Les fractions

Les fractions, Comparaison de fractions
1. Ecritures fractionnaires d’un quotient
Définition :
Pour b différent de 0, a est le quotient de a par b (noté également a  b).
b
Exemple :
7 = 7  5 = 1,4
5
Définition :
La notation a (b  0) est une écriture fractionnaire. Le nombre a est le numérateur et le nombre b est le
b
dénominateur.
Remarque :
Une écriture fractionnaire peut-être l’écriture :
D’un nombre entier : 42/7 car 42/7 = 6
D’un nombre décimal qui n’est pas un nombre entier : 4/5 car 4/5 = 0,8
D’un nombre qui n’est pas un nombre décimal : 11/3 car ce nombre ne peut pas s’écrire à l’aide d’une
fraction décimale.
Définition :
Lorsque a et b (b  0) sont des nombres entiers, l’écriture fractionnaire a est appelée fraction
b
2. Divisibilité
a. Définitions
Définition :
Un nombre a est un multiple d’un nombre b (b  0) lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est
égale à 0.
Exemples :
8 est un multiple de 4 car ….
217 est un multiple de 7 car ….
Remarque :
4 est un diviseur de 8, 8 est divisible par 4.
7 est un diviseur de 217, 217 est divisible par 7
b. Critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9
Critère de divisibilité par 2 :
Un nombre entier est divisible par 2 s’il est pair, donc que son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
Exemples :
1798, 11200, 145756 sont divisibles par 2
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3, si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 3.
Exemples :
12654, 132621 sont divisibles par 3
Critère de divisibilité par 4 :
Un nombre entier est divisible par 4, si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des
unités est un multiple de 4.
Exemples :
1716, 6924 sont divisibles par 4
Critère de divisibilité par 5 :
Un nombre entier est divisible par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Exemples :
2795, 23845, 38450 sont divisibles par 5.
Critère de divisibilité par 9 :
Un nombre entier est divisible par 9, si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 9.
Exemples :
12654, 189261 sont divisibles par 9
Critère de divisibilité par 10 :
Un nombre entier est divisible par 10 s’il termine par 0.
Exemples :
6570, 89530 sont divisibles par 10.
Divisible par
174 528
543 240
321 474
123 456 789
9 876 543 210
2 468
13 579
24 680
15 312
7 230
12 131
2
3
4
5
9
10
3. Proportion
Proportion :
Pour b  0 a désigne une proportion
b
Exemple :
Dans une classe, il y a 18 filles sur 30 élèves. Le nombre de filles représente 18/30 du nombre total d’élèves.
Dans ce cas, on dira que 18/30 est la proportion du nombre de filles par rapport au nombre total d’élèves.
4. Quotients égaux
a. Propriété
Propriété :
On ne change pas la valeur d’une écriture fractionnaire en multipliant (ou en divisant) son numérateur et
son dénominateur par un même nombre non nul. Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres (avec b et k
différents de 0) :
a = ak
a = ak
b et k non nuls.
b bk
b bk
Exemple :
2,7/0,13 = 270/13
24/15 = 8/5 On dira que 24/15 et 8/5 sont des fractions égales.
Remarque :
Toutes les écritures fractionnaires peuvent être transformées en fractions.
Exemples :
Ecriture fractionnaire
5,2 / 0,4 = (5,2 * 10) / (0,4 * 10) = 52 / 40 fraction
0,02 / 0,5
5,128 / 2
10,542 / 4,2 3 / 4,12
b. Simplifier une fraction
Définition :
Simplifier une fraction veut dire trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont
les plus petits possibles.
Quand on écrit (a * k) / (b * k) = a/b, on dit que l’on a simplifié par k l’écriture de la fraction.
Une fraction que l’on ne peut pas simplifier est dite irréductible.
Exemple :
15/20 = (3*5)/(4*5) = 3/4 , on a simplifié par 5 l’écriture de la fraction 15/20
Or ¾ on ne peut pas simplifié alors ¾ est une fraction irréductible.
5. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire

1er cas : les deux écritures fractionnaires ont le même dénominateur
Règle :
Si deux nombres en écriture fractionnaires ont le même dénominateur, alors le plus petit est celui a le plus petit
numérateur.
Exemple :

3/8 < 5/8
8/9 < 12/9
2e cas : les deux écritures fractionnaires ont le même numérateur
Propriété :
Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur, alors le plus petit est celui qui a le plus
grand dénominateur.
Exemples :

2/5 < 2/3
8/9 < 8/2
3e cas : les deux écritures fractionnaires n’ont ni le même dénominateur, ni le même
dénominateur
Propriété :
On peut comparer deux nombres en écriture fractionnaire de dénominateur et de numérateur différents de deux
manières :
On les réduit au même dénominateur, et on se ramène alors au 1er cas
On calcule les quotients qui les représentent
Exemples : ¾ < 4/5 car 15/20 < 16/20 ou car 0,75 < 0,8
6. Comparer une écriture fractionnaire à 1
Règle :
Si a = b alors a = 1
b
Si a < b alors a < 1
b
Si a > b alors a > 1
b