MECANIQUE : TD n°1 A – APPLICATIONS DU COURS 1°) Démontrer l’expression de la vitesse en coordonnées cylindriques. En déduire l’élément de longueur correspondant. Rép : En coordonnées cylindriques dOM=drer+rdθeq+dzez. 2°) Démontrer l’accélération en coordonnées cylindriques. En déduire son expression dans le cas d’un mouvement circulaire dans un plan orthogonal à Oz. Rép : r r r r r r a = er [&r& − rθ& ²] + eθ [2r&θ& + rθ&&] qui devient si r=R=cste a= a = − Rθ& ² er + rθ&&eθ 3°) a) Une particule ponctuelle de charge q, placée à l’origine O d’un repère cartésien, crée en M un champ électrique dont l’expression en coordonnées sphériques est : E(M)=q/4πε0r².er. Exprimer E(M) en coordonnées cartésiennes. b) Le champ magnétique créé en M par un fil rectiligne infini, confondu avec l’axe (Oz) et parcouru par un courant I a pour expression en coordonnées cylindriques : B(M)=µ0I/2πr.eθ. Rép : a) E(M)=q/4πε0.(xex+yey+zez)/(x²+y²+z²)3/2 b) B(M)=µ0I/2π(x²+y²).(-yex+xey). 4°) Un mobile M parcourt avec une vitesse constante v la spirale d’équation polaire : r=aθ. Exprimer en fonction de θ et de v (la norme du vecteur vitesse) le vecteur vitesse de M. Rép : v(M)=v/√(1+θ²).(er+θeθ). 5°) Un pendule simple est constitué d’un point matériel de masse m, suspendu à un fil inextensible de longueur l. On note g l’accélération de la pesanteur. Sachant que T=cst*mαlβgγ, déterminer à l’aide d’un analyse dimensionnelle les trois coefficients α, β, et γ. Rép : α=0, β=1/2, γ=-1/2. B – TRAVAUX DIRIGES I - OPTIMISATION D’UN TRAJET Soit une plage rectiligne P. Un point A1 sur le sable est à la distance A1H1=a1 de P. Un point A2 sur la mer est à la distance A2H2=a2 de P. On pose H1H2=d Un jeune homme I se repose en A1 sur le sable. I peut courir sur le sable à la vitesse v1 et nager à la vitesse v2<v1. I désire rejoindre le plus rapidement possible une jeune fille qui se noie en A2. Il n’y a pas d’interaction électrostatique entre les deux corps. 1°)Quel trajet A1A2 doit-il emprunter pour sauver la jeune fille ? : On déterminera d’abord l’équation que doit vérifier x=H1O, puis on simplifiera l’expression obtenue en introduisant les angles α1 & α2. 2°) A quelle loi physique l’expression obtenue vous fait-elle songer? Interpréter. Rép : 1°) v2sinα1=v1sinα2 2°) En posant v=c/n on retrouve la troisième loi de Descartes. II – MOUVEMENT D’UN POINT MATERIEL SUR UNE PARABOLE Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire r.cos²(θ/2)=a où a est une constante positive, θ variant de -π à +π. 1°) Montrer que la trajectoire de M est une parabole. 2°) On suppose que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r : v=kr, où k est une constante positive. a) Calculer, en fonction de θ, les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M. b) Déterminer la loi du mouvement θ(t) en supposant que θ est nul à l’instant t=0 et que θ croît. On donne : π θ + 2 dθ ∫0 cosθ = ln tan 2 θ Rep : 1°) y²=4a(a-x) 2a) vr=[adθ/dt.sin(θ/2)]/cos3(θ/2) et vθ=dθ/dt.a/[cos3(θ/2)] L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2 2b) Ln|tan(θ/4+π/4)|=kt/2 III – TRAJECTOIRE CYCLOÏDALE Une roue de rayon R et de centre C roule sans glisser sur l’axe (Ox) en restant dans le plan (Ozx). Soit M un point lié à la roue, situé sur la circonférence. A l’instant t=0, M est confondu avec l’origine O. La vitesse de C est constante et égale à v. 1°) Comment exprimer la condition: « la roue ne glisse pas »? 