leçon 12 – racine carre e

I - Définition : racine carrée d’un nombre positif
 désigne un nombre positif. Il existe un unique autre nombre positif dont le carré est. Ce nombre
est appelé racine carrée de .
On le note 
Constuire une longueur égale à la racine carrée d’un nombre positif à l’aide de la géométrie :
Donc le nombre positif appelé « racine carrée de  » existe bien puisqu’on peut le construire.
Application : tracer géométriquement un segment de longueur égale à la racine carrée de la
longueur d’un bout de spaghetti.
II – Propriétés
Propriétés découlant directement de la définition
Propriété 1 
preuve : Il s’agit de l’écriture de la définition en notation mathématique.
Propriété 2
si a>0, alors 
preuve : supposons que . Donc  est positif.
 (en utilisant la propriété 1)
Propriété de l’ordre
Les nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées.
preuve : en utilisant l’identité remarquable :
Le facteur  est positif, et par conséquent  est du même signe
que .

Propriété algébrique du produit
activité permettant de conjecturer la propriété :
On pose en unité de longueur : AH=2, HC=8, DH=4.
Exprimer l’aire du rectangle ABCD :
1) comme le double de l’aire du triangle ADC
2) Comme AD x DC
3) conjecturer 
Démonstration de la propriété
On est revenu à la définition de la racine carrée et on lui donne du sens :  est l’unique
nombre  positif tel que .
Donc 
Il faut encore vérifier que  est positif ce qui est bien le cas puisque  est positif et 
l’est aussi.
Propriété algébrique du quotient
activité permettant de conjecturer la propriété
On pose en unité de longueur : , , .
On a .

1) Calculer 
 à l’aide du théorème de Thalès.
2) Calculer 
 à l’aide du théorème de Pythagore, appliqué aux rectangles  et 
qui sont respectivement des triangles rectangles en  et .
3) on déduire que 
4) En observant que 
 conjecturer.
Démonstration de la propriété
et donc,
III - Solutions de l’équation ²=A
Si A est positif, l’équation  admet 2 solutions distinctes :  et .
preuve :
soit l’équation : 
donc 
donc  qui est une équation produit nul.