espaces vectoriels - applications linéaires - MPSI-1

ESPACES VECTORIELS - APPLICATIONS LINÉAIRES
MPSI 1–Lycée Thiers
Année 2008-2009
Table des matières
A Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2
A.1 Espacesvectoriels............................................... 2
A.1.1 Définitions, notations et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.1.2 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.1.3 Propriétésélémentaires ....................................... 3
A.1.4 Combinaisonslinéaires ....................................... 3
A.2 Sous-espacesvectoriels............................................ 3
A.2.1 Définitionetcaractérisation..................................... 3
A.2.2 Exemples de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A.2.3 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A.2.4 Sous-espace vectoriel engendré par une partie, par une famille de vecteurs . . . . . . . . . 5
A.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
A.3.1 Espacevectorielsomme ....................................... 6
A.3.2 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
B Applications linéaires 8
B.1 Définitionsetexemples............................................ 8
B.2 Noyauetimage ................................................ 9
B.2.1 Définitions (rappels) et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
B.2.2 Équation f(x) = boù fest une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
B.3 L’ensemble des applications linéaires de Edans F............................ 10
B.3.1 L’espace vectoriel L(E,F )...................................... 10
B.3.2 Composition, l’ensemble (L(E),+,◦)et le groupe linéaire GL (E).............. 10
B.4 Projecteurs................................................... 10
B.4.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
B.4.2 Caractérisation des projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
B.5 Symétries.................................................... 11
B.5.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
B.5.2 Caractérisation des symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
B.6 Quelquesexercices .............................................. 11
C Familles de vecteurs d’un K-espace vectoriel 12
C.1 Retour sur les familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
C.2 Familleslibres,famillesliées......................................... 12
C.3 Bases ...................................................... 14
C.3.1 Définitionsetexemples ....................................... 14
C.3.2 Bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
D Espaces vectoriels de dimension finie, dimension 15
D.1 Evdedimensionfinie............................................. 15
D.2 Théoriedeladimension ........................................... 15
D.2.1 Résultatspréliminaires........................................ 15
D.2.2 Existence de bases en dimension finie, dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
D.2.3 Caractérisations............................................ 16
D.3 Evdedimensionfinieisomorphes ..................................... 17
D.4 Produit cartésien d’ev de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Mathématiques chapitre : espaces vectoriels page 2
E Sous-espaces vectoriels en dimension finie 18
E.1 Sevetdimension ............................................... 18
E.2 Existence de supplémentaires d’un sev donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
E.3 Somme de sev : relation de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
E.4 Supplémentairesetdimension........................................ 18
E.4.1 Caractérisations des sev supplémentaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
E.5 Quelquesexercices .............................................. 19
F Rang 19
F.1 Rang d’une famille de vecteurs, d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
F.2 Théorèmedurang .............................................. 20
F.3 Caractérisation des isomorphismes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
F.4 Quelquesexercices .............................................. 20
G Formes linéaires en dimension finie 20
H Les exos en vrac 21
A Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Dans tout ce qui suit , Kdésigne un corps commutatif quelconque . Dans la pratique ce sera toujours un sous
corps de C,le plus souvent Rou C.
A.1 Espaces vectoriels
A.1.1 Définitions, notations et conventions
Définition 1 Soit Kun corps et Eun ensemble muni d’une loi interne +et
d’une application (appelée loi externe ): K×E→E
(λ;x)7→ λ.x
.
On dit que (E; + ; .)est un espace vectoriel sur K( ou encore que c’est un K-
espace vectoriel ou K-ev ) lorsque:
1. (E; +) est un groupe abélien .
2. Pour tout (x;y)∈E×E, (α;β)∈K×Kon a:
–α.(β.x) = αβ.(x)
–(α+β).x =α.x +β.x
–α.(x+y) = α.x +α.y
–1K.x =x
Remarque 1 – Les éléments de Esont alors appelés des vecteurs et ceux de Kdes scalaires.
– Pour α∈Ket x∈E, on note tout simplement αx le vecteur α.x .
– Pour α∈K∗et x∈E, on note tout simplement x
αle vecteur 1 α.x
A.1.2 Exemples d’espaces vectoriels
Voir le tableau fourni en fin de poly. Celui-ci sera utilisé toute l’année.

Mathématiques chapitre : espaces vectoriels page 3
A.1.3 Propriétés élémentaires
Propriété 1 Soit Eun K-ev . Alors pour α∈Ket x∈Eon a :
1. 0K.x = 0Eet α0E= 0E.
2. −(αx) = α(−x) = (−α)x.
3. αx = 0E⇔α= 0Kou x= 0E
A.1.4 Combinaisons linéaires
Définition 2
1) Soit Eun K-ev et x1;... ;xndes éléments de E. On appelle combinaison
linéaire ( en abrégé CL ) de x1;... ;xntout vecteur de la forme n
P
i=1
λi.xioù λ1;
... ;λnsont des scalaires .
2) Si Aest une partie de E, on appelle combinaison linéaire d’éléments de A,
tout vecteur de la forme n
P
i=1
λi.xioù n∈∗et x1;... ;xnsont des éléments de
A.
