune raison qu’un
supplémentaire soit unique.
exemple F = D droite de R2 ,D1 et D2 sont supp de F mais D1 6= D2 .
dessin:
Notons qu’il y a une infinité de supplémentaires de F , toutes les droites différentes de F .
Deux cas particuliers: F = E , alors un seul supplémentaire {0} et F = {0}, alors un seul supplémentaire
E. Dans tous les autres cas, il n’y a pas unicité d’un supplémentaire...
Exemples 5
1. Supplémentaires dans Rn . Soit n ∈ N, n ≥ 2, E = Rn . Soient D = vect {e} où e = (1,1,...,1) et
H = {(x1 ,x2 ,...,xn ) ∈ Rn ,x1 + x2 + ... + xn = 0}. Montrer que D et H sont supplémentaires dans E.
2. Dans E = R , soient a ∈ R, F0 = {f ∈ E,f (a) = 0}, G0 l’ensemble des fonctions constantes sur R.
Établir que F0 et G0 sont deux sous-espaces vectoriels de E et qu’ils sont supplémentaires dans E.
Mêmes questions avec les fonctions affines et les fonctions qui s’annulent en deux points distincts puis
dans D1 ( ) avec les fonctions affines et les fonctions tq f (0) = f 0 (0) = 0 .
Généralisations?
R
R
B
Applications linéaires
E et F désignent systématiquement des K -ev .
B.1
Définitions et exemples
Définition 9 Une application f : E −→ F est une application linéaire (ou
morphisme d’espaces vectoriels ) lorsque
∀(x; y) ∈ E 2 ,∀(α; β) ∈ K2 : f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).
Notation 1 On parle :
1. d’endomorphisme si E = F
2. d’isomorphisme si f est bijective .
3. d’automorphisme si E = F et f est bijective .
Remarque 3
1. Une application linéaire est en particulier un morphisme de groupes de (E; +) dans (F ; +) (
Prendre α = β = 1 dans la déf ) . En particulier on a f (0E ) = 0F .
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 9
2. On obtient par récurrence sur n (très bon exercice d’entrainement ! ) :∀n ∈ N∗ , ∀ (x1 ,...,xn ) ∈ E n : ∀ (λ1 ,...,λn ) ∈
Kn : f (λ1 x1 + ... + λn xn ) = λ1 f (x1 ) + ... + λn f (xn ) .
3. utilisable Si E = F ⊕ G et f,g ∈ L(E,F ) alors
f = g ⇐⇒ ∀x ∈ F : f (x) = g(x) et ∀x ∈ G : f (x) = g(x)
4. L’application réciproque d’un iso en est un .
Exemples 6
1. Applications linéaires de
Rx
2. Etudes de f → f 0 et de f →
f (t)dt.
R dans R.
Notation 2 On note L (E,F ) , l’ensemble des applications linéaires de E dans
F . On note aussi L (E) l’ensemble L (E,E) des endomorphismes de E .
Définition 10 On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de
E dans ( le K -ev ) K . On note généralement E ∗ l’ensemble L (E,K) de ces
applications
Exemples 7
1. Formes linéaires sur
2. Morphisme d’évaluation sur R .
R
Kn .
B.2
Noyau et image
B.2.1
Définitions (rappels) et propriétés
Proposition 6 Soit f ∈ L (E,F )
– Si E 0 est un sev de E alors f (E 0 ) est un sev de F
– Si F 0 est un sev de F alors f −1 (F 0 ) est un sev de E .
Exemples 8 {0F } est un sev de F donc f −1 ({0F }) = {x ∈ E; f (x) = 0F } est un sev de E . E est un sev de E
donc f (E) = {f (x); x ∈ E} est un sev de F .
Définition 11 Soit f ∈ L (E,F ) . On appelle
– noyau de f , le sev f −1 ({0F }) de E que l’on note ker f .
– image de f le sev f (E) de F que l’on note Im f .
Une application linéaire étant un cas particulier de morphisme de groupes on a immédiatement:
Proposition 7 Soit f ∈ L (E,F ) . Sont équivalentes :
1. ker f = {0E }
2. f est injective
3. ∀x ∈ E : (f (x) = 0F ⇐⇒ x = 0E ) .
Exemples 9
1. Equations différentielles linéaires.
2. Etude de (x,y) → 2x + 3y.
3. Etude de (a0 , . . . ,an ) → (x → a0 + . . . + an xn ).
B.2.2
Équation f (x) = b où f est une application linéaire
Définition 12 On appelle équation linéaire toute équation de la forme u(x) =
b où u ∈ L (E,F ) , b ∈ F et où l’inconnue x est dans E .
Exemples 10
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 10
ax + by = α
d’inconnue (x; y) ∈ R2 et a,.....,β sont six réels , alors c’est une
cx + dy = β
équation linéaire u(X) = B avec u : E = R × R → F = R × R
et b = (α; β) .
X = (x; y) 7→ (ax + by; cx + dy)
2. L’équation différentielle linéaire y 0 − 2y = exp x est une équation linéaire u(X) = B
où u : E = C 1 (R) → F = C(R) et B = exp
X=y
7→ y 0 − 2y
1. Si on considère un système
B.3
L’ensemble des applications linéaires de E dans F
B.3.1
L’espace vectoriel L (E,F )
Dans tout ce qui suit , E,F,G désignent des
K-espaces vectoriels quelconques.
Proposition 8 L (E,F ) est un K -espace vectoriel
B.3.2
Composition, l’ensemble (L (E) , + ,◦) et le groupe linéaire GL (E)
Proposition 9
1. Si f ∈ L (E,F ) et g ∈ L (F,G) alors g ◦ f ∈ L (E,G).
2. Si f est un isomorphisme alors il en est de même de f −1 .
Proposition 10 Soit u ∈ L (E,F ) , v ∈ L (F,G). Alors les applications
Θ : L (E,F ) → L (E,G) et Ω : L (F,G) → L (E,G) sont des applicaf
7→ v ◦ f
g
7
→
g◦u
tions linéaires.
Proposition 11 L’ensemble (L (E) , + ,◦) est un anneau ( non commutatif en
général ).
Définition 13 On note GL(E) ( lire groupe linéaire de E) l’ensemble des automorphismes de E.
Proposition 12 (GL(E),◦) est un groupe.
Exemples 11
1.
2. soit E un -ev et f ∈ L(E) vérifiant f 2 − 3f + 2Id = 0 .Montrer que f ∈ GL(E) et que ker(f − Id) et
ker(f − 2Id) sont supplémentaires dans E. Etudier la réciproque .
K
B.4
Projecteurs
B.4.1
Définitions et premières propriétés
Définition 14 F et G désignent deux sous-espaces vectoriels supplémentaires
de E. Pour tout x dans E, il existe un unique couple (yx ,zx ) ∈ F × G tel que
x = y x + zx .
1. Pour tout x dans E, on apppelle projeté de x sur F dans la direction de
G l’unique yx ∈ F obtenu dans la décomposition précédente.
2. L’application p : E
→
E est appelée projection sur F dans la
x 7→ yx
direction de (ou parallèlement à ) G. Une telle application est appelée
un projecteur. C’est une application linéaire.
Exemples 12
– Exprimer yx et zx en fonction de p et x.
– Dans le plan, projection sur une droite .
– Dans l’espace, projection sur une droite ou un plan.
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
B.4.2
page 11
Caractérisation des projecteurs
Proposition 13 Soit p ∈ L (E).
1. Alors p est un projecteur si et seulement si p ◦ p = p.
2. Si p est un projecteur alors c’est le projecteur sur ker(p − IdE ) = Im(p)
dans la direction de ker(p).