2°) Déterminer à l’instant t: a) la position de M b) le vecteur vitesse vM de M c) le vecteur accélération aM de M 3°) Déterminer vM & aM lorsque M est en contact avec l’axe (Ox). Rép : 1°) xI=vt=Rωt 2°)a) X=R[ωt-sin(ωt)] et Y=R[1-cos(ωt)] b) dX/dt=Rω[1-cos(ωt)] et dY/dt=Rωsin(ωt) 3°) vM=O et aM=v²/R.ey c) a=-ω²CM C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES I - ATOME DE SOMMERFELD Dans le modèle de l’atome de Sommerfeld, l’électron décrit l’ellipse, dont un foyer est occupé par le noyau, p d’équation r = de diamètre p et d’excentricité e= 1− (l / n) 2 n étant le nombre quantique principal et l le 1+ e cosθ nombre quantique orbital. On notera C la constante des aires. 1°) Rappeler la loi des aires et les formules de Binet. 2°) Déterminer les accélérations maximales aM et minimales am de l’électron 2p de l’atome d’hydrogène qui gravite sur l’orbite L(n=2, l=1) en fonction de C,e et p.A.N -3 A.N: p=4.10 C²m=75pm et a=0,3nm le demi-grand axe de l’orbite elliptique. 3°) Déterminer la vitesse minimale vm et maximale vM de l’électron en fonction de C,e et p. A.N. Rép : 1°) dS/dt=C/2=r²/2.dθ/dt, v²=C²(u²+u’²) où u=1/r et a=C²u²[u’’+u] 2°) aM=C²/p3.(1+e)²=1,5.1023ms-2 et am=8,0.1020ms-2 3°) vM=C/p.(1+e)=3,4.107ms-1 et vm=C/p.(1-e)=2,4.106ms-1. II – MOUVEMENT D’UN BALLON SONDE Un ballon-sonde a une vitesse d’ascension verticale v0 indépendante de son altitude z. Le vent lui communique une vitesse horizontale vx=z/τ, proportionnelle à son altitude. On note (Oz) la verticale ascendante. 1°) Déterminer les lois horaires du mouvement x(t) et z(t) ainsi que l’équation de la trajectoire x(z). 2°) Calculer le vecteur accélération. Déterminer ses composantes normale et tangentielle à la trajectoire. Rép : 1°) x=z²/2τv0 2°) a=v0ex/τ, aT=v0t/τ².√(1-[(t/τ)²/(1+(t/τ)²)]) et aN=v0/τ.√(1/(1+(t/τ)²)) III – COURSE AUTOMOBILE Deux pilotes prennent le départ d’une course sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Le -2 premier A démarre avec une accélération constante de 4ms , le deuxième B, a une voiture légèrement plus -2 puissante et démarre avec une accélération de 5ms . A a cependant des reflexes plus importants et démarre une seconde avant B. 1°) Quelle durée il faudra à B pour rattraper A ? 2°) Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ? 3°) Quelles seront les vitesses à cet instant là ? Rép : 1°) t=9,5s 2°) l=179m 3°) vA=136km/h etvB=152km/h L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2 C-III – COURSE AUTOMOBILE Deux pilotes prennent le départ d’une course sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Le -2 premier A démarre avec une accélération constante de 4ms , le deuxième B, a une voiture légèrement plus -2 puissante et démarre avec une accélération de 5ms . A a cependant des reflexes plus importants et démarre une seconde avant B. 1°) Quelle durée il faudra à B pour rattraper A ? 2°) Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ? 3°) Quelles seront les vitesses à cet instant là ? B-II – MOUVEMENT D’UN POINT MATERIEL SUR UNE PARABOLE Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire rcos²θ=a où a est une constante positive, θ variant de -π à +π. 1°) Montrer que la trajectoire de M est une parabole. 2°) On suppose que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r : v=kr, où k est une constante positive. c) Calculer, en fonction de θ, les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M. d) Déterminer la loi du mouvement θ(t) en supposant que θ est nul à l’instant t=0 et que θ croît. On donne : π θ + 2 dθ = ln tan ∫ cosθ 2 L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2 L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2