chap 15 : Applications linéaires Applications linéaires

Lyc´ee Henri IV chap 15 : Applications lin´eaires HKBL
Applications lin´eaires
Dans toute la le¸con K=Rou C, et (E, +, .) et (F, +, .) sont des K-espaces vectoriels.
I G´en´eralit´es
1.1 d´efinition
d´efinition 1.1 :
Une application fde Edans Fest dite lin´eaire si et seulement si :
1. ∀(x, y)∈E2, f (x+y) = f(x) + f(y)
2. ∀x∈E, ∀α∈K, f(α.x) = α.f(x)
exemples : en cours
th´eor`eme 1.2 :
Une application fde Edans Fest lin´eaire si et seulement si :
∀(x, y)∈E2,∀(α, β)∈K2, f(α.x +β.y) = α.f (x) + β.f(y)
Preuve : en cours
Remarque : ce th´eor`eme permet de prouver rapidement qu’une application est lin´eaire.
propri´et´e 1.3 :
Si une application fde Edans Fest lin´eaire :
f(0E)=0F
Preuve : en cours
Remarque : cette permet de prouver facilement qu’une application n’est pas lin´eaire.
1.2 Le K-espace vectoriel L(E, F )
th´eor`eme 1.4 :
L’ensemble des applications lin´eaires de Edans F, que l’on note L(E, F ), muni des lois + et .est un K-espace
vectoriel.
preuve : en cours
Remarque : il d´ecoule de cette propri´et´e que si fet gsont des applications lin´eaires alors : ∀α, β ∈K2, α.f +β.g
est une application lin´eaire.
1.3 cas particuliers
d´efinition 1.5 :
soit fune application lin´eaire de Edans F.
1. Si F=K, on dit que fest une forme lin´eaire.
2. Si E=F, on dit que fest un endomorphisme.
On note L(E) l’ensemble des endomorphisme de E
3. Si fest bijective, on dit que fest un isomorphisme.
4. Un endomorphisme bijectif est appel´e automorphisme.
On note GL(E) l’ensemble des automorphisme de E.
exemples : en cours
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1.4 composition d’applications lin´eaires
propri´et´e 1.6 :
La compos´ee de deux applications lin´eaires est une application lin´eaire :
si f∈ L(E, F ) et g∈ L(F, G), alors g◦f∈ L(E, G)
preuve : en cours
propri´et´e 1.7 :
L’inverse d’une application lin´eaire bijective est une application lin´eaire :
si f∈ L(E, F ) est un isomorphisme, alors f−1∈ L(F, E).
corollaire 1.8 :
L’ensemble des automorphismes de E,GL(E), muni de la loi interne ◦est un groupe non commutatif d’´el´ement
neutre IdE.
II Noyau et image d’une application lin´eaire
2.1 Noyau d’une application lin´eaire
d´efinition 2.1 :
Soit f∈ L(E, F ).
On appelle noyau de f, que l’on note Ker f, le sous-ensemble de E:
Kerf={x∈E:f(x)=0F}
Exemple : en cours
th´eor`eme 2.2 :
Soit f∈ L(E, F ). Alors Kerfest un s-ev de E.
Preuve : en cours
Propri´et´e 2.3 :
Soit f∈ L(E, F ). Alors :
finjective si et seulement si Kerf= 0
Preuve : en cours
2.2 Image d’une application lin´eaire
d´efinition 2.4 :
Soit f∈ L(E, F ).
On appelle Image de f, que l’on note Im f, le sous-ensemble de F:
Imf={f(x) : x∈E}
Exemple : en cours
th´eor`eme 2.5 :
Soit f∈ L(E, F ). Alors Imfest un s-ev de F.
Preuve : en cours
Propri´et´e 2.6 :
Soit f∈ L(E, F ). Alors :
fsurjective si et seulement si Imf=F
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III Dimension finie
3.1 Rang d’une application lin´eaire
d´efinition 3.1 : Rang d’une famille de vecteurs
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie.
On appelle rang de la famille de vecteur F= (e1, e2, ..., en) la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e par
la famille F:
rgF= dim VectF
d´efinition 3.2 : Rang d’une application lin´eaire
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie, et fune application lin´eaire de Evers F.
On appelle rang de l’application lin´eaire fla dimension du sous-espace vectoriel de Fengendr´e par l’image de
f:
rgf= dim Vect(Imf)
th´eor`eme 3.3 :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie, et fune application lin´eaire de Evers F.
Si (e1, ..., en) est une base de Ealors
rgf= rg(f(e1), ...f(en))
preuve : en cours
3.2 la formule du rang
th´eor`eme 3.4 :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels, et fune application lin´eaire de Evers F.
Si Eest de dimension finie alors on a la formule du rang :
dim E= dim ker f+ dim Im f= dim ker f+ rg f
preuve : en cours
exemples : en cours
3.3 caract´erisation des isomorphismes
th´eor`eme 3.5 :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie, et fune application lin´eaire de Evers F. Alors :
fest un isomorphisme ⇔fest injective ⇔fest surjective
preuve : en cours
exemples : en cours
3.4 bases et isomorphismes
th´eor`eme 3.6 :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie, et fune application lin´eaire de Evers F.
Si (e1, ..., en) est une base de Ealors
fest un isomorphisme si et seulement si (f(e1), ...f(en)) est une base de F
preuve : en cours
exemples : en cours
d´efinition 3.7 :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels.
Eet Fsont isomorphes si et seulement si il existe un isomorphisme fde Evers F.
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corollaire 3.8 :
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie.
Eet Fsont isomorphes si et seulement s’ils ont mˆeme dimension
preuve : en cours
corollaire 3.9 :
Soit Eun K-espaces vectoriels de dimension finie n.
Alors Eet Knsont isomorphes.
preuve : en cours
exemples : en cours
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