B.5
Symétries
B.5.1
Définitions et premières propriétés
Définition 15 F et G désignent deux sous-espaces vectoriels supplémentaires
de E. Pour tout x dans E, il existe un unique couple (yx ,zx ) ∈ F × G tel que
x = y x + zx .
1. Pour tout x dans E, on apppelle symétrique de x par rapport à F dans
la direction de G l’élément s(x) = yx − zx ∈ E .
2. L’application s : E
→
E est appelée symétrie par rapport à
x 7→ yx − zx
F dans la direction de (ou parallèlement à ) G. Une telle application est
appelée une symétrie.
Exemples 13
– Dans le plan, symétrie par rapport à une droite .
– Dans l’espace, symétrie par rapport à une droite ou un plan.
Proposition 14 Une symétrie est un automorphisme involutif.
B.5.2
Caractérisation des symétries
Proposition 15 Soit s ∈ L (E).
1. Alors s est une symétrie si et seulement si s ◦ s = IdE .
2. Si s est une symétrie alors c’est la symétrie par rapport à ker(s − IdE )
dans la direction de ker(s + IdE ).
B.6
Quelques exercices
1. Après avoir justifié que les applications qui suivent sont linéaires, déterminer leur noyau et leur image :
f1 : R2 → R
, f2 : R → R2
, f3 : R2 → R2
,
(x,y) 7→ x − 8y
x 7→ (πx, − x)
(x,y) 7→ (x + y,x + 2y)
f4 : R2 → R2
, f5 : R3 → R2
.
(x,y) 7→ (x − y,2x − 2y)
(x,y,z) 7→ (x − y + z,3x − 3y + 3z)
2. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g = g ◦ f . Montrer que ker f et Imf sont stables par g.
3. Soient E un R-ev et f ∈ L (E) tel qu’il existe un entier naturel p ≥ 2 tel que f p = 0. Montrer que idE − f
est un automorphisme de E et déterminer son automorphisme réciproque.
4. Soit f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 +f . Montrer que E = ker f ⊕Imf (on pourra remarquer que f ◦(f 2 −f −id) =
0).
5. Un exemple de projecteur dans 2 , un dans 3 et idem avc les symétries.
6. Deux projecteurs associés. Soient K un corps et E un K-ev.
R
R
(a) Soient F et G des sev supplémentaires de E, p le projecteur de E sur F parallèlement à G et q le
projecteur de E sur G parallèlement à F . Montrer que : a) p ◦ q = q ◦ p = 0. b) p + q = idE .
(b) Soient p et q deux projecteurs de E tels que : ∀x ∈ E,p (x) + q (x) = x.
i. Prouver que q ◦ p = p ◦ q = 0.
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 12
ii. On pose F = p hEi et G = q hEi. Montrer que p est le projecteur de E sur F parallèlement à G et
q est le projecteur de E sur G parallèlement à F .
7. Etudes des applications de
C
RR dans lui même qui à f associe sa partie paire ( resp impaire ).
Familles de vecteurs d’un K-espace vectoriel
On se donne un K-ev E et un entier naturel pour toute cette partie.
On parle de famille de n vecteurs de E pour signifier un nuplet de vecteurs de E (en particulier, les vecteurs ne
sont pas nécessairement deux à deux distincts -il se peut qu’il n’y ait pas réellement n vecteurs-). On rappelle
que les combinaisons linéaires d’une famille (x1 , . . . ,xn ) d’éléments de E s’écrivent:
λ1 x1 + . . . + λn xn =
n
X
λi xi où (λ1 , . . . ,λn ) ∈
Kn ,
i=1
et qu’en particulier si n = 0, la famille en question est vide et qu’il n’y a alors qu’une seule combinaison linéaire
qui vaut 0E par définition.
C.1
Retour sur les familles génératrices
Définition 16 Familles génératrices finies ( rappel )
On dit qu’une famille (x1 , . . . ,xn ) ∈ E n est génératrice de E ssi E = vect {x1 , . . . ,xn } ie
n
ssi
: x =
Pntout élément de E s’écrit comme CL de x1 , . . . ,xn :∀x ∈ E,∃(λ1 , . . . ,λn ) ∈
λ
x
.
i=1 i i
K
Remarque 4 On a déjà recontré la notion de partie génératrice quelconque .
1. Les fonctions fn : R → R ; 0 ≤ n ≤ m , forment une famille génératrice de l’espace vectox 7→ xn
riel des fonctions polynomiales de R dans R de degré ≤ m.
2. Une famille (x1 , . . . ,xn ) ∈ E n est génératrice de E ssi E = Kx1 + . . . + Kxn .
Exemples 14
Proposition 16 Toute sur famille de E , d’une famille génératrice de E est
génératrice de E.
Preuve. En d’autres termes toute famille qui contient une famille génératrice de E est elle même génératrice de
E . Et ben oui ! On notera que ce résultat est valable que les familles considérées soient finies ou non.
Proposition 17 Soit G une famille génératrice de E . Une famille Ω d’éléments
de E est génératrice ssi tout élément de G est combinaison linéaire d’éléments
de Ω.
Exemples 15
P
Etude de p → E,(λ1 , . . . ,λp ) → λi xi
Image d’une famille génératrice pour décrire Im(u) .
K
C.2
Familles libres, familles liées
Cette notion ne concerne (pour nous) que les familles finies. Toutes les familles considérées ici sont donc finies
( sauf exeption précisée par l’auteur ).
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 13
Définition 17 Soit (x1 , . . . ,xn ) une famille finie de E .
1. On dit que (x1 , . . . ,xn ) est libre ( ou que les vecteurs x1 , . . . ,xn sont linéairement
indépendants ) si ∀(λ1 , . . . ,λn ) ∈ n :
Pn
i=1 λi xi = 0E =⇒ λ1 = . . . = λn = 0K .
2. Dans le cas contraire , on dit que la famille (x1 , . . . ,xn ) est liée ( ou que les
n
vecteurs sont linéairement dépendants
Pn ) . On a alors ∃(λ1 , . . . ,λn ) ∈
des scalaires non tous nuls tels que i=1 λi xi = 0E
K
K
Exemples 16
1. Une famille à un vecteur x est libre ssi x 6= 0 . En effet x = 0 =⇒ 1K x = 0 =⇒ (x) est liée .
Réciproquement si x 6= 0 alors λx = 0 =⇒ λ = 0K autrement dit (x) est libre .
2. Toute famille contenant le vecteur nul est liée .
3. Dans C ( − ev ) , (1; i) est libre puisque ∀(x; y) ∈ R2 : x + iy = 0C =⇒ x = y = 0R .
4. Plus généralement, dans C ( − ev ) ,toute famille (1; m) telle que Imm 6= 0 est libre puisque ∀(x; y) ∈
R2 : x + my = 0C =⇒ Im (x + my) = 0R =⇒ yIm (m) = 0R =⇒ (Im (m) 6= 0) y = 0 . On obtient alors
trivialement x = 0 .
5. Exemples précédents avec considéré comme -ev .
6. Deux vecteurs proportionnels d’un K -ev sont liés : en effet s’il existe λ ∈ K :y=λx ( (x; y) ∈ E 2 ) alors
1K × y − λx = 0 est une CL nulle non triviale .
R
R
C
C
Proposition 18
1. Toute sous famille d’une famille libre est libre.
2. Toute sur famille d’une famille liée est liée
Proposition 19 Soit (x1 , . . . ,xn ) une famille libre de E et x ∈ E . Alors
(x1 , . . . ,xn ,x) est liée ssi x est CL de x1 , . . . ,xn .
Proposition 20 Soit (x1 , . . . ,xn ) une famille libre . Alors ∀(λ1 , . . . ,λn ) ∈
∀(λ01 , . . . ,λ0n ) ∈ n :
K
n
X
λi xi =
i=1
Pn
Preuve. i=1 λi xi =
[[1; n]] : λi = λ0i .
