2 Sous-espaces vectoriels engendrés

INTRODUCTION AUX ESPACES VECTORIELS
2
Sous-espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels engendrés
• Cas particuliers introductifs
1. Droite vectorielle : Soit u
~ ∈ E un vecteur non-nul.
L’ensemble F = α · u
~ , α ∈ K est un sev de E appelé droite vectorielle engendrée par u
~ et notée Vect(~
u ).
F est bien un sous espace vectoriel de E car :
Exercice 1 — Dans E = R2 , l’ensemble F = {(x, y) | 2x − y = 0} est une droite vectorielle.
2. Plan vectoriel : Soient
u
~ , v~ ∈ E.
L’ensemble F =
est un sev de E, on note F =
Si u
~ et v~ ne sont pas colinéaires (i.e. si on n’a pas u
~ = λ~
v ou v~ = λ~
u ), alors on dit que F est un plan vectoriel.
Exercice 2 — Dans E = R3 , l’ensemble F = {(x, y) | x + 3y − z = 0} est un plan vectoriel.
• Cas général
Définition
• Une famille (finie) de vecteurs de E est une n-liste (~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) de vecteurs de E.
• Le nombre n de vecteurs de cette famille est appelé
Définition
Soit (~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) une famille de vecteurs E.
Un vecteur x~ est une combinaison linéaire de (~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) s’il existe n scalaires α1 , α2 , . . . αn tels que
x~ =
Théorème – définition
Soit (~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) une famille de E.
On note Vect(~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de (~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) i.e.
x~ ∈ Vect(~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) ssi
Alors Vect(~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) est un sev de E, appelé sous-espace vectoriel engendré par (~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ).
Exercice 3 Preuve du théorème — Vérifier que Vect(~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) est un sev de E
Proposition : Propriétés du « Vect »
Soit (~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) une famille de vecteurs de E.
i) Le sev Vect(~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) contient les vecteurs
ii) Vect(~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ) est le « plus petit » sev contenant les vecteurs u
~1 , u
~2 , . . . , u
~n :
Si F est un sev contenant u
~1 , u
~2 , . . . et u
~n , alors
• Méthode : Pour montrer qu’une partie F est un sev de E, il peut être utile de montrer que F = Vect(~
u1 , u
~2 , . . . , u
~n ).
(
!
)
a+b
b
Exercice 4 — On considère l’ensemble F =
, (a, b) ∈ R2 . Montrer que F est un sev de M2 (R).
b
a+b
Indication : Montrer que F = Vect(I2 , J) où I2 =
1
0
!
0
1
et J =
1
1
!
1
.
1
n
o
Exercice 5 — On considère l’ensemble F = (X − 1)(aX + b), (a, b) ∈ R2 . Montrer que F est un sev de R[X].
Indication : Montrer que F = Vect(A, B) où A(X) = X 2 − X et B(X) = X − 1.
Exercice 6 — On considère l’ensemble F des suites réelles u = (un )n∈N vérifiant : ∀n ∈ N, un+2 −5un+1 +6un = 0.
Montrer que F est un sev de l’espace vectoriel RN des suites réelles.
Indication : Montrer que F = Vect(p, q) où p = (pn )n∈N et q = (qn )n∈N sont les suites géométriques définies par : ∀n ∈ N, pn = 2n et qn = 3n .