Exemples 1 1. Dans ν3muni d’une base (i,j,k)tout vecteur est CL des éléments i,jet k.
2. Dans C( considéré comme R-ev ) , tout vecteur est CL de 1et i.
3. Dans F(R,R),R-ev , toute fonction polynomiale est CL des fonctions R→R
x7→ xn
;n∈N
4. Dans R3muni de la base canonique , on considère les deux vecteurs −→ u= (1,−1,1) et −→ v= (−1,3,1).
(a) Les vecteurs suivants sont-ils combinaison linéaire de −→ uet −→ v:(1,2,3),(1,0,2)?
(b) Déterminer l’ensemble des vecteurs qui sont combinaison linéaire de −→ uet −→ v.
5. Soit, pour tout n∈N,fn:R→R
x7→ xn
. Dans F(R,R), les vecteurs suivants sont-ils combinaison linéaire de
vecteurs de {fn,n ∈N}:sin ,arcsin,arctan,exp,ln?
6. Dans R4muni de sa structure de R-ev usuelleet de la base canonique on considère le sous-ensemble E
constitué des CL des vecteurs :
u1= (0,1,2,0) u2= (1,0,0,1) u3= (1,1,0,−1)
(a) Montrer que le vecteur f= (4,1,−2,0) appartient à Eet exprimer u1sous la forme d’une combinaison
linéaire de f,u2,u3.
(b) Soit g∈R4\E; montrer que pour tout λ∈R∗,f+λg n’appartient pas à E.
7. Une CL de CL de x1;... ;xnest une CL de x1;... ;xn.
A.2 Sous-espaces vectoriels
A.2.1 Définition et caractérisation
Définition 3 Soient Eun K-ev et F⊂E. On dit que Fest un sous-espace
vectoriel (abrégé sev) de Elorsque :
(1) OE∈F
(2) Fest stable pour l’addition : ∀(x,y)∈F2,x +y∈F
(3) Fest stable pour le produit externe: ∀(λ,x)∈K×F,λx ∈F
Rem On peut noter que Fest un sev de Essi Fest un sous-groupe de (E,+) qui est stable pour la loi externe.
En effet Fest un sev ssi 
(1) OE∈F
(2) ∀(x,y)∈F2,x +y∈F
(3) ∀(λ,x)∈K×F,λx ∈F

Mathématiques chapitre : espaces vectoriels page 4
ssi 
(1) OE∈F
(2) ∀(x,y)∈F2,x +y∈F
(20)∀x∈F, −x∈F((3) avec λ=−1)
(3) ∀(λ,x)∈K×F,λx ∈F
ssi Fsous-groupe de (E,+)
∀(λ,x)∈K×F,λx ∈F.
Proposition 1 Soient Eun K-ev et F⊂E. Alors Fest un sev de Esi et seule-
ment si, pour les lois induites, Fest lui même un K-espace vectoriel.
Rem1 Dans la pratique, pour montrer qu’un espace est un K-ev il peut être utile (car c’est beaucoup plus court)
de montrer que c’est un sev d’un certain K-ev (rencontré dans le problème ou l’exercice ou bien connu : il
fait partie des exemples classiques).
Rem2 Soient Eun K-ev et F⊂E.
1. Forme condensée. Soient Eun K-ev et F⊂E.Fest un sev de Essi
(10)OE∈F
(20)∀((x,y),(λ,µ)) ∈F2×K2,λx +µy ∈F.
2. Vision plus globale des choses.Fest un sev de Essi 0E∈Fet Fest stable par combinaison li-
néaire (toute combinaison linéaire d’éléments de Fest un élément de F: pour tout n∈N∗et tout
((x1,...,xn),(λ1,...,λn)) ∈Fn×Kn,λ1x1+... +λnxn∈F).
3. Pour montrer que Fest un sev de E, la vérification 0E∈Fpeut être remplacée (dans la définition et
dans les diverses caractérisations données) par F6=∅. Dans la pratique, on montrera que 0E∈F.
A.2.2 Exemples de sous-espaces vectoriels
1. (a) Dans le R-espace vectoriel R2:
Rq : pour représenter le R-espace vectoriel R2on l’identifie au plan muni d’un repère (on représente
les couples (x,y)par des points Met on opère -on fait des combinaisons linéaires- sur les vecteurs
−−→
OM -on ne fait pas de combinaison linéaire de points-) ou à C.
i. La droite (Ox)(identifiée à Rdans C) est un sev de E.
ii. Toute droite Dpassant par l’origine est un sev de R2apparaissant alors comme l’ensemble des
combinaisons linéaires d’un vecteur non nul.
(b) Dans le R-espace vectoriel R3.
Rq : pour représenter le R-espace vectoriel R3: il s’identifie à l’espace de dimension 3 muni d’un
repère (on représente les triplets (x,y,z)par un point Met on opère sur les vecteurs −−→ OM -on n’ajoute
pas les points-).
Les doites passant par l’origine (apparaissant alors comme l’ensemble des combinaisons linéaires
d’un vecteur non nul) , les plans passant par l’origine ( apparaissant alors comme l’ensemble des
combinaisons linéaires de deux vecteurs non colinéaires ) sont des sev de R3.