Pn
i=1
λ0i xi =⇒
n
X
Kn et
λ0i xi =⇒ ∀i ∈ [[1; n]] : λi = λ0i .
i=1
Pn
i=1 (λi
− λ0i )xi = 0 =⇒((x1 ,...,xn )libre) ∀i ∈ [[1; n]] : λi − λ0i = 0 =⇒ ∀i ∈
K
P
Exemples 17
1. Etude de p → E,(λ1 , . . . ,λp ) → λi xi
2. Dépendance, indépendance linéaires dans R3 . Dans chacun des cas suivants, on demande si les vecteurs de R3
donnés sont libres ou liés :
(a) v1 = (1,0,0), v2 = (1,1,0), v3 = (1,1,1).
(b) v1 = (1,0, − 1), v2 = (0,1,0), v3 = (2,π, − 2).
3. Soient f : R → R,x 7→ 1 − x, g : R → R,x 7→ ex et h : R → R,x 7→ e2x . Montrer que (f,g,h) forme une
famille libre du R-ev C ∞ (R,R).
4. Dépendance, indépendance linéaires dans R3 . Dans chacun des cas suivants, on demande si les vecteurs de R3
donnés sont libres ou liés :
(a) v1 = (1,1, − 1), v2 = (1, − 1,1), v3 = (−1,1,1).
(b) v1 = (1,2,3), v2 = (4,5,6), v3 = (7,8,9), v4 = (10,10,10).
Proposition 21 Soit (x1 , . . . ,xn ) une famille liée de vecteurs avec n ≥ 2 . Alors
l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres ie
∃i ∈ [[1; n]] ,∃(λj )j∈[[1;n]]\{i} ∈
Kn−1 : xi =
n
X
j=1;j6=i
λj xj
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
C.3
page 14
Bases
Cette notion ne concerne (pour nous) que les familles finies. Toutes les familles considérées ici sont donc finies (
sauf exeption précisée par l’auteur ).
C.3.1
Définitions et exemples
Définition 18 On dit qu’une famille (ei )1≤i≤n ∈ E n est une base de E lorsqu’elle en est une famille libre et génératrice.
C R
C R
Exemples 18
1. (1,i) est une base de ( − ev ) .
2. Si m ∈ \ alors (1,m) est une base de ( − ev ) .
3. La base canonique de n .
4. {OE } est un ev dont , par convention , la famille vide est une famille libre et génératrice .
CR
K
Proposition 22
– Une famille e = (ei )1≤i≤n ∈ E n est une base de E ssi
pour tout x de E , il existe une unique famille (λi )1≤i≤n ∈ n telle que
x = λ1 e1 + . . . + λn en .
– La famille (λi )1≤i≤n ∈ n en question est appelée famille des coordonnées ( ou composantes ) de x dans la base e.
K
K
K
P
Exemples 19
1. Etude de p → E,(λ1 , . . . ,λp ) → λi xi et lien avec la notion de base.
2. Dans le plan vectoriel ν2 , (e1 ,e2 ) est une base ssi e1 et e2 ne sont pas colinéaires;
3. Soient f , g et h les fonctions de R dans R définies par f (x) = cos x, g (x) = cos x cos (2x) et h (x) =
sin x sin (2x). Déterminer une base de vect (f,g,h).
4. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions polynômes réelles de degré au plus 3. On note f0 : R → R,x 7→ 1,
2
3
f1 : R → R,x 7→ x − 1, f2 : R → R,x 7→ (x − 1) , f3 : R → R,x 7→ (x − 1) . Montrer que (f0 ,f1 ,f2 ,f3 ) forme
une base de E. Déterminer ensuite les composantes dans cette base de R → R,x 7→ 3 − 2x − x2 .
Généralisation?
C.3.2
Bases et applications linéaires
Proposition 23 Etant données une base e = (ei )1≤i≤n ∈ E n de E et une famille (f1 , . . . ,fn ) d’éléments de F , il existe une unique application linéaire f
de E dans F telle que pour tout i ∈ {1 . . . n} : f (ei ) = fi .
Remarque 5
1. On énonce généralement ce résultat en disant qu’une application linéaire est entièrement
déterminée par l’image d’une base.
2. En particulier si v est une autre application linéaire de E dans F alors
– u = v ssi ∀i ∈ [[1,n]] : u(ei ) = v(ei ).
– u = 0 ssi ∀i ∈ [[1,n]] : u(ei ) = 0F .
Proposition 24 Etant données une base e = (ei )1≤i≤n ∈ E n de E et une application linéaire u de E dans F alors
1. La famille (u(ei ))1≤i≤n ∈ F n est génératrice de Im u:
Im u = vectK (u(ei ); 1 ≤ i ≤ n)
2. u est surjective ssi (u(ei ))1≤i≤n est génératrice de F .
3. u est injective ssi (u(ei ))1≤i≤n est libre.
4. u est bijective ssi (u(ei ))1≤i≤n est une base de F .
Exemples 20
1. Etude de
R2 → R2 , (x,y) → (2x + y,x + 2y).
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 15
2. Un C-ev est un R-ev, oui mais ...
(a) Soit E un C-ev. a) Une famille libre de E en tant que C-ev l’est-elle encore en tant que R-ev ? b) Une
famille libre de E en tant que R-ev l’est-elle encore en tant que C-ev? c) Une famille génératrice de E
en tant que C-ev l’est-elle encore en tant que R-ev? d) Une famille génératrice de E en tant que R-ev
l’est-elle encore en tant que C-ev?
(b) Soit E un C-ev, possédant une base (e1 ,...,en ) (n ∈ N∗ ). Montrer que E, considéré comme R-ev, possède une base.
3. Un endomorphisme de R3 . Soient u1 , u2 et u3 les trois vecteurs de R3 suivants : u1 = (1,1,0) ,u2 = (0,2,1) ,u3 =
(0,1,2)
(a) Montrez que (u1 ,u2 ,u3 ) est une base du R-espace vectoriel R3 .
(b) On considère l’endomorphisme f de R3 donné par : f (u1 ) = (1,0,0) ,f (u2 ) = (0,1,1) ,f (u3 ) = (0,0,1).
i. Déterminez l’image f ((x1 ,x2 ,x3 )) d’un vecteur (x1 ,x2 ,x3 ) en fonction de x1 , x2 et x3 .
ii. L’endomorphisme f est-il injectif? surjectif? bijectif?
iii. L’endomorphisme f est-il un projecteur de R3 ? Si c’est le cas, on précisera de quel projecteur il
s’agit.
D
Espaces vectoriels de dimension finie, dimension
D.1
Ev de dimension finie
Définition 19 Soit E un K-ev.
– On dit que E est de dimension finie lorsque E admet une famille génératrice finie.
– On dit que E est de dimension infinie lorsque E n’est pas de dimension
finie c’est-à-dire lorsque E n’admet pas de famille génératrice finie.
– Kn , Kn [X] ( Cf prochain chapitre ) , l’ensemble dse fonctions polynomiale de degré ≤ n , les
espaces ν2 et ν3 , l’ensemble des solutions sur d’une équation différentielle linéaire sans singularité
et sans second membre du premier ordre (ou du deuxième ) à coeffs constants, sont des espaces de
dimension finie. {OE } est un ev de dimension finie par convention puisque elle possède une famille
génératrice ayant ....... 0 vecteur.
– L’ensemble des fonctions polynomiales n’est pas de dimension finie .
Exemples
R
D.2
Théorie de la dimension
D.2.1
Résultats préliminaires
Rappelons tout d’abord que : soit un K-ev E
– toute famille de vecteurs de E contenant une famille liée est elle même liée ;
– toute famille contenue dans une famille libre de E est elle même libre.
