MECANIQUE : TD n°1 - Les CPGE de Loritz

L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2
MECANIQUE : TD n°1
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Démontrer l’expression de la vitesse en coordonnées cylindriques. En déduire l’élément de longueur
correspondant.
Rép : En coordonnées cylindriques dOM=dre
r
+rdθe
q
+dze
z
.
2°) Démontrer l’accélération en coordonnées cylindriques. En déduire son expression dans le cas d’un
mouvement circulaire dans un plan orthogonal à Oz.
Rép : ]2[²][ θθθ
θ
&&&
&
r
&
&&
r
r
rrerrea
r
++−= qui devient si r=R=cste a=
θ
θθ ereRa
r
r
&&
r
&
r
+−= ²
3°) a) Une particule ponctuelle de charge q, placée à l’origine O d’un repère cartésien, crée en M un
champ électrique dont l’expression en coordonnées sphériques est : E(M)=q/4πε
0
r².e
r
. Exprimer E(M) en
coordonnées cartésiennes.
b) Le champ magnétique créé en M par un fil rectiligne infini, confondu avec l’axe (Oz) et parcouru par
un courant I a pour expression en coordonnées cylindriques : B(M)=µ
0
I/2πr.e
θ
θθ
θ
.
Rép : a) E(M)=q/4πε
0
.(xe
x
+ye
y
+ze
z
)/(x²+y²+z²)
3/2
b) B(M)=µ
0
I/2π(x²+y²).(-ye
x
+xe
y
).
4°) Un mobile M parcourt avec une vitesse constante v la spirale d’équation polaire : r=aθ. Exprimer en
fonction de θ et de v (la norme du vecteur vitesse) le vecteur vitesse de M.
Rép : v(M)=v/√(1+θ²).(e
r
+θe
θ
θθ
θ
).
5°) Un pendule simple est constitué d’un point matériel de masse m, suspendu à un fil inextensible de
longueur l. On note g l’accélération de la pesanteur.
Sachant que T=cst*m
α
l
β
g
γ
, déterminer à l’aide d’un analyse dimensionnelle les trois coefficients α, β, et γ.
Rép : α=0, β=1/2, γ=-1/2.
B – TRAVAUX DIRIGES
I - OPTIMISATION D’UN TRAJET
Soit une plage rectiligne P. Un point A
1
sur le sable est à la
distance A
1
H
1
=a
1
de P. Un point A
2
sur la mer est à la distance A
2
H
2
=a
2
de
P. On pose H
1
H
2
=d
Un jeune homme I se repose en A
1
sur le sable. I peut courir sur le
sable à la vitesse v
1
et nager à la vitesse v
2
<v
1
. I désire rejoindre le plus
rapidement possible une jeune fille qui se noie en A
2
. Il n’y a pas
d’interaction électrostatique entre les deux corps.
1°)Quel trajet A
1
A
2
doit-il emprunter pour sauver la jeune fille ?
: On déterminera d’abord l’équation que doit vérifier x=H
1
O,
puis on simplifiera l’expression obtenue en introduisant les angles α
1
& α
2
.
2°) A quelle loi physique l’expression obtenue vous fait-elle songer? Interpréter.
Rép : 1°) v
2
sinα
1
=v
1
sinα
2
2°) En posant v=c/n on retrouve la troisième loi de Descartes.
II – MOUVEMENT D’UN POINT MATERIEL SUR UNE PARABOLE
Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire r.cos²(θ/2)=a où a est une constante positive, θ
variant de -π à +π.
1°) Montrer que la trajectoire de M est une parabole.
2°) On suppose que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r : v=kr, où k est une
constante positive.
a) Calculer, en fonction de θ, les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M.
b) Déterminer la loi du mouvement θ(t) en supposant que θ est nul à l’instant t=0 et que θ croît.
On donne :
Rep : 1°) y²=4a(a-x) 2a) v
r
=[adθ/dt.sin(θ/2)]/cos
3
(θ/2) et v
θ
=dθ/dt.a/[cos
3
(θ/2)] 2b) Ln|tan(θ/4+π/4)|=kt/2
0
2
ln tan
cos 2
d
θ
π
θ
θ
θ
+
=
∫

