Michel Quercia

Espaces vectoriels
Exercice 1. Sev de K3engendrés par deux vecteurs
On considère les vecteurs de K3:a= (1,2,1), b= (1,3,2), c= (1,1,0), d= (3,8,5).
Soient F= vect(a, b) et G= vect(c, d). Comparer Fet G.
Exercice 2. Essai de bases
Montrer que dans R3, les trois vecteurs a= (1,0,1), b= (−1,−1,2) et c= (−2,1,−2) forment une base,
et calculer les coordonnées dans cette base d’un vecteur X= (x, y, z).
Exercice 3. Rang de vecteurs
Dans R4, trouver le rang de la famille de vecteurs :
a= (3,2,1,0), b = (2,3,4,5), c = (0,1,2,3), d = (1,2,1,2), e = (0,−1,2,1).
Exercice 4. Étude de liberté
Étudier la liberté des familles suivantes :
1) E={fcts : R→R},F= (sin,cos).
2) E={fcts : R+∗→R},F= (fa:x7→ xa), a∈R.
3) E={fcts : R→R},F= (fa:x7→ |x−a|), a∈R.
Exercice 5. Modification des vecteurs d’une famille libre
Soit Eun espace vectoriel, (x1, . . . , xn) une famille libre de vecteurs de E, et α1, . . . , αndes scalaires.
On pose y=Pn
i=1 αixi, et x0
i=xi+y. Étudier à quelle condition la famille (x0
1, . . . , x0 n) est libre.
Exercice 6. Fonctions affines par morceaux
Soit 0 = x0< x1< . . . < xn= 1 une subdivision de [0,1] et Fl’ensemble des fonctions f: [0,1] →R
continues dont la restriction à chaque intervalle [xi, xi+1] est affine. Montrer que Fest de dimension finie
et trouver une base de F.
Exercice 7. Somme de sous-espaces
Soient F, G, H trois sous-espaces d’un espace vectoriel E. Comparer F∩(G+(F∩H)) et (F∩G)+(F∩H).
Exercice 8. F∩G=F0∩G0
Soient F, G, F 0, G0des sev d’un ev E.
Montrer que si F∩G=F0∩G0alors (F+ (G∩F0)) ∩(F+ (G∩G0)) = F.
Exercice 9. Projection et symétrie dans K3
Dans K3, on donne les sous espaces : H={X= (x, y, z) tq x+y+z= 0}et K= vect(U= (1,1,2)).
1) Déterminer dim Het en donner une base.
2) Démontrer que H⊕K=K3.
3) Donner les expressions analytiques des projection et symétrie associées : πHet sH.
Exercice 10. sev de K3[x]
Soit Kun corps de caractéristique nulle, E=K3[X], F={P∈Etq P(0) = P(1) = P(2) = 0},
G={P∈Etq P(1) = P(2) = P(3) = 0}, et H={P∈Etq P(X) = P(−X)}.
1) Montrer que F⊕G={P∈Etq P(1) = P(2) = 0}.
2) Montrer que F⊕G⊕H=E.
3) Étudier le cas où car(K)6= 0.
Exercice 11. Caractérisation des sommes directes
Soient F1,F2,F3trois sev de E. Montrer que F1+F2+F3est directe si et seulement si : F1∩F2={0}
et (F1+F2)∩F3={0}. Généraliser.
Exercice 12. Somme directe dans E⇒somme directe dans L(E)
Soit E=F1⊕. . . ⊕Fnet Fi={u∈ L(E) tq Im u⊂Fi}. Montrer que F1⊕. . . ⊕ Fn=L(E).
ev.tex – mardi 5 octobre 2010