Rappelons en outre que, pour nous :
– le terme de famille libre désigne une famille finie libre (c’est sous-entendu) ; a fortiori pour une base ;
– alors qu’une partie génératrice peut éventuellement concerner une partie infinie.
Proposition 25 Soient E un K-ev, p ∈ N∗ , (x1 ,...,xp ), (y1 ,...,yp ,yp+1 ) deux familles de vecteurs de E. Si chaque yi est combinaison linéaire de x1 ,...,xp
(yi ∈ vect (x1 ,...,xp )), alors la famille (y1 ,...,yp ,yp+1 ) est liée.
Ainsi Toute famille de p + 1 vecteurs d’un ev E engendré par p vecteurs est liée puisqu’il existe alors une famille
génératrice (x1 ,...,xp ) de p vecteurs et que pour toute famille (y1 ,...,yp ,yp+1 ) de p + 1 vecteurs de E chaque
yi est combinaison linéaire de x1 ,...,xp .
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 16
On rappelle aussi ici l’énoncé de la propo 20:
Soient E un K-ev, p ∈ N∗ , x1 ,..., xp , xp+1 ∈ E. Si (x1 ,...,xp ) est une famille libre de E alors (x1 ,...,xp ,xp+1 )
est liée ssi xp+1 est combinaison linéaire de x1 ,...,xp ( ie xp+1 ∈ vect (x1 ,...,xp )).
D.2.2
Existence de bases en dimension finie, dimension
Théorème 1 Soit E un K-ev. Si E est non nul et de dimension finie, alors :
1. Théorème de la base incomplète
Si G est une famille génératrice ( finie ) de E alors toute famille libre de
E peut à l’aide d’éléments de G , être complétée en une base de E.
2. E possède une base (finie, c’est ainsi que nous avons défini les bases).De
plus, celle-ci peut être extraite de n’importe quelle famille génératrice de
E.
3. Toutes les bases de E ont le même nombre de vecteurs.
Rem Ce théorème nous offre deux choses : l’existence de bases en dimension finie et le fait que les bases ont
toutes même cardinal, ce qui nous permet de définir la notion de dimension :
Définition 20 Soit E un K-ev de dimension finie. On appelle dimension de
E l’entier naturel noté dim E ou dimK E :
– si E = {0}, on pose (par convention) dim E = 0 ;
– si E 6= {0}, dim E est le nombre de vecteurs d’une base de E.
Ainsi Lorsque E 6= {0} est de dimension finie n, n est le nombre de vecteurs que possède n’importe quelle base
de E (théorème précédent).
Exemples 
dimR C = 2 ; dimC C = 1 ;
attention au corps des scalaires.


Vect
R → R ,k ∈ [[0,n]] est un -ev de dimension n + 1.


x 7→ xk
dim Kn = n ( prendre (e1 , . . . ,en ) avec ei = (0, . . . ,0, |{z}
1
,0, . . . ,0) pour base : on l’appelle la base
R
i-ème place
canonique ) ; avec pour convention que K0 = {0},
dim Kn [X] = n + 1 (Cf prochain chapitre, prendre (1,X, . . . ,X n ) pour base ) ,
dim ν2 = 2, dim ν3 = 3
D.2.3
Caractérisations
Proposition 26 Soit E un K-ev de dimension finie non nulle,
dim E = n ∈ N∗ .
1.
(a) Toute famille libre de vecteurs de E contient au plus n vecteurs (ou
encore : toute famille de plus de n + 1 vecteurs de E est liée).
(b) De plus : toute famille libre de n vecteurs est une base de E.
2. (a) Toute famille génératrice de vecteurs de E contient au moins n vecteurs (ou encore : toute famille de moins de n − 1 vecteurs de E
n’engendre pas E).
(b) De plus : toute famille génératrice de n vecteurs est une base de E.
Ce théorème donne des caractérisations à la fois de la dimension d’un ev de dimension finie et des bases
d’un ev de dimension finie :
– Autre façon de voir la dimension d’un espace vectoriel de dimension finie. La dimension n de E peut donc s’interpréter comme :
– le nombre maximal de vecteurs de E qui peuvent constituer une famille libre : les familles libres sont
de cardinal inférieur ou égal à n et celles dont le cardinal est n sont des bases ;
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 17
– c’est aussi le nombre minimal de vecteurs de E qu’il faut pour constituer une famille génératrice :
les familles génératrices possèdent toutes plus de n vecteurs et celles dont le cardinal est n sont des
bases ;
Attention tout de même : une famille de moins de n vecteurs peut être liée !!! une famille de plus de n + 1
vecteurs peut ne pas être génératrice. Par exemple : (0), (1,1), (1,1,1) dans C, R-ev...
– Caractérisations des bases. Soit S une famille de vecteurs de E :
S est une base de E
si et seulement si
S est constituée de n vecteurs et S est libre
si et seulement si
S est constituée de n vecteurs et S est génératrice
La connaissance de la dimension de l’espace E donne donc d’autres perspectives pour montrer qu’une
famille S est une base (autres que celle de montrer que S est à la fois libre et génératrice).
Exemples 21
1. C’est ainsi que dans K2 , un couple de vecteurs (u,v) est une base ssi (u,v) libre ssi (u,v)
génératrice.
2. Dans l’espace des vecteurs du plan de V2 , deux vecteurs libres constituent une base de V2 , deux vecteurs
générateurs constituent une base de V2 .
3. Dans l’espace de dimension 3, trois vecteurs libres constituent une base, trois vecteurs générateurs aussi .
4. Dans K2 , un couple de vecteurs (u,v) est une base ssi (u + v,u − v) en est une.
5. Soit n ∈ N. n + 1 fonctions polynomiales non nulles de degrés échelonnés et ≤ n constituent une base de
l’ensemble des fonctions polynomiales de degré ≤ n . De même pour les valuations échelonnées.
6. Etude particulière avec les fonctions x → (x − a)k ,0 ≤ k ≤ n .
7. Soient e1 = (2,1,1), e2 = (1 + i,1,i), e3 = (i,0,1). Montrer que (e1 ,e2 ,e3 ) est une base du C-ev C3 .
3
8. Déterminer une base de P = (x,y,z) ∈ R3 /x + y + z = 0 après
avoir justifié que c’est un sev de R .
3
Même question avec D = (x,y,z) ∈ R /x + y = 0,x − y + z = 0 .
9. Montrer qu’un ev est de dim infinie ssi il possède des familles libres aritrairement grandes.
10. Soit n ∈ ∗ . Dans n et pour i ∈ [[1,n]] on note fi le vecteur dont toutes les coordonnées valent 1 sauf la
ième qui vaut 0 . Montrer que (fi ) est une base de n .
N
D.3
K
K
Ev de dimension finie isomorphes
Définition 21 Soient E et F des K-ev. On dit que E et F sont isomorphes
lorsqu’il existe un isomorphisme entre E et F .
Proposition 27 Deux K-ev non nuls de dimension finie sont isomorphes ssi
ils ont même dimension.
Rem1 Lorsque dim E = dim F 6= 0, un isomorphisme entre E et F , tel que nous l’avons construit, dépend du
choix d’une base de E et d’une base de F . Il y a donc plein d’isomorphismes entre E et F !!!
Rem2 Tout K-ev de dimension n ∈ N est isomorphe à Kn . Kn est ainsi un ”modèle” de K-ev de dimension n.
D.4
Produit cartésien d’ev de dimension finie
Proposition 28 Soient E et F des K-ev de dimension finie. E × F est de dimension finie, et dim (E × F ) = dim E + dim F .
