Chap 7 : Le cas multivarié

6-837 – CHAP 7 : LE CAS MULTIVARIÉ
1
Chapitre 7 : Le cas multivarié
1. Processus stochastiques multivariés
Soit
kt
t
t
t
y
y
y
y...
2
1
un vecteur de k variables d’intérêt . On peut citer plusieurs exemples intéressants : i.
consommation revenu; ii. taux d’intérêt à court terme et à long terme; iii. monnaie,
revenu et taux d’intérêt, etc. On sait que la matrice de variance covariance de yt (de
dimension k x k) est donnée par
Cov (yt yt-j ) = (j) j=0,1,2, ...
Dans le cas k=2,
 )()(
)()(
)(
2221
1211 jj
jj
j
j=0,1,2
2. Le modèles VAR : formulation et stationnarité.
Formulation
Le modèle AR(1) univarié postule une relation entre yt et yt-1. Son pendant multivarié
VAR(1) procède de la même façon. Chaque variable sera reliée à chacune des autres
variables retardées. Si k=2,
y1,t = 1 + 11 y1,t-1 + 12 y2,t-1 + v1t
y2,t = 2 + 21 y1,t-1 + 22 y2,t-1 + v2t
où E(v1t2) = 11 , E(v2t2) = 22 et E(v1t v2t) = 12 .
En notation matricielle,
t
t
t
t
t
tv
v
y
y
y
y
2
1
12
11
2221
1211
2
1
2
1
yt =  + yt-1 + vt

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où E(vt vt’) =  =
2221
11
.
Dans le cas d’un VAR(2), on a
y1,t = 1 + 11,1 y1,t-1 + 11,2 y1,t-2 + 12,1 y2,t-1 + 12,2 y2,t-2 + v1t
y2,t = 2 + 21,1 y1,t-1 + 21,2 y1,t-2 + 22,1 y2,t-1 + 22,2 y2,t-2 + v2t
En notation matricielle,
t
t
t
t
t
t
t
tv
v
y
y
y
y
y
y
2
1
22
21
2,222,21
2,122,11
12
11
1,221,21
1,121,11
2
1
yt =  + 1yt-1 + 2yt-2 + vt
où E(vt vt’) =  =
2221
11
.
Dans la cas général, on écrit
yt =  + 1yt-1 + 2yt-2 + ... + pyt-p + vt
où j sont des matrices de dimension k x k.
Tout comme dans le cas univarié, on peut toujours écrire un modèle VAR(p) sous la
forme d’un super modèle VAR(1)
yt =  + yt-1 + vt .
Propriétés
Supposons le modèle VAR(1) sans constante suivant (s’il n’y a pas de constante, la
moyenne est zéro) :
yt = yt-1 + vt
0 = E yt yt’ = E[(yt-1 + vt)( yt-1 + vt)’]
= E[yt-1yt-1’’ + ... + vt vt’]
0 = E(yt-1yt-1’)’ + ... + E(vt vt’)
0 = 0’+ 

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1 = E yt yt-1’ = E[(yt-1 + vt)( yt-1)’]
=  E(yt-1yt-1’)
= 0
j = j-1 = j0
Stationnarité
On peut décomposer la matrice  en
 = CC-1
où  correspond à la matrice des racines caractéristiques.
j = j0 = CjC-10.
Le modèle VAR(1) avec k=2 sera stationnaire si les racines caractéristiques sont à
l’intérieur du cercle unité (voir VAR1.PRG). Le même raisonnement s’applique au
VAR(p) de dimension k mais on calcule rarement ces conditions dans la pratique ... on
s’y prend d’une autre façon! En calculant la représentation moyenne mobile par exemple
... car elle doit absolument converger vers 0 dans le cas stationnaire. On conviendra qu’il
s’agit d’une approche beaucoup plu simple.
3. Estimation et choix de p
Estimation
On peut estimer chacune des k équations du modèle VAR(p) à l’aide des MC. On peut
montrer que les mêmes propriétés que si on avait utilisé des méthodes plus sophistiquées
qui tiennent compte de la covariance entre les termes d’erreurs (SUR).
Choix de p
Le choix du retard maximal p se fait un peu comme dans le cas univarié avec, bien sûr,
quelques ajustements. L’approche la plus utilisée est sans aucun doute le test de rapport
de vraisemblance qui demande très peu d’adaptations. Ainsi, supposons le test suivant :
H0 : VAR(2)
H1 : VAR(4).
Il faut tout d’abord estimer chacune des équations sous H1, i.e. un VAR(4) à l’aide des
MC, sauvegarder les résidus et calculer la matrice de variance covariance
NC
qui
correspond en quelque sorte à la variance
NC
dans le cas du AR univarié. Il faut ensuite
estimer chacune des équations sous H0, i.e. un VAR(2) à l’aide des MC, sauvegarder les

