Michel Quercia

Espaces vectoriels
Exercice 1. Sev de K3 engendrés par deux vecteurs
On considère les vecteurs de K3 : a = (1, 2, 1), b = (1, 3, 2), c = (1, 1, 0), d = (3, 8, 5).
Soient F = vect(a, b) et G = vect(c, d). Comparer F et G.
Exercice 2. Essai de bases
Montrer que dans R3 , les trois vecteurs a = (1, 0, 1), b = (−1, −1, 2) et c = (−2, 1, −2) forment une base,
et calculer les coordonnées dans cette base d’un vecteur X = (x, y, z).
Exercice 3. Rang de vecteurs
Dans R4 , trouver le rang de la famille de vecteurs :
a = (3, 2, 1, 0),
b = (2, 3, 4, 5),
c = (0, 1, 2, 3),
d = (1, 2, 1, 2),
e = (0, −1, 2, 1).
Exercice 4. Étude de liberté
Étudier la liberté des familles suivantes :
1) E = { fcts : R → R}, F = (sin, cos).
2) E = { fcts : R+∗ → R}, F = (fa : x 7→ xa ), a ∈ R.
3) E = { fcts : R → R}, F = (fa : x 7→ |x − a|), a ∈ R.
Exercice 5. Modification des vecteurs d’une famille libre
Soit E un espace
Pn vectoriel, (x1 , . . . , xn ) une famille libre de vecteurs de E, et α1 , . . . , αn des scalaires.
On pose y = i=1 αi xi , et x0i = xi + y. Étudier à quelle condition la famille (x01 , . . . , x0n ) est libre.
Exercice 6. Fonctions affines par morceaux
Soit 0 = x0 < x1 < . . . < xn = 1 une subdivision de [0, 1] et F l’ensemble des fonctions f : [0, 1] → R
continues dont la restriction à chaque intervalle [xi , xi+1 ] est affine. Montrer que F est de dimension finie
et trouver une base de F .
Exercice 7. Somme de sous-espaces
Soient F, G, H trois sous-espaces d’un espace vectoriel E. Comparer F ∩(G+(F ∩H)) et (F ∩G)+(F ∩H).
Exercice 8. F ∩ G = F 0 ∩ G0
Soient F, G, F 0 , G0 des sev d’un ev E.
Montrer que si F ∩ G = F 0 ∩ G0 alors (F + (G ∩ F 0 )) ∩ (F + (G ∩ G0 )) = F .
Exercice 9. Projection et symétrie dans K3
Dans K3 , on donne les sous espaces : H = {X = (x, y, z) tq x + y + z = 0} et K = vect(U = (1, 1, 2)).
1) Déterminer dim H et en donner une base.
2) Démontrer que H ⊕ K = K3 .
3) Donner les expressions analytiques des projection et symétrie associées : πH et sH .
Exercice 10. sev de K3 [x]
Soit K un corps de caractéristique nulle, E = K3 [X], F = {P ∈ E tq P (0) = P (1) = P (2) = 0},
G = {P ∈ E tq P (1) = P (2) = P (3) = 0}, et H = {P ∈ E tq P (X) = P (−X)}.
1) Montrer que F ⊕ G = {P ∈ E tq P (1) = P (2) = 0}.
2) Montrer que F ⊕ G ⊕ H = E.
3) Étudier le cas où car(K) 6= 0.
Exercice 11. Caractérisation des sommes directes
Soient F1 , F2 , F3 trois sev de E. Montrer que F1 + F2 + F3 est directe si et seulement si : F1 ∩ F2 = {0}
et (F1 + F2 ) ∩ F3 = {0}. Généraliser.
Exercice 12. Somme directe dans E ⇒ somme directe dans L(E)
Soit E = F1 ⊕ . . . ⊕ Fn et Fi = {u ∈ L(E) tq Im u ⊂ Fi }. Montrer que F1 ⊕ . . . ⊕ Fn = L(E).
ev.tex – mardi 5 octobre 2010
Exercice 13. Toute somme peut être rendue directe en réduisant les sev
Soit E un K-ev de dimension finie, F1 , F2 , . . . , Fn des sev de E tels que F1 + . . . + Fn = E. Montrer qu’il
existe des sev G1 ⊂ F1 , . . . , Gn ⊂ Fn tels que G1 ⊕ G2 ⊕ . . . ⊕ Gn = E.
Exercice 14. Somme et intersection
Soit E un K-ev, E1 , . . . , En des sev tels que E1 ⊕ . . . ⊕ En = E, F un autre sev de E, et Fi = Ei ∩ F .
1) Montrer que la somme G = F1 + . . . + Fn est directe.
2) Comparer F et G.
Exercice 15. Polynômes trigonométriques
Soit E l’ev RR , F le sev engendré par les fonctions fn : x 7→ cos(nx), n ∈ N, et G le sev engendré par les
fonctions gn : x 7→ cosn x, n ∈ N. Montrer que F = G.
Exercice 16. Intersection et somme de sev
T
Soit E un ev de dimension finie et (Fi )i∈I une famille de sous-espaces de E. On note H = i∈I Fi et
P
S
S = i∈I Fi = vect i∈I Fi .
T
P
Montrer qu’il existe une partie finie, J, de I telle que : H = i∈J Fi et S = i∈J Fi .
Exercice 17. Supplémentaires
Soit E = H ⊕ K et (e1 , . . . , ek ) une base de K.
1) Montrer que pour tout a ∈ H, Ka = vect(e1 + a, . . . , ek + a) est un supplémentaire de H.
2) Montrer que si a 6= b, alors Ka 6= Kb .