De plus :
– dans le cas où dim E = n 6= 0 et dim F = p 6= 0, si (e1 ,...,en ) est une base de E et (f1 ,...,fp ) est une base de
F , alors ((e1 ,0F ) ,..., (en ,0F ) , (0E ,f1 ) ,..., (0E ,fp )) est une base de E × F .
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 18
– dans le cas où dim E = 0 et dim F = p =
6 0, si (f1 ,...,fp ) est une base de F , alors ((0E ,f1 ) ,..., (0E ,fp )) est
une base de {0E } × F .
– dans le cas où dim E = n =
6 0 et dim F = 0, si (e1 ,...,en ) est une base de E, alors ((e1 ,0F ) ,..., (en ,0F )) est
une base de E × {0F }.
Rem On retrouve par exemple que dim Kn = n dim K = n.
E
E.1
Sous-espaces vectoriels en dimension finie
Sev et dimension
Théorème 2 Soient E un K-ev de dimension finie, F un sev de E.
1) F est de dimension finie et dim F ≤ dim E.
2) De plus, dim F = dim E ssi F = E.
Remarque Le 2) s’avère particulièrement intéressant lorsque l’on a à montrer l’égalité de deux ev E = F ; en
effet s’il est aisé de montrer que F ⊂ E et que dim E = dim F , on en déduira alors E = F . Ceci donne une
alternative à la double inclusion et de nouveaux horizons.
E.2
Existence de supplémentaires d’un sev donné
Théorème 3 Soit E un K-ev de dimension finie.
Tout sev F de E admet un supplémentaire dans E : il existe un sev G tel que
F ⊕ G = E.
Remarque (rappel)F étant donné, il n’y a pas unicité d’un supplémentaire ;
E.3
Somme de sev : relation de Grassmann
Proposition 29 Relation de Grassmann Soient F et G sont deux sev d’un Kev E de dimension finie. On a :
dim (F + G) = dim F + dim G − dim (F ∩ G) .
Remarque On retiendra le procédé de construction d’une base de F + G de la démonstration (ne pas penser tout
de même que c’est le seul, il y en a d’autres ...)
E.4
Supplémentaires et dimension
E.4.1
Caractérisations des sev supplémentaires en dimension finie
Proposition 30 Soit E un K-ev de dimension finie. Si F et G sont deux sev
supplémentaires de E, alors dim E = dim F + dim G.
Remarque En particulier, le procédé de construction d’une base de F + G de la démonstration précédente nous
founit une base de F + G par "recollement" d’une base de F et d’une base de G quand F ∩ G = {O}.
Proposition 31 Soient E un K-ev de dimension finie, F et G deux sev de E.
Les trois assertions suivantes sont équivalentes :
1) F et G sont supplémentaires dans E (i.e. E = F + G et F ∩ G = {0}) ;
2) F ∩ G = {0} et dim F + dim G = dim E ;
3) F + G = E et dim F + dim G = dim E.
Attention dim F + dim G = dim E ne suffit bien entendu pas à faire de F et G des sev supplémentaires ; exemple
de R2 , une droite pour F et la même pour G.
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
E.5
page 19
Quelques exercices
1. CNS pour qu’un hyperplan et une droite soient supplémentaires. Soient H un hyperplan d’un K-ev E de dimension finie non nulle et x ∈ E. Montrer que H et Kx sont supplémentaires dans E si et seulement si x ∈
/ H.
utilisable
2. Montrer
F de R4 donné par
que le sous-ensemble
4
F = x = (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) ∈ R , (x1 = x2 − 3x3 et x3 = 2x4 ) est un sous-espace vectoriel de R4 et déterminer une base de F . Compléter cette base en une base de R4 .
3. Dans R3 , on considère les quatre vecteurs : u1 = (1,1,0) ,u2 = (−1,1,2) ,v1 = (2, − 1,3) ,v2 = (1, − 2,0).
Soient G le sev engendré par (u1 ,u2 ) et H le sev engendré par (v1 ,v2 ). Déterminer une base de G ∩ H et la
compléter en une base de G + H.
4. Déjà vu ? Montrer que H = {(x1 ,...,xn ) ∈ Rn /x1 + ... + xn = 0} et vect ((1,...,1)) sont des sev supplémentaires de Rn .
F
F.1
Rang
Rang d’une famille de vecteurs, d’une application linéaire
K
Définition 22 Le rang d’une famille finie χ de vecteurs d’un − ev E, notée
rg(χ) ou rgχ, est la dimension du sous espace vectoriel de E engendré par χ.
On a donc
rgχ = dim(vect(χ))
Remarque 6
1. E est ici de dimension quelconque à priori, c’est bien la finitude de χ qui assure à vect(χ)
d’être de dimension finie puisque χ est une famille génératrice finie de vect(χ).
2. Si χ = (x1 , . . . ,xn ) alors rgχ ≤ n avec égalité si et seulement si χ est libre .
3. En particulier si (x1 , . . . ,xn ) est libre alors rg(x1 , . . . ,xn ) = n.
4. Si χ contient r vecteurs linéairement indépendants x1 , . . . ,xr , alors rgχ ≥ r avec égalité ssi (x1 , . . . ,xr ) est
génératrice de vectχ .
5. Si dim(E) = n et si χ = (x1 , . . . ,xn ) alors χ est une base de E ssi χ est génératrice de E ssi vectχ = E ssi
dimvectχ = dimE ssi rgχ = dimE.
K
Définition 23 Soient E et F deux -ev de dimensions quelconques et u ∈ L(E; F ). On
appelle rang de u et on note rgu la dimension lorsqu’elle est finie , de Imu.
Remarque 7
1. Si F est de dimension finie alors Im(u) est de dimension finie comme sous-ev de F et rgu ≤
dimF avec égalité ssi Imu = F ie u est surjective.
2. Si E est de dimension finie p et que (e1 , . . . ,ep ) est une base de E alors Imu = vect(u(e1 ), . . . ,u(ep )). Imu
est donc de dimension finie et rgu = dim(vect(u(e1 ), . . . ,(ep ))) = rg(u(e1 ), . . . ,u(ep )).
3. En particulier on a alors rgu ≤ p avec égalité ssi (u(e1 ), . . . ,u(ep )) est libre (cf remarque 6-2 ) ie (puisque
(e1 , . . . ,ep ) est une base de E ) ssi u est injective.
Exemples 22
1. Indice de nilpotence et dimension. Soient K un corps, E un K-ev de dimension finie n ∈ N∗ ,
∗
p ∈ N et f un endomorphisme de E tel que f p = 0 et f p−1 6= 0.
(a) Donner un exemple d’une telle application f dans le cas où E = R2 R-ev usuel, et p = 2.
(b) On revient maintenant au cas général.
i. Justifier l’existence de u ∈ E tel que f p−1 (u) 6= 0. Montrer que la famille u,f (u) ,...,f p−1 (u) est
libre.
ii. En déduire une relation entre p et n.
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
F.2
page 20
Théorème du rang
K
Proposition 32 Soient E et F deux -ev de dimension quelconque et u ∈
L(E; F ). Si E0 est un supplémentaire de keru dans E alors u induit un isomorphisme de E0 sur Imu.
Théorème 4 Théorème du rang Soit E un
quelconque. Pour u ∈ L(E; F ) on a
K-ev de dimension finie et F un K-ev
rgu + dim(keru) = dim(E)
Remarque 8 On notera bien que F est de dimension quelconque.
F.3
Caractérisation des isomorphismes en dimension finie
K
Proposition 33 Etant donnés deux -ev E et F de même dimension n ∈
u ∈ L(E; F ), les propositions suivantes sont équivalentes:
N et
1. u est surjective.
2. u est injective.
3. u est bijective.