Exercice 13. Toute somme peut être rendue directe en réduisant les sev
Soit Eun K-ev de dimension finie, F1, F2, . . . , Fndes sev de Etels que F1+. . . +Fn=E. Montrer qu’il
existe des sev G1⊂F1,. . . ,Gn⊂Fntels que G1⊕G2⊕. . . ⊕Gn=E.
Exercice 14. Somme et intersection
Soit Eun K-ev, E1, . . . , Endes sev tels que E1⊕. . . ⊕En=E,Fun autre sev de E, et Fi=Ei∩F.
1) Montrer que la somme G=F1+. . . +Fnest directe.
2) Comparer Fet G.
Exercice 15. Polynômes trigonométriques
Soit El’ev RR,Fle sev engendré par les fonctions fn:x7→ cos(nx), n∈N, et Gle sev engendré par les
fonctions gn:x7→ cosnx,n∈N. Montrer que F=G.
Exercice 16. Intersection et somme de sev
Soit Eun ev de dimension finie et (Fi)i∈Iune famille de sous-espaces de E. On note H=Ti∈IFiet
S=Pi∈IFi= vectSi∈IFi.
Montrer qu’il existe une partie finie, J, de Itelle que : H=Ti∈JFiet S=Pi∈JFi.
Exercice 17. Supplémentaires
Soit E=H⊕Ket (e1, . . . , ek) une base de K.
1) Montrer que pour tout a∈H,Ka= vect(e1+a, . . . , ek+a) est un supplémentaire de H.
2) Montrer que si a6=b, alors Ka6=Kb.
Exercice 18. dim H= dim K⇔Het Kont un supplémentaire commun
Soient H, K deux sev d’un ev Ede dimension finie. Montrer que dim H= dim Ksi et seulement si Het
Kont un supplémentaire commun (par récurrence sur codim H).
Exercice 19. Supplémentaire commun, X MP∗2005
1) Soit A={P∈R[X] tq P= (1 −X)Q(X2) avec Q∈R[X]}.
a) Montrer que Aest un R-ev et que l’on a R[X] = A⊕ {polynômes pairs}.
A-t-on R[X] = A⊕ {polynômes impairs}?
b) Que peut-on dire si l’on remplace Q(X2) par une fonction fpaire ?
2) Soient E1, E2deux sev d’un ev Etels que E1et E2sont isomorphes et E=E1⊕E2. Montrer que
E1et E2ont un supplémentaire commun.
Exercice 20. En’est pas union de sous-espaces stricts
Soit Kun corps infini, Eun K-ev non nul et F1, . . . , Fndes sev stricts de E. On veut montrer que
E6=F1∪. . . ∪Fn:
1) Traiter le cas n= 2.
2) Cas général : on suppose Fn6⊂F1∪. . . ∪Fn−1et on choisit x∈Fn\(F1∪. . . ∪Fn−1) et y /∈Fn.
a) Montrer que : ∀λ∈K,λx +y /∈Fn.
b) Montrer que : ∀i6n−1, il existe au plus un λ∈Ktel que λx +y∈Fi.
c) Conclure.
Exercice 21. Nombres algébriques
On considère que Rest un Q-espace vectoriel.
1) Montrer que la famille (1,√2,√3) est libre.
2) Montrer que la famille (ln p) où pdécrit l’ensemble des nombres premiers positifs est libre.
Exercice 22. Éléments algébriques
Soient K,Ldeux corps avec K⊂L.
Un élément α∈Lest dit algébrique sur Ks’il existe un polynôme non nul P∈K[X] tel que P(α) = 0.
1) Montrer que αest algébrique sur Ksi et seulement si K[α] est un K-ev de dimension finie.
2) On suppose que αet βsont algébriques sur K. Montrer que α+βet αβ sont algébriques sur K
(étudier K[α, β]).
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Exercice 23. Corps emboîtés
Soient H⊂K⊂Ltrois sous-corps de C.
1) Montrer que Ket Lsont des H-ev et Lest un K-ev.
2) Montrer que Lest de dimension finie sur Hsi et seulement si Kest de dimension finie sur Het Lest
de dimension finie sur K.
3) Application : Montrer que Q, la clôture algébrique de Qdans C, est un corps algébriquement clos (si
P∈Q[X], considérer le sous-corps de Cengendré par les coefficients de P).
Exercice 24. Surcorps de R
Soit Aune R-algèbre commutative, intègre et de dimension finie.
1) Montrer que Aest un corps.
2) Si dim A>1 montrer que tout élément de Aest algébrique de degré 1 ou 2 sur R. En déduire qu’alors
Aest isomorphe à C.
ev.tex – page 3

solutions
Exercice 1.
F=G.
Exercice 2.
x0= 2y+z, 3y0=−x+z, 3z0=−x+ 3y+z.
Exercice 3.
r= 3, 2a−3b+ 5c=b−2d−e= 0.
Exercice 5.
Pn
i=1 αi6=−1.
Exercice 7.
Il y a égalité.
Exercice 8.
L’intersection contient F.
Soit u∈(F+ (G∩F0)) ∩(F+ (G∩G0) : u=a+b=a0+b0avec a, a0∈F,b∈G∩F0et b0∈G∩G0.
Alors b−b0=a0−a∈F∩G=F0∩G0, donc b∈G0, donc b∈F0∩G0⊂F.
Exercice 9.
3) πH:
4x0= 3x−y−z
4y0=−x+ 3y−z
4z0=−2x−2y+ 2z,
sH:
2x0=x−y−z
2y0=−x+y−z
2z0=−2x−2y.
Exercice 10.
3) Soit p= car(K).
Si p= 2 alors F=Get H=E.
Si p= 3 alors F=Get F⊕H={P∈Etq p1=p3}.
Si p>5 alors F= vect(X3−3X2+ 2X), G= vect(X3−6X2+ 11X−6), H= vect(1, X2) et les
deux questions sont justes.
Exercice 18.
codim H= 0 : supplémentaire = {0}.
codim H=p: Soit u∈E\(H∪K) : H⊕Kuet K⊕Kuont un supplémentaire commun, L, donc Het
Kont un supplémentaire commun : L⊕Ku.
Exercice 19.
1) a) Soit P∈R[X] que l’on décompose en P=P1(X2) + XP2(X2) .
Alors P= (P1+P2)(X2)−(1 −X)P2(X2) = (1 −X)P1(X2) + X(P1+P2)(X2), ce qui prouve
que les deux sommes sont égales à R[X]. Le caractère direct est immédiat.
b) Cela ne change pas A: les éléments de Asont ceux dont les parties paire et impaire sont opposées
(au facteur Xprès), indépendament du fait (vrai) que ces parties sont des polynômes.
2) Soit fun isomorphisme de E1sur E2et F={x−f(x) tq x∈E1}. Alors E=E1⊕F=E2⊕F.
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