chap 15 : Applications linéaires Applications linéaires

chap 15 : Applications linéaires
Lycée Henri IV
HKBL
Applications linéaires
Dans toute la leçon K = R ou C, et (E, +, .) et (F, +, .) sont des K-espaces vectoriels.
I Généralités
1.1 définition
définition 1.1 :
Une application f de E dans F est dite linéaire si et seulement si :
1. ∀(x, y) ∈ E 2 ,
f (x + y) = f (x) + f (y)
2. ∀x ∈ E, ∀α ∈ K,
f (α.x) = α.f (x)
exemples : en cours
théorème 1.2 :
Une application f de E dans F est linéaire si et seulement si :
∀(x, y) ∈ E 2 , ∀(α, β) ∈ K2 , f (α.x + β.y) = α.f (x) + β.f (y)
Preuve : en cours
Remarque : ce théorème permet de prouver rapidement qu’une application est linéaire.
propriété 1.3 :
Si une application f de E dans F est linéaire :
f (0E ) = 0F
Preuve : en cours
Remarque : cette permet de prouver facilement qu’une application n’est pas linéaire.
1.2 Le K-espace vectoriel L(E, F )
théorème 1.4 :
L’ensemble des applications linéaires de E dans F , que l’on note L(E, F ), muni des lois + et . est un K-espace
vectoriel.
preuve : en cours
Remarque : il découle de cette propriété que si f et g sont des applications linéaires alors : ∀α, β ∈ K2 ,
est une application linéaire.
α.f + β.g
1.3 cas particuliers
définition 1.5 :
soit f une application linéaire de E dans F .
1. Si F = K, on dit que f est une forme linéaire.
2. Si E = F , on dit que f est un endomorphisme.
On note L(E) l’ensemble des endomorphisme de E
3. Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme.
4. Un endomorphisme bijectif est appelé automorphisme.
On note GL(E) l’ensemble des automorphisme de E.
exemples : en cours
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1.4 composition d’applications linéaires
propriété 1.6 :
La composée de deux applications linéaires est une application linéaire :
si f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G), alors g ◦ f ∈ L(E, G)
preuve : en cours
propriété 1.7 :
L’inverse d’une application linéaire bijective est une application linéaire :
si f ∈ L(E, F ) est un isomorphisme, alors f −1 ∈ L(F, E).
corollaire 1.8 :
L’ensemble des automorphismes de E, GL(E), muni de la loi interne ◦ est un groupe non commutatif d’élément
neutre IdE .
II Noyau et image d’une application linéaire
2.1 Noyau d’une application linéaire
définition 2.1 :
Soit f ∈ L(E, F ).
On appelle noyau de f , que l’on note Ker f , le sous-ensemble de E :
Kerf = {x ∈ E : f (x) = 0F }
Exemple : en cours
théorème 2.2 :
Soit f ∈ L(E, F ). Alors Kerf est un s-ev de E.
Preuve : en cours
Propriété 2.3 :
Soit f ∈ L(E, F ). Alors :
f
injective si et seulement si Kerf = 0
Preuve : en cours
2.2 Image d’une application linéaire
définition 2.4 :
Soit f ∈ L(E, F ).
On appelle Image de f , que l’on note Im f , le sous-ensemble de F :
Imf = {f (x) : x ∈ E}
Exemple : en cours
théorème 2.5 :
Soit f ∈ L(E, F ). Alors Imf est un s-ev de F .
Preuve : en cours
Propriété 2.6 :
Soit f ∈ L(E, F ). Alors :
f
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surjective si et seulement si Imf = F
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III Dimension finie
3.1 Rang d’une application linéaire
définition 3.1 : Rang d’une famille de vecteurs
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.
On appelle rang de la famille de vecteur F = (e1 , e2 , ..., en ) la dimension du sous-espace vectoriel engendré par
la famille F :
rgF = dim VectF
définition 3.2 : Rang d’une application linéaire
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, et f une application linéaire de E vers F .
On appelle rang de l’application linéaire f la dimension du sous-espace vectoriel de F engendré par l’image de
f :
rgf = dim Vect(Imf )
théorème 3.3 :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, et f une application linéaire de E vers F .
Si (e1 , ..., en ) est une base de E alors
rgf = rg(f (e1 ), ...f (en ))
preuve : en cours
3.2 la formule du rang
théorème 3.4 :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, et f une application linéaire de E vers F .
Si E est de dimension finie alors on a la formule du rang :
dim E = dim ker f + dim Im f = dim ker f + rg f
preuve : en cours
exemples : en cours
3.3 caractérisation des isomorphismes
théorème 3.5 :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, et f une application linéaire de E vers F . Alors :
f est un isomorphisme ⇔ f est injective ⇔ f est surjective
preuve : en cours
exemples : en cours
3.4 bases et isomorphismes
théorème 3.6 :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, et f une application linéaire de E vers F .
Si (e1 , ..., en ) est une base de E alors
f est un isomorphisme si et seulement si (f (e1 ), ...f (en )) est une base de F
preuve : en cours
exemples : en cours
définition 3.7 :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels.
E et F sont isomorphes si et seulement si il existe un isomorphisme f de E vers F .
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corollaire 3.8 :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie.
E et F sont isomorphes si et seulement s’ils ont même dimension
preuve : en cours
corollaire 3.9 :
Soit E un K-espaces vectoriels de dimension finie n.
Alors E et Kn sont isomorphes.
preuve : en cours
exemples : en cours
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