2. Soit Eun K-ev.
(a) Les sev dits triviaux de E: si Eest un K-ev, Eet {0E}sont des sev de E.
(b) Soit x∈E. La droite vectorielle engendrée par x, {λx,λ ∈K}est un sev de Esouvent noté x.
3. L’ensemble des suites réelles bornées, l’ensemble des suites réelles convergentes sont des sev du R-ev
RN.La suite nulle est en effet dans chacun de ces ensembles. Par ailleurs toute combinaison lnéaire de
suites bornées est bornée et toute combinaison linéaire de suites convergentes l’est encore .
L’ensemble des suites r éelles qui convergent vers un réel fixé est-il un sev de ?
4. Idésignant un intervalle non trivial de R. L’ensemble des fonctions continues (resp dérivables, de classe
Cnoù n∈N∪ {∞} est fixé ) de Idans Rest un sev de F(I,R). L’ensemble des fonctions polynômiales de
Rdans Rest un sev de F(R,R).
A.2.3 Intersection de sous-espaces vectoriels
Proposition 2 Soit Eun K-ev. Toute intersection de sev de Eest un sev de Ei.e. : si Iest un ensemble
non vide et (Fi)i∈Iest une famille de sev de E, alors T
i∈I
Fiest un sev de E.

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A.2.4 Sous-espace vectoriel engendré par une partie, par une famille de vecteurs
Définition 4 Soit Eun K-ev et Aune partie (quelconque) de E. On appelle sev engendré
par A, et on le note vectA,T
F∈FA
Foù FA={F;Fsev de Eet A⊂F}(vectA est l’intersec-
tion des sev de Equi contiennent A).
Justifions la définition : l’ensemble FAdes sev de Econtenant An’est pas vide : E∈ FA. Ainsi T
F∈FA
Fa un sens.
De plus, en tant qu’intersection de sev de ET
F∈FA
Fest un sev de E.
Rem1 vectA est le plus petit sev de Econtenant Apour l’inclusion (autrement dit : vectA est le plus petit élément
de l’ensemble FAordonné par l’inclusion).
Rem2 vect∅={0E};vectA = A ssi Aest un sev de E; si A⊂B, alors vectA ⊂vectB.
La définition plus haut n’est pas très pratique, il vaut mieux voir les choses autrement:
Proposition 3 (Description de vectA)Soit Eun K-ev et Aune partie non vide de E.
vectA est l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. ( et on comprend
l’appellation de sev engendré par A).
C’est-à-dire que vectA = {λ1a1+... +λnan,n∈N∗,(a1,...,an)∈An,(λ1,...,λn)∈Kn}
Autrement dit y∈vectA ssi existent n∈N∗,(a1,...,an)∈Anet (λ1,...,λn)∈Kntels que y=λ1,a1+... +λnan.
En particulier. Si Aest une partie finie non vide de E, alors :
– si A={x1,...,xp}:vectA = {λ1x1+... +λpap,(λ1,...,λp)∈Kp}(vectA est l’ensemble des combinaisons
linéaires de x1, ..., xp): on prend alors systématiquement pvacteurs dans la CL mais un certain nombre des
coeffs peuvent être nuls.
Exemples :Dans EK-ev :
–x∈E:vect {x}={λx,λ ∈K}: c’est {0E}si x= 0Eet c’est la droite vectorielle engendrée par xsi x6= 0E.
On la note Kx.
–x,y ∈E:vect {x,y}=λx + µy,(λ,µ)∈K2.
Définition 5 Soient Eun K-ev et (x1,...,xn)(où n∈N∗) une famille finie de
vecteurs de E. Le sev engendré par (x1,...,xn)(par la famille (x1,...,xn)) est
par définition le sev engendré par la partie {x1,...,xn}de Eque cette famille
détermine . Il est noté vect (x1,...,xn).
Définition 6 Soient Eun K-ev et Vun sev de E.
1. Soit Aune partie de E. On dit que Aest une partie génératrice de V(ou
que Vest engendré par A) lorsque V= vectA (i.e. lorsque Vest en fait
l’ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A).
2. Soit (x1,...,xn)∈En. On dit que (x1,...,xn)est une famille génératrice
de V(ou que Vest engendré par (x1,...,xn)) lorsque V= vect (x1,...,xn).
Remarque 2 1. Ceci impose A⊂Vet que tout xiest élément de V.
2. Cette terminologie s’applique en particulier au cas V=E.
Exemples 2 1. Dans C,R-ev : vect (1,i) = vect (1,i,1 + i) = C((1,i)engendre ou est génératrice de C),
vect (1) = vect (1,0) = vect (2) = R,vect (i) = vect (πi) = Riensemble des imaginaires purs,
vect(1,i,j) = C.
Dans C,C-ev, vect (1) = C.
(Le corps de base est fondamental ; c’est pour cela que l’on note parfois vectKE:vectR(1) = R,
vectC(1) = C).
2. Dans V2:vect (0),vectu,vect (u,v).