MECANIQUE : TD n°2 - Les CPGE de Loritz

MECANIQUE : TD n°2
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) On suppose que le champ de pesanteur g=-gez est uniforme et que les autres forces sont négligés. Un
projectile est lancé à la date t=0 depuis le point O (point origine). Le vecteur vitesse initiale, parallèle au plan (Oxz)
est défini par sa valeur v0 et l’angle α qu’il fait avec Ox.
a) Déterminer l’équation du mouvement z=f(x).
b) En déduire la portée d’un tel mouvement c’est à dire la distance xp lorsque z vaut de nouveau O.
Rép : a) z=-1/2.gx²/vo²cos²α+xtanα
b) xp=vo²sin(2α)/g
2°) En présence de frottements la portée sera t-elle inférieure ou supérieure. Expliquez.
Rép : la portée sera inférieure car la force de frottement s’oppose au mouvement
3°) On suppose le mouvement d’un solide dans un fluide selon l’axe Oz. On supposera la fluide soumis à la
poussée d’Archimède Π=-Mg, au poids et à la force de frottement fluide modélisé ici par –hv. Démontrer que le
point matériel atteint une vitesse limite dont on donnera son expression.
Rép : v∞=(m-M)/h.g
4°) On considère un pendule simple de longueur l, retrouvez l’équation différentielle de ce pendule en appliquant le
théorème de la puissance cinétique. En prenant comme conditions initiales θ(0)=θ0 et dθ/dt(0)=0, donnez la
solution θ(t) de ce mouvement.
Rép : d²θ/dt²+ω0²θ=0 où ω0²=g/l et θ(t)=θ0cos(ω0t)
B – TRAVAUX DIRIGES
I - RESISTANCE DE L’AIR – CAS LINEAIRE
Dans le repère terrestre R, un point matériel M de masse m est soumis à la force de pesanteur -mg.ez et à
la force de frottement -kv.
1°) Etudier la chute libre (v0=0) et mettre en évidence une vitesse limite v∞ et un temps de relaxation τ tel que
-t/τ
v=v∞(1-e ).
2°) Etudier le tir (v0=v0cosαex+v0sinα ez) et établir les équations du mouvement suivantes:
-t/τ
-t/τ
&
z(t)=τ(v0sinα+ v∞)(1-e )- v∞t
x(t)=v0τcosα(1-e )
3°) Tracer la trajectoire z(x). Quelle est la principale différence avec le mouvement sans résistance de l’air
Rép : 1°) v∞=gτ où τ=m/k
2°) On peut noter x(t)=xmax(1-e-t/τ)
valeur limite qu’il ne peut dépasser quelquesoit t.
3°) z(x)=(V0sinα+V∞)/V0cosα.x+τV∞.Ln[1-x/V0τcosα]. Ici x possède une
II – ENROULEMENT D’UN FIL SUR UN CYLINDRE
Un cylindre de révolution, d’axe vertical, de
rayon R, repose sur un plan horizontal et fixe par
rapport à un référentiel (Ox, Oy, Oz).
On attache une extrémité d’un fil
parfaitement souple, infiniment mince et de masse
négligeable à la base du cylindre, et on l’enroule
plusieurs fois dans le sens trigonométrique autour
de cette base. L’autre extrémité du fil est fixée à
une particule M de masse m, astreinte à glisser sur
le plan horizontal (Oxy). La partie IOM non enroulée
du fil est tendue.
-1
Données numériques : R=0,2m ; m=0,04kg ; l0=I0M=0,5m ; v0=0,1ms .
1°) A l’instant t=0, on communique à la particule M une vitesse v0 horizontale à I0M et orienté comme
l’indiquent les deux figures ci-après.
On admet que le fil reste tendu au cours du mouvement. A l’instant t, on appelle θ l’angle dont s’est enroulé
le fil et l la longueur IM du fil non encore enroulé.
Le fil étant inextensible, donner la relation entre l, l0, R et θ.
2°) Exprimer les composantes de OM suivant les vecteurs unitaires ur et uθ en fonction de l0, R et θ.
