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Mathématiques 21 mai 2017
Colles 28 - 22/05/2017 au 26/05/2017
XV Espaces vectoriels
1. Généralités
(a) Définition d’un espace vectoriel Esur un corps K.
(b) Exemples canoniques : espace vectoriel Kn, espaces vectoriels de suites ou de fonc-
tions, espaces vectoriels de polynômes...
(c) Combinaisons linéaires dans un ev
(d) Sous espaces vectoriels
(e) L’intersection de 2 sev est un ev démonstrations
(f) Définition de la somme de deux sev
(g) La somme de 2 sev est un sev démonstrations
(h) Sous espaces vectoriels supplémentaires, somme directe
(i) Famille libre, génératrice, base.
2. En dimension finie
(a) Théorème de la base incomplète et de la base extraite
(b) Dimension d’un ev, d’un sev, rang d’une famille de vecteur, rang d’une matrice
(c) Définition et propriétés des sev supplémentaires
(d) Existence d’un sev supplémentaire
XVI Applications Linéaires
1. Définition et vocabulaire (endo, auto, isomorphismes d’espaces vectoriels, forme linéaire)
2. Définition du noyau et de l’image d’une application linéaire
3. Soit f∈ L(E, F )
(a) Démonstration : ker fest un sous-espace vectoriel de Eet Imfun sev de F.
(b) Démonstration : finjective si et seulement si ker f={⃗ 0E}
(c) Démonstration : fsurjective si et seulement si Imf=F
4. Définition d’un projecteur et d’une symétrie vectorielle et caractérisation de ces endo-
morphismes
5. En dimension finie
(a) L’image d’une base est une famille génératrice de Imf
(b) fest injective si et seulement si l’image d’une base est une famille libre (démonstration)
(c) fest surjective si et seulement si l’image d’une base est une famille génératrice
(démonstration)
(d) Théorème du rang
(e) Hyperplans
Lycée Jean Perrin 2016/2017 Programme de colles 22/05/2017 au 26/05/2017