Remarque 9
1. Notions d’inversibilité à gauche et à droite.
2. En particulier si dimE = n et u ∈ L(E), on a avec la remarque 6-1 : u est un isomorphisme ssi rgu = n.
3. Ne jamais oublier que les deux espaces E et F doivent être de même dimension finie . Etudier , pour s’en
convaincre, les applications Q → XQ(X) ∈ L( [X]) et f → f 0 ∈ L(C ∞ ( ))
R
R
K
Proposition 34 Soient E, F et G trois -ev de dimension finie ainsi que u ∈
L(E; F ) et v ∈ L(F ; G). Alors
• Si u est un isomorphisme , rg(v ◦ u) = rgv.
• Si v est un isomorphisme , rg(v ◦ u) = rgu.
F.4
Quelques exercices
2
1. Quelques inégalités sur le rang. Soit E un K-ev de dimension finie n non nulle et (f,g) ∈ L (E) .
(a) Montrer que rg (g ◦ f) ≤ inf (rgf,rgg).
(b) i. Montrer que |rgg − rgf| ≤ rg (f + g) ≤ rgf + rgg.
ii. On suppose que, de plus, f + g est un automorphisme de E et que f ◦ g = 0. Montrer que
rg (f + g) = n, puis que Img = ker f.
n
.
2
3. Soit f l’application linéaire de R3 dans R4 telle que f ((1,0,0)) = (1,0,1,0), f ((0,1,0)) = (−1,1, − 1,1),
f ((0,0,1)) = (0, − 1,0, − 1). Déterminer une base de Imf et une base de ker f .
2. Soit u un endomorphisme de E, K-ev de dimension finie n, tel que u 6= 0 et u2 = 0. Montrer que rgu ≤
G
Formes linéaires en dimension finie
K
Définition 24
– On appelle forme linéaire sur le -espace vectoriel E ,
tout élément de L(E; ).
– L’ensemble L(E; ) est appelé espace dual de E et est généralement
noté E ∗ .
K
K
Remarque 10 E ∗ est donc un
K-espace vectoriel d’après les paragraphes précédents .
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 21
N
Proposition 35 Soit H un sev d’un ev E de dimension finie n ∈ ∗ . Sont
équivalentes:
– dim H = n − 1
L
– Il existe une droite vectorielle D telle que E = H
D.
– Il existe une forme linéaire non nulle f de noyau H .
On appelle alors hyperplan de E, tout sev H de E vérifiant l’une de ces conditions
Exemples 23
1. En dimension 2 les hyperplans sont les droites vectorielles.
2. En dimension 3 les hyperplans sont les plans vectoriels.
Proposition 36 Equation d’un hyperplan dans une base de E. Soit β une base de
E un ev de dimension n ∈ ∗ . Alors sont équivalentes:
– H est un hyperplan.
– Il existe (a1 , . . . ,an ) ∈ n non nul tel que dans β , l’équation de H est
a1 x1 + . . . + an xn = 0.
N
K
Proposition 37 Si deux formes linéaires non nulles sur E ( un ev de dimension
n ∈ ∗ ) ont le même noyau alors elles sont proportionnelles.
N
N
Corollaire 1 Soit β une base de l’ev E de dimension finie n ∈ ∗ . H et G sont
deux hyperplans de E d’équations respesctives dans β : a1 x1 + . . . + an xn = 0
et b1 x1 + . . . + bn xn = 0.
Alors H = G ssi ∃λ ∈ ,∀i ∈ [[1,n]] : bi = λai .
K
Exemples 24 Notion de base duale et isomorphisme entre E et son dual.
H
Les exos en vrac
1. Des couples de sous-espaces supplémentaires dans RR . Soit E le R-ev RR (pour les lois usuelles).
(a) Soient a0 , a1 , a2 trois réels deux à deux distincts, F2 = {f ∈ E,f (a0 ) = f (a1 ) = f (a2 ) = 0} et G2
l’ensemble des applications polynômiales de R dans R de degré au plus 2.
Établir que F2 et G2 sont deux sous-espaces vectoriels de E et qu’ils sont supplémentaires dans E.
(b) Une généralisation?
2. Il se pourrait que vous rencontriez un jour ces sev là... Soient E un K-ev, f ∈ L (E) et λ ∈ K. Prouver que
l’ensemble Eλ = {x ∈ E,f (x) = λx} est un sous-espace vectoriel de E en l’exprimant comme noyau d’une
application linéaire.
3. Soient f : E → F et g : F → G deux applications linéaires. Montrer que ker f ⊂ ker (g ◦ f ) et Im (g ◦ f) ⊂
Img.
4. Soit f ∈ L(E).
(a) Montrer que Imf ⊂ ker f si et seulement si f ◦ f = 0.
5. Soit f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 + f + id. Montrer que f est un automorphisme.
6. Vecteurs invariants par un endomorphisme. Soient K un corps et E un K-ev et f ∈ L (E).
(a) Prouver que l’ensemble P = {x ∈ E,f (x) = x} des vecteurs de E invariants par f est un sous-espace
vectoriel de E.
(b) Montrer que P ∩ ker f = {0} (on dit que P et ker f sont en somme directe).
7. Il se pourrait que vous rencontriez un jour ces sev là... Soient E un K-ev, f ∈ L (E) et λ ∈ K. Prouver que
l’ensemble Eλ = {x ∈ E,f (x) = λx} est un sous-espace vectoriel de E en l’exprimant comme noyau d’une
application linéaire.
Mathématiques
chapitre : espaces vectoriels
page 22
8. Soient f : E → F et g : F → G deux applications linéaires. Montrer que ker f ⊂ ker (g ◦ f ) et Im (g ◦ f) ⊂
Img.
9. Soit f ∈ L(E).
(a) Montrer que Imf ⊂ ker f si et seulement si f ◦ f = 0.
10. Soit f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 + f + id. Montrer que f est un automorphisme.
11. Vecteurs invariants par un endomorphisme. Soient K un corps et E un K-ev et f ∈ L (E).
(a) Prouver que l’ensemble P = {x ∈ E,f (x) = x} des vecteurs de E invariants par f est un sous-espace
vectoriel de E.
(b) Montrer que P ∩ ker f = {0} (on dit que P et ker f sont en somme directe).
12. cor
(a) Soit p le projecteur de R2 sur la droite D d’équation 2x+3y = 0 parallèlement à la droite vect ((5, − 3)).
Pour (x,y) ∈ R2 , exprimer p ((x,y)) en fonction de x, y.
(b) Soit p1 le projecteur de R3 sur P = vect ((1,0,0) , (0,1,0)) parallèlement à D = vect ((1,1,1)). Pour
(x,y,z) ∈ R3 , exprimer p1 (x,y,z) en fonction de x, y et z.
13. cor Les quatre applications suivantes sont-elles des projecteurs des espaces vectoriels concernés ? Si c’est
le cas, on demande les sous-espaces caractéristiques du projecteur :
R 2 → R2
.
2
(x,y) 7→ 2x − 3 y,3x − y
(b)
R2 → R2
.
(x,y) 7→ (2x − y + 1,2x − y + 2)
(c) R2 → R2
.
x
x−y
7→
y
2x − y
(a)
14. cor Deux projecteurs encore. Soit E un K-ev où K est un sous-corps de R. Soient p et q des projecteurs de
L(E)
(a) Montrer l’équivalence des trois propriétés suivantes : (i) p + q est un projecteur. (ii) p ◦ q + q ◦ p = 0.
(iii) p ◦ q = q ◦ p = 0.
(b) On suppose désormais que l’une de ces conditions est réalisée.
i. Montrer que Im(p) ⊂ ker(q) et Im(q) ⊂ ker(p).
ii. Montrer que ker(p + q) = ker(p) ∩ ker(q).
iii. Montrer que Im(p + q) = Im(p) ⊕ Im(q).