3°) En déduire les composantes de la vitesse v de la particule M suivant les vecteurs ur et uθ.
4°) Montrer que la norme v de la vitesse reste constante au cours du mouvement.
5°) Déduire des questions 3°) et 4°) la relation entre θ, θ&, l0 , R
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et v0 .
6°) Exprimer θ en fonction de t, l0, R et v0.
7°) Déterminer l’instant final tf pour lequel le fil est entièrement enroulé autour d’un cylindre. Effectuer
l’application numérique.
8°) a) Déterminer la tension T du fil en fonction de t, m, l0, R et v0.
-3
b) En réalité, il y a rupture du fil dès que sa tension dépasse la valeur Trup=5.10 N. Déterminer l’instant
trup et l’angle θrup lorsqu’intervient la rupture du fil. Effectuer l’application numérique.
Rép : 1°) l=l0-Rθ
6°) v0t=l0θ-Rθ²/2⇒
2°) OM=Rur+(l0-Rθ)uθ
l 
2 Rv t
θ (t ) = 0 1 − 1 − 2 0
R
l0



3°) v=- θ&(l0
uur
− Rθ )ur
7°) tf=6,25s
8°) a)
4°) Appliquez le PFD sur ur
mv  2 Rv0t 
T=
1 − 2 
l0 
l0 
2
0
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I – CONDITION DE NON-DECOLLAGE
Une automobile, assimilée à un point matériel, circule à la vitesse v
uniforme, sur une piste au profil accidenté. Elle franchit une bosse,
modélisée par deux portions rectilignes raccordées par un arc de cercle de
rayon l et d’ouverture angulaire 2α.
1°) A quelle condition la voiture garde-t-elle le contact avec le sol
2°) Déterminer la vitesse maximale remplissant cette condition. A.N: α=10°
& l=5m
Rép : 1°) Si v≤√(glcosθ)
.
2°) v≤√(glcosα)=6,9ms-1.
II – PLAN INCLINE ET POULIES
Le solide S1 de masse m1=400g, glisse sans frottements sur le plan
incliné. Le solide S2 de masse m2=200g, se déplace verticalement. Les
solides en translation sont considérés comme des points matériels. Les
poulies sont idéales, les fils sont inextensibles et sans masse. (Donnée
α=30°)
1°) On considère le premier dispositif. Déterminez l’accélération du
solide S2 et la tension du fil.
2°) On rajoute une poulie. La poulie P2 est fixe, la poulie P1 se
déplace parallèlement au plan incliné. Le fil est attaché en A. Déterminer
l’accélération du solide S2 et les tensions du fil.
Rép : 1°) a(S2)=(m1sinα-m2)/(m1+m2).gez=0 et T2=m1m2/(m1+m2).(1+sinα)g=1,96N
a(S2)=(2m1sinα-m2)/(2m1+m2).gez=1,96ms-2ez et T2=2m1m2/(2m1+m2).(1+sinα)g=2,35N
2°)
III – MOUVEMENT D’UN POINT MATERIEL SUR UN CERCLE
Un point matériel M de masse m se déplace sans frottements sur un
cercle de rayon a passant par le point O. Il est soumis à la force f=f(r)ur avec
OM=rur et à la réaction du support.
1°) Déterminer la fonction f(r) pour que la réaction R exercée par M sur le
cercle soit constante.
2°) Déterminer la relation entre θ& et θ faisant intervenir les conditions
initiales.
3°) Décrire le mouvement du point M dans les différents cas possibles.
2
Rép : 1°) f(r)=A/r5
la constante A…
2°)
θ& 2 = −
A
1
+K
32ma 5 cos 4 (θ )
2
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5°) v0= θ&(l0
− Rθ )
1/ 2
3°) Tout dépend du signe de la valeur de
b) trup=6,09s et θrup=120°
C-II) PLAN INCLINE ET POULIES
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C-III) MOUVEMENT D’UN POINT MATERIEL SUR UN CERCLE
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B-II) ENROULEMENT D’UN FIL SUR UN CYLINDRE
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