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III – TRAJECTOIRE CYCLOÏDALE
Une roue de rayon R et de centre C roule sans glisser sur l’axe (Ox) en restant dans le plan (Ozx).
Soit M un point lié à la roue, situé sur la circonférence. A l’instant t=0, M est confondu avec l’origine O. La vitesse
de C est constante et égale à v.
1°) Comment exprimer la condition: « la roue ne glisse pas »?
2°) Déterminer à l’instant t:
a) la position de M
b) le vecteur vitesse v
M
de M
c) le vecteur accélération a
M
de M
3°) Déterminer v
M
& a
M
lorsque M est en contact avec l’axe (Ox).
Rép : 1°) x
I
=vt=Rωt 2°)a) X=R[ωt-sin(ωt)] et Y=R[1-cos(ωt)] b) dX/dt=Rω[1-cos(ωt)] et dY/dt=Rωsin(ωt) c) a=-ω²CM
3°) v
M
=O et a
M
=v²/R.e
y
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I - ATOME DE SOMMERFELD
Dans le modèle de l’atome de Sommerfeld, l’électron décrit l’ellipse, dont un foyer est occupé par le noyau,
d’équation rp
e
=+1 cos
θ
de diamètre p et d’excentricité e l n= −1
2
( / ) n étant le nombre quantique principal et l le
nombre quantique orbital. On notera C la constante des aires.
1°) Rappeler la loi des aires et les formules de Binet.
2°) Déterminer les accélérations maximales a
M
et minimales a
m
de l’électron 2p de l’atome d’hydrogène qui
gravite sur l’orbite L(n=2, l=1) en fonction de C,e et p.A.N
A.N: p=4.10
-3
C²m=75pm et a=0,3nm le demi-grand axe de l’orbite elliptique.
3°) Déterminer la vitesse minimale v
m
et maximale v
M
de l’électron en fonction de C,e et p. A.N.
Rép : 1°) dS/dt=C/2=r²/2.dθ/dt, v²=C²(u²+u’²) où u=1/r et a=C²u²[u’’+u] 2°) a
M
=C²/p
3
.(1+e)²=1,5.10
23
ms
-2
et a
m
=8,0.10
20
ms
-2
3°) v
M
=C/p.(1+e)=3,4.10
7
ms
-1
et v
m
=C/p.(1-e)=2,4.10
6
ms
-1
.
II – MOUVEMENT D’UN BALLON SONDE
Un ballon-sonde a une vitesse d’ascension verticale v
0
indépendante de son altitude z. Le vent lui
communique une vitesse horizontale v
x
=z/τ, proportionnelle à son altitude. On note (Oz) la verticale ascendante.
1°) Déterminer les lois horaires du mouvement x(t) et z(t) ainsi que l’équation de la trajectoire x(z).
2°) Calculer le vecteur accélération. Déterminer ses composantes normale et tangentielle à la trajectoire.
Rép : 1°) x=z²/2τv
0
2°) a=v
0
e
x
/τ, a
T
=v
0
t/τ².√(1-[(t/τ)²/(1+(t/τ)²)]) et a
N
=v
0
/τ.√(1/(1+(t/τ)²))
III – COURSE AUTOMOBILE
Deux pilotes prennent le départ d’une course sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Le
premier A démarre avec une accélération constante de 4ms
-2
, le deuxième B, a une voiture légèrement plus
puissante et démarre avec une accélération de 5ms
-2
. A a cependant des reflexes plus importants et démarre une
seconde avant B.
1°) Quelle durée il faudra à B pour rattraper A ?
2°) Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ?
3°) Quelles seront les vitesses à cet instant là ?
Rép : 1°) t=9,5s 2°) l=179m 3°) v
A
=136km/h etv
B
=152km/h

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C-III – COURSE AUTOMOBILE
Deux pilotes prennent le départ d’une course sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Le
premier A démarre avec une accélération constante de 4ms
-2
, le deuxième B, a une voiture légèrement plus
puissante et démarre avec une accélération de 5ms
-2
. A a cependant des reflexes plus importants et démarre une
seconde avant B.
1°) Quelle durée il faudra à B pour rattraper A ?
2°) Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ?
3°) Quelles seront les vitesses à cet instant là ?
B-II – MOUVEMENT D’UN POINT MATERIEL SUR UNE PARABOLE
Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire rcos²θ=a où a est une constante positive, θ variant
de -π à +π.
1°) Montrer que la trajectoire de M est une parabole.
2°) On suppose que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r : v=kr, où k est une
constante positive.
c) Calculer, en fonction de θ, les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M.
d) Déterminer la loi du mouvement θ(t) en supposant que θ est nul à l’instant t=0 et que θ croît.
On donne :
2
ln tan
cos 2
d
π
θ
θ
θ
+
=
∫

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