15. Déterminer
une base des sous-espaces vectoriels
de R3 F1 = (x,y,z) ∈ R3 ,3x − 2y + 4z = 0 et
F2 = (x,y,z) ∈ R3 ,2x − y = y + 4z = 0 .
16. Soient (a,b) ∈ R2 , f : R → R,x 7→ sin x, g : R → R,x 7→ sin (x + a) et h : R → R,x 7→ cos (x + b). (f,g,h)
forme-t-elle une famille libre du R-ev F (R,R)?
17. Soient u = (n + 1)n∈N , v = n2 n∈N et w = (shn)n∈N . Montrer que (u,v,w) forme une famille libre du R-ev
RN .
18. Vrai ou Faux? Soit E un K-ev.
(a) Soit (x,y) ∈ E 2 . (x,y) est liée si et seulement s’il existe λ ∈ K tel que y = λx : V F
(b) Une famille est liée si et seulement si chacun de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres :
V F
(c) Une famille génératrice de E ne peut posséder strictement moins de vecteurs qu’une famille libre de
vecteurs de E : V F
(d) Soit f ∈ L (E).
i. Si f n’est pas injective et (ui )i=1,...,n est une famille libre, alors (f (ui ))i=1,...,n est liée : V
F
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
page 23
ii. Si (ui )i=1,...,n est libre, alors (f (ui ))i=1,...,n est libre : V
F
iii. Si (f (ui ))i=1,...,n est libre, alors (ui )i=1,...,n est libre : V
F
iv. Si (ui )i=1,...,n est génératrice de E, alors (f (ui ))i=1,...,n est génératrice de E : V
F
19. Soient K un corps, E un K-espace vectoriel, F , G et H des sous-espaces vectoriels de E.
(a) Montrer que (F ∩ G) + (F ∩ H) ⊂ F ∩ (G + H). A-t-on F ∩ (G + H) ⊂ (F ∩ G) + (F ∩ H)?
(b) Montrer que F + (G ∩ H) ⊂ (F + G) ∩ (F + H). A-t-on ((F + G) ∩ (F + H)) ⊂ F + (G ∩ H)?
20. Soient u1 = (1,2,0), u2 = (0,1,1), u3 = (1,1,0), e = (1,3,1).
(a) Montrer que B = (u1 ,u2 ,u3 ) est une base de R3 .
(b) Compléter e en une base de R3 à l’aide de vecteurs de B.
21. Soit E un K-ev. Nous dirons qu’une suite (i.e. une famille infinie indexée par N) (xn )n∈N de vecteurs de E
est libre lorsque pour tout N ∈ N la famille (x0 ,...,xN ) est libre. Montrer que E est de dimension infinie si
et seulement s’il existe une famille libre infinie indexée par N de vecteurs de E.
22. Pour tout n ∈ N, on pose fn : R → R,x 7→ cos nx.
R 2π
(a) Calculer 0 fn (x) fm (x) dx pour (n,m) ∈ N2 .
(b) En déduire que (fn )n∈N est une famille libre (au sens défini à l’exercice précédent) du R-ev C (R,R)
des fonctions continues de R dans R. (fn )n∈N engendre-t-elle C (R,R)?
23. Vrai ou Faux? 1) C 1 (R,R) est un R-ev de dimension finie : V F . 2) Si E est un C-ev de dimension finie
n ∈ N, alors E est un R-ev (par restriction des scalaires) de dimension finie et dimR E = 2n : V F
24. Vrai ou Faux?
(a) Soient E un K-ev de dimension finie, F , G et H des sev de E
i. On suppose ici G = vect (e1 ), où e1 6= 0. F ∩ G = {0} ssi e1 ∈
/F: V
F
ii. On suppose ici G = vect (e1 ,e2 ), où (e1 ,e2 ) est libre. F ∩ G = {0} ssi e1 ∈
/ F et e2 ∈
/F: V
iii. Si E = F ⊕ G = F ⊕ H, alors G = H : V
F
F
(b) R2 et C2 sont isomorphes car ils ont même dimension : V
F
25. Vrai ou Faux? 1) Soit f ∈ L R4 . f ◦f est injective ssi f est injective : V F . 2) Pour tout endomorphisme
f de E, K-ev de dimension finie, Imf et ker f sont des supplémentaires : V F .
26. Soient u et v des endomorphismes de E, un K-ev de dimension finie, tels que ker u+ker v = Imu+Imv = E.
Montrer que E = ker u ⊕ ker v = Imu ⊕ Imv.
27. Résoudre sur R : (x + 1) y 0 − xy = 0. Quel est la dimension du R-ev des solutions?
28. Suites récurrentes
d’ordre 2 linéaires à coefficients constants,le retour... K désigne R ou C. Soit (a,b) ∈ K2 . On
note Ea,b = (un )n∈N ∈ KN /∀n ∈ N,un+2 = aun+1 + bun .
(a) Montrer que Ea,b
→ K2 , u
7→ (u0 ,u1 ) est un isomorphisme.
v
(b) En déduire que Ea,b est de dimension 2 et que (v,w) est une base de Ea,b si et seulement si 0
v1
0.
R
w0 6
=
w1 29. Soit E un -espace vectoriel de dimension 4. On note L(E) l’ensemble des endomorphismes de E. Soit
alors f ∈ L(E) tel que f ◦ f = −IdE . Pour tout vecteur x de E, on note Ex le sous-espace vectoriel de E
engendré par x et f (x).
(a) Soit a un vecteur non nul de E . Montrer que Ea est de dimension 2.
(b) Soit b ∈ E\Ea . Montrer que Ea et Eb sont supplémentaires dans E.
30. suites récurrentes
Partie I : Etude d’un premier exemple
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
R
R
page 24
• Soit f l’endomorphisme de 2 défini pour (x,y) ∈ 2 par f (x,y) = (x + 2y,x).
• On désigne par E l’ensemble des suites réelles (un )n∈N ∈ N vérifiant les relations
(u0 ,u1 ) ∈ 2
∀ n ∈ : un+2 = un+1 + 2un
N
R
R
• On pose f 0 = IdR2 (que l’on notera Id ) et pour n ∈
R
N∗ : f n = f ◦ f n−1 .
(a) Prouver que l’ensemble des couples (x,y) ∈ 2 tels que f (x,y) = −(x,y) est une droite D1 dont on
déterminera un vecteur directeur e1 .
(b) Prouver que l’ensemble des couples (x,y) ∈ 2 tels que f (x,y) = 2(x,y) est une droite D2 dont on
déterminera un vecteur directeur e2 .
(c) Montrer que (e1 ,e2 ) est une base de 2 . Exprimer (x,y) en fonction de e1 et e2 .
(d) Soit (a,b) ∈ 2 : Exprimer les coordonnées de f (ae1 + be2 ) dans (e1 ,e2 ) en fonction de a et b.
(e) Déduire des questions précédentes, pour n ∈
et (x,y) ∈ 2 , l’expression de f n (x,y) dans la base
2
canonique de
.
(f) Application: étude de l’ensemble E
Soit u = (un )n∈N ∈ E . Pour n ∈ on pose Xn = (un+1 ,un ).
i. Pour n ∈ , exprimer Xn en fonction de f , n et X0 .
ii. En déduire l’expression , pour n ∈ , de un en fonction de u0 , u1 et n.
R
R
R
N
R
R
N
N
N
Partie II : Etude d’un deuxième exemple
• a désigne dans cette partie une constante réelle fixée.
Soit F l’endomorphisme de 2 défini par les relations F (i) = −ai − a2 j et F (j) = i + aj , (i,j)
désignant la base canonique de 2 .
