Les fractions

Les fractions, Comparaison de fractions
1. Ecritures fractionnaires d’un quotient
Définition :
Pour b différent de 0,
b
a
est le quotient de a par b (noté également a b).
Exemple :
5
7
= 7 5 = 1,4
Définition :
La notation
b
a
(b 0) est une écriture fractionnaire. Le nombre a est le numérateur et le nombre b est le
dénominateur.
Remarque :
Une écriture fractionnaire peut-être l’écriture :
D’un nombre entier : 42/7 car 42/7 = 6
D’un nombre décimal qui n’est pas un nombre entier : 4/5 car 4/5 = 0,8
D’un nombre qui n’est pas un nombre décimal : 11/3 car ce nombre ne peut pas s’écrire à l’aide d’une
fraction décimale.
Définition :
Lorsque a et b (b 0) sont des nombres entiers, l’écriture fractionnaire
b
a
est appelée fraction
2. Divisibilité
a. Définitions
Définition :
Un nombre a est un multiple d’un nombre b (b 0) lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est
égale à 0.
Exemples :
8 est un multiple de 4 car ….
217 est un multiple de 7 car ….
Remarque :
4 est un diviseur de 8, 8 est divisible par 4.
7 est un diviseur de 217, 217 est divisible par 7
b. Critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9
Critère de divisibilité par 2 :
Un nombre entier est divisible par 2 s’il est pair, donc que son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
Exemples :
1798, 11200, 145756 sont divisibles par 2
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3, si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 3.
Exemples :
12654, 132621 sont divisibles par 3
Critère de divisibilité par 4 :
Un nombre entier est divisible par 4, si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des
unités est un multiple de 4.

Exemples :
1716, 6924 sont divisibles par 4
Critère de divisibilité par 5 :
Un nombre entier est divisible par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Exemples :
2795, 23845, 38450 sont divisibles par 5.
Critère de divisibilité par 9 :
Un nombre entier est divisible par 9, si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 9.
Exemples :
12654, 189261 sont divisibles par 9
Critère de divisibilité par 10 :
Un nombre entier est divisible par 10 s’il termine par 0.
Exemples :
6570, 89530 sont divisibles par 10.
Divisible par
2
3
4
5
9
10
174 528
543 240
321 474
123 456 789
9 876 543 210
2 468
13 579
24 680
15 312
7 230
12 131
3. Proportion
Proportion :
Pour b 0
b
a
désigne une proportion
Exemple :
Dans une classe, il y a 18 filles sur 30 élèves. Le nombre de filles représente 18/30 du nombre total d’élèves.
Dans ce cas, on dira que 18/30 est la proportion du nombre de filles par rapport au nombre total d’élèves.

4. Quotients égaux
a. Propriété

Propriété :
On ne change pas la valeur d’une écriture fractionnaire en multipliant (ou en divisant) son numérateur et
son dénominateur par un même nombre non nul. Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres (avec b et k
différents de 0) :
b
a
=
kb ka
b
a
=
kb ka
b et k non nuls.

Exemple :
2,7/0,13 = 270/13 24/15 = 8/5 On dira que 24/15 et 8/5 sont des fractions égales.
Remarque :
Toutes les écritures fractionnaires peuvent être transformées en fractions.
Exemples :
Ecriture fractionnaire 5,2 / 0,4 = (5,2 * 10) / (0,4 * 10) = 52 / 40 fraction
0,02 / 0,5 5,128 / 2 10,542 / 4,2 3 / 4,12
b. Simplifier une fraction
Définition :
Simplifier une fraction veut dire trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont
les plus petits possibles.
Quand on écrit (a * k) / (b * k) = a/b, on dit que l’on a simplifié par k l’écriture de la fraction.
Une fraction que l’on ne peut pas simplifier est dite irréductible.
Exemple :
15/20 = (3*5)/(4*5) = 3/4 , on a simplifié par 5 l’écriture de la fraction 15/20
Or ¾ on ne peut pas simplifié alors ¾ est une fraction irréductible.
5. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire
 1er cas : les deux écritures fractionnaires ont le même dénominateur
Règle :
Si deux nombres en écriture fractionnaires ont le même dénominateur, alors le plus petit est celui a le plus petit
numérateur.