Mathématique Élémentaire Introduction à l`algèbre linéaire Support

Math´ ematique ´ El´ ementaire
Introduction `
a l’alg` ebre lin´ eaire
Support au cours
S. Bridoux
Universit´ e de Mons-Hainaut
Plan (1/2)
1L’espace RN
Vecteurs de RNet op´ erations
Produit scalaire de deux vecteurs de RN
Norme d’un vecteur
2Droites et plans
Droites de R2
Droites de R3
Plans de R3
Quelques syst` emes
3Calcul matriciel
Matrices de type n×p
Matrices particuli` eres
Op´ erations sur les matrices
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 2 / 44
Plan (2/2)
4Syst`
emes de n´ equations lin´ eaires ` apinconnues
Notations
Matrices ´ echelonn´ ees
Transformations ´ el´ ementaires
M´ ethode de Gauss
Inverse d’une matrice
5D´
eterminants
M´ ethode des cofacteurs
Propri ´ et´ es des d´ eterminants
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 3 / 44
1L’espace RN
Vecteurs de RNet op´ erations
Produit scalaire de deux vecteurs de RN
Norme d’un vecteur
2Droites et plans
3Calcul matriciel
4Syst`
emes de n´ equations lin´ eaires ` apinconnues
5D´
eterminants
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 4 / 44

Vecteurs de RNet op ´ erations
Notre cadre de travail : RNo` uN>1
RN=(x1,x2,...,xN) : x1,x2,...,xN∈R
D´ efinition
On dit que xest un vecteur de RNet on note x∈RNssi
x= (x1,x2,...,xN)pour certains x1,x2,...,xN∈R.
D´ efinition
Soient x,y∈RN,k∈R. Posons x= (x1,x2,...,xN)et
y= (y1,y2,...,yN). Alors,
x+y:= (x1+y1,x2+y2,...,xN+yN)
kx := (kx1,kx2,...,kxN)
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 5 / 44
Op´ erations sur les vecteurs de RN
Propri ´ et´ es des op´ erations
∀x,y,z∈RN,∀α,β∈R,ona:
1x+y=y+x
2(x+y) + z=x+ (y+z)
3x+0=x=0+x
4x+ (−x) = 0
5α(βx)=(αβ )x
6α(x+y) = αx+αy
7(α+β)x=αx+βx
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 6 / 44
Produit scalaire
D´ efinition
Soient x= (x1,x2,...,xN)et y= (y1,y2,...,yN)deux vecteurs de RN.
Le produit scalaire de xet y, not´ e(x|y), est d´ efini par
(x|y) = x1y1+x2y2+···+xNyN.
Propri ´ et´ es
Soient x,y,z∈RNet λ∈R.Ona:
1(x|y)∈R
2(x|y)=(y|x)
3(x|y+z)=(x|y) + (x|z)
4(x+y|z)=(x|z) + (y|z)
5(λx|y) = λ(x|y)
6(x|x)>0
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 7 / 44
Produit scalaire — orthogonalit´ e
D´ efinition
Soient x,y∈RN. On dit que xet ysont orthogonaux si (x|y) = 0.
Dans R2et R3, cette notion co¨ ıncide avec la notion de
perpendicularit ´ e.
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 8 / 44

Norme d’un vecteur
D´ efinition
Soit x= (x1,x2,...,xN)un vecteur de RN. La norme de x, not´ ee kxk,
est d´
efinie par kxk=qx2
1+x2 1+···+x2
N.
Propri ´ et´ es
Soient x∈RN,λ∈R.Ona:
1kxk ∈ R+
2(x|x) = kxk2
3kxk=0 ssi x=0
4kλxk=|λ|kxk
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 9 / 44
1L’espace RN
2Droites et plans
Droites de R2
Droites de R3
Plans de R3
Quelques syst` emes
3Calcul matriciel
4Syst`
emes de n´ equations lin´ eaires ` apinconnues
5D´
eterminants
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 10 / 44
Droites de R2
´
Equation param´ etrique d’une droite Dde R2passant par le point
(x0,y0)et dont un vecteur directeur est (x1,y1):
D≡(x,y)=(x0,y0) + λ(x1,y1),pour λ∈R
´
Equation cart ´ esienne d’une droite Dde R2:
D≡ax +by =c,
o` u(a,b)6= (0,0).
Le vecteur (a,b)est un vecteur normal de la droite D.
Si b6=0, la pente de Dvaut −a/b.
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 11 / 44
Droites de R3
´
Equation param´ etrique d’une droite Dde R3passant par (x0,y0,z0)
et dont un vecteur directeur est (x1,y1,z1):
D≡(x,y,z)=(x0,y0,z0) + λ(x1,y1,z1),pour λ∈R
Syst` eme d’´ equations cart ´ esiennes d’une droite Dde R3:
D≡x−x0
x1
=y−y0
y1
=z−z0
z1
o` ux16=0,y16=0 et z16=0. (Cas particuliers x1=0, y1=0 ou z1=0
trait´ es en exercices.)
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 12 / 44