• On désigne par W l’ensemble des suites réelles (un )n∈N ∈ N vérifiant les relations
(u0 ,u1 ) ∈ 2
∀ n ∈ : un+2 = 2aun+1 − a2 un
R
R
N
R
R
• Nous allons ici donner , après quelques généralités, deux méthodes permettant de déterminer l’ensemble
W . On réalisera ensuite une petite excursion en géométrie affine .
(a) généralités
i. Prouver que W est un sous espace vectoriel de N .
ii. Prouver que l’application Φ qui à u ∈ W associe le couple (u0 ,u1 ) ∈ 2 est un isomorphisme.
iii. Déterminer le noyau et l’image de F .
iv. Calculer F 2 .
v. Prouver que pour n ∈ ∗ on a (aId + F )n = an I + nan−1 F .
vi. Pour (x,y) ∈ 2 , donner les coordonnées de (aId + F )(x,y) dans la base (i,j).
(b) Première méthode
R
R
R
N
i. Déterminer l’élément v de W vérifiant v0 = 0 et v1 = 1.
ii. Déterminer toutes les suites géométriques éléments de W .
iii. Soit u ∈ W : Déduire de ce qui précède , et sans le moindre calcul, l’existence de α et β réels tels
que ∀ n ∈ : un = αan + βnan .
iv. Exprimer α et β en fonction de u0 et u1 .
N
(c) Deuxième méthode
On oubli donc ici tous les résultats de la première méthode.
On note Ψ = Φ−1 où Φ est l’application définie précédemment. A (u0 ,u1 ) ∈
u = Ψ(u0 ,u1 ) et on définit alors l’application g par
∀ (u0 ,u1 ) ∈
.
i. Exprimer g en fonction de F et Id.
R2 : g(u0 ,u1 ) = (u1 ,u2 )
R2 on associe la suite
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
N
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R
ii. En étudiant , pour n ∈ , l’expression pour (u0 ,u1 ) ∈ 2 de g n (u0 ,u1 ), et en utilisant les questions
de la partie généralités, retrouver les résultats de la première méthode.
31. cor Deux caractérisations des endomorphismes à noyau et image supplémentaires. Soit E un espace vectoriel de
dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(a) E = ker f ⊕ Imf ;
(b) Imf = Imf 2 ;
(c) ker f = ker f 2 .
32. Existence d’endomorphismes de noyau et image égaux. Soit E un K-ev de dimension finie n.
(a) Montrer que s’il existe f ∈ L (E) tel que ker f = Imf, alors n est pair.
(b) On s’intéresse maintenant à la réciproque.
i. On suppose n = 2. Construire à l’aide d’une base de E un endomorphisme f de E tel que ker f =
Imf.
ii. En vous inspirant du cas n = 2, montrer que si n est pair, alors il existe f ∈ L (E) tel que ker f =
Imf.
33. Le Q-ev R. On munit R de sa structure de Q-ev.
√ (a) Montrer que 1, 2 est une famille libre de R.
√ √ (b) Montrer que 1, 2, 3 est une famille libre de R.
(c) Soit P l’ensemble des nombres entiers naturels premiers. Montrer que (ln p)p∈P est une famille libre
de R (au sens où toute sous-famille finie extraite de (ln p)p∈P est libre). En déduire que R est un Q-ev de
dimension infinie.
34. corécrite
• Soit E un -espace vectoriel, et f un endomorphisme de E. Pour tout λ ∈ , on note Eλ le noyau de
f − λId .
• Par définition, le scalaire λ est appelé une valeur propre de l’endomorphisme f si et seulement si Eλ n’est
pas réduit au vecteur nul. Dans ce cas, tout vecteur non nul de Eλ est appelé un vecteur propre de f
associé à la valeur propre λ. et Eλ s’appelle le sous-espace propre de f associé à la valeur propre λ.
K
K
K
K
Soit λ ∈ : Prouver que Eλ est un sous-espace vectoriel de E.
Soit λ ∈ et x ∈ Eλ . Calculer f (x) en fonction de x et de λ, puis f k (x) pout tout entier k.
Prouver que si λ 6= µ, alors Eλ ∩ Eµ = {0E }.
Plus généralement, prouver que si λ1 , . . . ,λn sont des scalaires distincts, et x1 , . . . ,xn des éléments
non nuls de Eλ1 , . . . ,Eλn alors la famille (x1 , . . . ,xn ) est libre.
(e) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i. λ est valeur propre de f .
ii. f − λId n’est pas injective.
iii. Il existe x 6= 0 dans E tel que f (x) = λx.
(f) Quelques exemples
i. Soit n ∈ ∗ et k1 , . . . ,kn des reéls distincts. Pour j ∈ [[1,n]] on note fj la fonction définie sur
par fj (x) = exp(kj x). Montrer que (f1 , . . . ,fn ) est une famille libre de C ∞ ( ).
(a)
(b)
(c)
(d)
N
R
R
R
R
Indication : On pourra prendre pour E le -espace vectoriel des applications de classe C ∞ de
dans , pour f l’endomorphisme de E qui à toute ϕ de E associe ϕ0 et étudier les valeurs propres
et les sous-espaces propres associés de f .
ii. Quels sont les valeurs propres d’un projecteur? Caractériser alors les sous-espaces propres associés.
iii. Quels sont les valeurs propres d’une symétrie ? Caractériser alors les sous-espaces propres associés.
R
chapitre : espaces vectoriels
Mathématiques
iv. On prend maintenant E =
page 26
R2 , et pour tout réel θ, f est l’endomorphisme de E défini par
fθ (x1 ,x2 ) = (cos θx1 − sin θx2 , sin θx1 + cos θx2 )
Calculer fθ ◦ fϕ . En déduire que fθ est un automorphisme de E dont on précisera la réciproque.
Trouver les valeurs propres de fθ .
Indication : on se ramenera à trouver une condition pour qu’un certain système linéaire admette
une solution non nulle.
35. cor C 0 (R) désigne le R-espace vectoriel (usuel) des fonctions continues de R dans R et C 2 (R) le sousespace vectoriel de C 0 des fonctions de classe C 2 de R dans R.
0
Soit T l’application qui
R x à toute fonction f de C (R) fait correspondre la fonction T (f ) définie par :
∀x ∈ R, [T (f )] (x) = 0 f (t) sin (x − t) dt.
(a)
(b)
(c)
(d)
Montrer que pour tout f ∈ C 0 (R), T (f ) ∈ C 2 (R).
Montrer que T : f 7→ T (f ) est une application linéaire de C 0 (R) dans C 2 (R).
00
Montrer que T (f ) + [T (f )] = f . En déduire que T est injective.
Soit K = g ∈ C 2 (R) /g (0) = g 0 (0) = 0 .
i. Montrer que K est un sous-espace vectoriel de C 2 (R).
ii. Montrer que ImT ⊂ K.
iii. Calculer T (g + g 00 ) pour g ∈ K. En déduire ImT.
(e) Calculer T (sin). Déterminer une fonction f ∈ C 2 (R) telle que f 00 + f = sin.
36. cor
Soit K un corps, n ∈ N∗ , E un K-espace vectoriel de dimension n, f ∈ L (E). On note, pour p ∈ N,
Kp = ker (f p ) et Ip = Im (f p ).
(a) Montrer que pour tout p ∈ N on a Kp ⊂ Kp+1 et Ip+1 ⊂ Ip .
(b) Montrer qu’il existe p ∈ N tel que Kp = Kp+1 .
(c) Soit alors m = min {p ∈ N/Kp = Kp+1 }.
i. Montrer que pour tout q ≥ m on a Kq = Km et Iq = Im .
ii. Montrer que Km et Im sont supplémentaires dans E.