Exercice 18. dim H = dim K ⇔ H et K ont un supplémentaire commun
Soient H, K deux sev d’un ev E de dimension finie. Montrer que dim H = dim K si et seulement si H et
K ont un supplémentaire commun (par récurrence sur codim H).
Exercice 19. Supplémentaire commun, X MP∗ 2005
1) Soit A = {P ∈ R[X] tq P = (1 − X)Q(X 2 ) avec Q ∈ R[X]}.
a) Montrer que A est un R-ev et que l’on a R[X] = A ⊕ {polynômes pairs}.
A-t-on R[X] = A ⊕ {polynômes impairs} ?
b) Que peut-on dire si l’on remplace Q(X 2 ) par une fonction f paire ?
2) Soient E1 , E2 deux sev d’un ev E tels que E1 et E2 sont isomorphes et E = E1 ⊕ E2 . Montrer que
E1 et E2 ont un supplémentaire commun.
Exercice 20. E n’est pas union de sous-espaces stricts
Soit K un corps infini, E un K-ev non nul et F1 , . . . , Fn des sev stricts de E. On veut montrer que
E 6= F1 ∪ . . . ∪ Fn :
1) Traiter le cas n = 2.
2) Cas général : on suppose Fn 6⊂F1 ∪ . . . ∪ Fn−1 et on choisit x ∈ Fn \ (F1 ∪ . . . ∪ Fn−1 ) et y ∈
/ Fn .
a) Montrer que : ∀ λ ∈ K, λx + y ∈
/ Fn .
b) Montrer que : ∀ i 6 n − 1, il existe au plus un λ ∈ K tel que λx + y ∈ Fi .
c) Conclure.
Exercice 21. Nombres algébriques
On considère que R est un Q-espace
√ √ vectoriel.
1) Montrer que la famille (1, 2, 3) est libre.
2) Montrer que la famille (ln p) où p décrit l’ensemble des nombres premiers positifs est libre.
Exercice 22. Éléments algébriques
Soient K, L deux corps avec K ⊂ L.
Un élément α ∈ L est dit algébrique sur K s’il existe un polynôme non nul P ∈ K[X] tel que P (α) = 0.
1) Montrer que α est algébrique sur K si et seulement si K[α] est un K-ev de dimension finie.
2) On suppose que α et β sont algébriques sur K. Montrer que α + β et αβ sont algébriques sur K
(étudier K[α, β]).
ev.tex – page 2
Exercice 23. Corps emboîtés
Soient H ⊂ K ⊂ L trois sous-corps de C.
1) Montrer que K et L sont des H-ev et L est un K-ev.
2) Montrer que L est de dimension finie sur H si et seulement si K est de dimension finie sur H et L est
de dimension finie sur K.
3) Application : Montrer que Q, la clôture algébrique de Q dans C, est un corps algébriquement clos (si
P ∈ Q[X], considérer le sous-corps de C engendré par les coefficients de P ).
Exercice 24. Surcorps de R
Soit A une R-algèbre commutative, intègre et de dimension finie.
1) Montrer que A est un corps.
2) Si dim A > 1 montrer que tout élément de A est algébrique de degré 1 ou 2 sur R. En déduire qu’alors
A est isomorphe à C.
ev.tex – page 3
solutions
Exercice 1.
F = G.
Exercice 2.
x0 = 2y + z, 3y 0 = −x + z, 3z 0 = −x + 3y + z.
Exercice 3.
r = 3, 2a − 3b + 5c = b − 2d − e = 0.
Exercice
5.
Pn
α
i=1 i 6= −1.
Exercice 7.
Il y a égalité.
Exercice 8.
L’intersection contient F .
Soit u ∈ (F + (G ∩ F 0 )) ∩ (F + (G ∩ G0 ) : u = a + b = a0 + b0 avec a, a0 ∈ F , b ∈ G ∩ F 0 et b0 ∈ G ∩ G0 .
Alors b − b0 = a0 − a ∈ F ∩ G = F 0 ∩ G0 , donc b ∈ G0 , donc b ∈ F 0 ∩ G0 ⊂ F .
Exercice 9.
 4x0
3) πH :
4y 0
 0
4z
= 3x −
= −x +
= −2x −
y
3y
2y
−
−
+
z
z
2z,
sH
 0
 2x
:
2y 0
 0
2z
=
x
−
= −x +
= −2x −
y
y
2y.
− z
− z
Exercice 10.
3) Soit p = car(K).
Si p = 2 alors F = G et H = E.
Si p = 3 alors F = G et F ⊕ H = {P ∈ E tq p1 = p3 }.
Si p > 5 alors F = vect(X 3 − 3X 2 + 2X), G = vect(X 3 − 6X 2 + 11X − 6), H = vect(1, X 2 ) et les
deux questions sont justes.
Exercice 18.
codim H = 0 : supplémentaire = {0}.
codim H = p : Soit u ∈ E \ (H ∪ K) : H ⊕ Ku et K ⊕ Ku ont un supplémentaire commun, L, donc H et
K ont un supplémentaire commun : L ⊕ Ku.
Exercice 19.
1) a) Soit P ∈ R[X] que l’on décompose en P = P1 (X 2 ) + XP2 (X 2 ) .
Alors P = (P1 + P2 )(X 2 ) − (1 − X)P2 (X 2 ) = (1 − X)P1 (X 2 ) + X(P1 + P2 )(X 2 ), ce qui prouve
que les deux sommes sont égales à R[X]. Le caractère direct est immédiat.
b) Cela ne change pas A : les éléments de A sont ceux dont les parties paire et impaire sont opposées
(au facteur X près), indépendament du fait (vrai) que ces parties sont des polynômes.
2) Soit f un isomorphisme de E1 sur E2 et F = {x − f (x) tq x ∈ E1 }. Alors E = E1 ⊕ F = E2 ⊕ F .
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