2 Sous-espaces vectoriels engendrés

INTRODUCTION AUX ESPACES VECTORIELS Sous-espaces vectoriels
2 Sous-espaces vectoriels engendrés
• Cas particuliers introductifs
1. Droite vectorielle : Soit ~u ∈Eun vecteur non-nul.
L’ensemble F=α·~u, α ∈Kest un sev de Eappelé droite vectorielle engendrée par ~u et notée Vect(~u).
Fest bien un sous espace vectoriel de Ecar :
Exercice 1 — Dans E=R2, l’ensemble F={(x,y)|2x−y= 0}est une droite vectorielle.
2. Plan vectoriel : Soient ~u, ~v ∈E.
L’ensemble F= est un sev de E, on note F=
Si ~u et ~v ne sont pas colinéaires (i.e. si on n’a pas ~u = λ~v ou ~v = λ~u ), alors on dit que F est un plan vectoriel.
Exercice 2 — Dans E=R3, l’ensemble F={(x,y)|x+ 3y−z= 0}est un plan vectoriel.
• Cas général
• Une famille (finie) de vecteurs de Eest une n-liste (~u1, ~u2,...,~un) de vecteurs de E.
• Le nombre nde vecteurs de cette famille est appelé
Définition
Soit (~u1, ~u2,...,~un) une famille de vecteurs E.
Un vecteur ~x est une combinaison linéaire de (~u1, ~u2,...,~un) s’il existe nscalaires α1,α2,...αntels que
~x =
Définition
Soit (~u1, ~u2,...,~un) une famille de E.
On note Vect(~u1, ~u2,...,~un) l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de (~u1, ~u2,...,~un)i.e.
~x ∈Vect(~u1, ~u2,...,~un) ssi
Alors Vect(~u1, ~u2,...,~un) est un sev de E, appelé sous-espace vectoriel engendré par (~u1, ~u2,...,~un).
Théorème – définition
Exercice 3 Preuve du théorème —Vérifier que Vect(~u1, ~u2,...,~un) est un sev de E
Soit (~u1, ~u2,...,~un) une famille de vecteurs de E.
i) Le sev Vect(~u1, ~u2,...,~un) contient les vecteurs
ii) Vect(~u1, ~u2,...,~un) est le « plus petit » sev contenant les vecteurs ~u1, ~u2,...,~un:
Si Fest un sev contenant ~u1,~u2, . . . et ~un, alors
Proposition : Propriétés du « Vect »
• Méthode : Pour montrer qu’une partie F est un sev de E , il peut être utile de montrer que F = Vect ( ~u1, ~u2,...,~un ).
Exercice 4 — On considère l’ensemble F=( a+b b
b a +b!,(a,b)∈R2). Montrer que Fest un sev de M2(R).
Indication : Montrer que F= Vect(I2,J)où I2= 1 0
0 1!et J= 1 1 1 1!.
Exercice 5 — On considère l’ensemble F=n(X−1)(aX +b),(a,b)∈R2o. Montrer que Fest un sev de R[X].
Indication : Montrer que F= Vect(A,B)où A(X) = X2−Xet B(X) = X−1.
Exercice 6 —
On considère l’ensemble F des suites réelles u = ( un )
n∈N
vérifiant : ∀n∈N, un+2 − 5 un+1 +6 un = 0.
Montrer que Fest un sev de l’espace vectoriel RNdes suites réelles.
Indication : Montrer que F= Vect(p,q)où p= (pn)n∈Net q= (qn)n∈Nsont les suites géométriques définies par : ∀n∈N, pn= 2net qn= 3n.