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résidus et calculer la matrice de variance covariance
C
. Le test de rapport de
vraisemblance dans le cas multivarié est donné par
RV = T [log |
NC
| - log |
C
| ] qui suit une X2(q)
où | .| correspond à l’opérateur déterminant et q représente le nombre de restrictions.
Dans le cas qui nous intéresse avec k=4, q= 4*4*2=32, i.e. j’impose 8 coefficients égaux
à 0 pour chacune des 4 équations d’où 32 restrictions. Le rôle de l’opérateur déterminant
est de transformer les matrices
NC
et
C
en scalaires selon une approche assez
intuitive. Ainsi,
|
C
| =
2
221
12
2
1
=
2
12
2
2
2
1
car
2112
.
On constate que le déterminant sera d’autant plus petit (donc le modèle performant) si les
deux variances estimées, qui entrent de façon multiplicative dans le calcul du
déterminant, sont petites. Il faut bien sûr tenir compte de la covariance qui viendra
réduire encore plus le résultat si elle est positive.
Il existe aussi une version multivariée du critère d’Akaike qui est donnée par
AIC = T log | | + 2 (k2*p)
où k2*p est le nombre de paramètres estimés dans un VAR(p) de dimension k.
4. Représentation moyenne mobile
Soit le modèle VAR(1)
yt = yt-1 + vt
où yt et vt sont des vecteurs (2x1) et  est une matrice de paramètres (2x2). On cherche
la représentation moyenne mobile
yt = vt + 1vt-1 + 2vt-2 + 3vt-3 + ...
où les matrices j (j=1,2,...) sont de dimension (2x2). Plus spécifiquement
1,221,21
1,121,11
1

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Ainsi, 12,1 correspond l’impact d’un choc v2t sur la variable y1 après 1 période. De
façon plus générale, ik,j correspond l’impact d’un choc vkt sur la variable yi après j
périodes. Pour trouver la représentation moyenne mobile d’un modèle VAR, pas
question de procéder à des dérivations analytiques compliquées : l’approche numérique
s’avère beaucoup plus simple ... surtout avec la commande IMPULSE de RATS. Ainsi
y1,t = 0,5 y1,t-1 + 0,2 y2,t-1 + v1t
y2,t = -0,2 y1,t-1 + 0,5 y2,t-1 + v2t
Supposons le scénario v1t=1 pour t=1 et v1t=0 pour tous les autres t et v2t=0 pour tous les
t.
Pour t=1
1 = 0,5 (0) + 0,2 (0) + 1
0 = -0,2 (0) + 0,5 (0) + 0
Pour t=2
0,5 = 0,5 (1) + 0,2 (0) + 0 11,1
-0,2 = -0,2 (1) + 0,5 (0) + 0 21,1
Pour t=3
0,21 = 0,5 (0,5) + 0,2 (-0,2) + 0 11,2
-0,2 = -0,2 (0,5) + 0,5 (-0,2) + 0 21,2
Supposons le scénario v2t=1 pour t=1 et v2t=0 pour tous les autres t et v1t=0 pour tous les
t.
Pour t=1
0 = 0,5 (0) + 0,2 (0) + 0
1 = -0,2 (0) + 0,5 (0) + 1
Pour t=2
0,2 = 0,5 (0) + 0,2 (1) + 0 12,1
0,5 = -0,2 (0) + 0,5 (1) + 0 22,1
Pour t=3
0,20 = 0,5 (0,2) + 0,2 (0,5) + 0 12,2
0,21 = -0,2 (0,2) + 0,5 (0,5) + 0 22,2