Plans de R3
´
Equation param´ etrique d’un plan αde R3passant par (x0,y0,z0)et
dont deux vecteurs directeurs sont (x1,y1,z1)et (x2,y2,z2):
α≡(x,y,z)=(x0,y0,z0) + λ(x1,y1,z1) + µ(x2,y2,z2),pour λ,µ∈R.
´
Equation cart ´ esienne d’un plan αde R3:
ax +by +cz =d
o` u(a,b,c)6= (0,0,0).
Le vecteur (a,b,c)est un vecteur normal du plan α.
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 13 / 44
Quelques syst` emes
Syst` emes de 2 ´ equations lin´ eaires ` a 2 inconnues
Forme g ´ en´ erale :
(ax +by =c
a0x+b0y=c0
Le nombre ab0−a0best le d´ eterminant du syst` eme.
Syst` emes de 2 ´ equations lin´ eaires ` a 3 inconnues
Forme g ´ en´ erale :
(ax +by +cz =d
a0x+b0y+c0z=d0
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 14 / 44
1L’espace RN
2Droites et plans
3Calcul matriciel
Matrices de type n×p
Matrices particuli` eres
Op´ erations sur les matrices
4Syst`
emes de n´ equations lin´ eaires ` apinconnues
5D´
eterminants
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 15 / 44
Matrices de type n×p
D´ efinition
Une matrice Ade type n×pest un tableau de la forme
a11 a12 ... a1p
a21 a22 ... a2p
.
.
..
.
.... .
.
.
an1an2... anp
Notation : A= (aij )16i6n,16j6p
aij est l’´ el´ ement situ´ e` a l’intersection de la ieligne et de la jecolonne.
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 16 / 44

Matrices particuli ` eres
Matrices de type n×nou matrices carr ´ ees :
A=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
.
.
..
.
..
.
.
an1an2... ann
Matrices triangulaires sup´ erieures et inf´ erieures :
a11 a12 ... a1n
0a22 ... a2n
.
.
.....
.
.
0 0 ... ann
a11 0... 0
a21 a22 ... 0
.
.
.....
.
.
an1an2... ann
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 17 / 44
Matrices particuli ` eres
Matrices diagonales :
a11 0... 0
0a22 ... 0
.
.
.....
.
.
0 0 ... ann
Matrices de type 1 ×nou matrices lignes :a1a2... an
Matrices de type n×1 ou matrices colonnes :
a1
a2
.
.
.
an
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 18 / 44
Op´ erations sur les matrices
Soient A= (aij )16i6n,16j6pet B= (bij )16i6r,16j6s.
Les matrices Aet Bsont ´
egales ssi elles sont de mˆ eme type et si
leurs leurs ´ el´ ements correspondants sont ´ egaux.
´
Egalit´ e de deux matrices
A=Bssi (n=ret p=s)et ∀i=1,...,n,∀j=1,...,p,aij =bij
La somme des matrices Aet Bs’obtient en additionnant les ´ el´ ements
correspondants de Aet B.
Addition de deux matrices
La matrice C=A+Best d ´
efinie par
∀i=1,...,n,∀j=1,...,p,cij =aij +bij
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 19 / 44
Op´ erations sur les matrices
Soient A= (aij )une matrice de type n×pet λ∈R(ou C).
La multiplication de Apar un scalaire λs’obtient en multipliant tous
les ´ el´ ements de la matrice Apar λ.
Multiplication par un scalaire
La matrice B=λAest d ´
efinie par ∀i=1,...,n,∀j=1,...,p,bij =λaij
S. Bridoux (UMH) Math´ ematique ´ El´ ementaire 20 / 44