IV) Primitives - Colegio Francia

IV) Primitives :
1) Définition :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de I; R . On appelle primitive de f sur I toute fonction F
dérivable sur I telle que F’(x) = f(x) , pour tout x de I.
2) Exemples :
a) f(x) = x² ; F(x)=
Error!
x3 et G(x) =
Error!
x3 + 4 sont des primitives de f sur
Error!
.
b) La fonction
x
x1
admet pour primitive la fonction
xx 2
sur ]0 ; + [
3) Théorème1 :
Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I .
4) Famille des primitives d’une fonction :
Théorème 2 : Soit F une primitive de f sur un intervalle I. Alors :
 Pour tout réel k , la fonction G : x  F(x) + k est aussi une primitive de f sur I.
 Toute primitive de f sur I est de ce type.
Démonstration : F’(x) = f(x) pour tout x de I
Supposons que G soit une autre primitive de f sur I alors G’(x) = f(x) =F’(x) sur I
donc F’(x)-G’(x) = (F-G)’(x) = 0 pour tout x de I donc F-G est constante sur I
F = G + k sur I
On dit que deux primitives diffèrent d’une constante.
Interprétation graphique :
5) Primitives prenant une valeur donnée en x0 :
Théorème 3 : Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I.
Etant donné un réel x0 de I et un réel quelconque y0 , il existe une unique primitive F de f sur I telle que :
F(x0) = y0 ( rem : en physique : condition initiale )
Remarques :
- Cohérent avec l’interprétation graphique : une seule des courbe passe par un point donné de la
bande.
- F(x0) = y0 impose k = - G(x0) + y0 si F(x) = G(x) + k.
Exemple1 : Trouver la primitive de f : x  2x+3 sur I;R qui prend la valeur 2 pour x = -1.
F(x) = x²+3x+k
F(–1) = 1– 3 + k = 2 k = 4
F(x) = x² + 3x + 4

Exemple 2 : Bouchon de champagne :
a = -g
v0 = 2 ms-1
x0= 1 m
alors v = - g t + v0 et
00
²
2
1xtvgtx
6) Tableaux de primitives :
Autres exemples :
²
1
x
x
a pour primitive
k
x
x 1
x  cos(ax+b) a pour primitive x 
kbax
a )sin(
1
x  sin(ax+b) a pour primitive x 
kbax
a )cos(
1
u u’ a pour primitive
ku ²
2
1
u
u'
a pour primitive
ku 2
x  u(ax+b) a pour primitive
Error!
U(ax+b)
Exercice : Calculer des primitives des fonctions suivantes :
a) f(x) = 3x4 – 2x² +x – 1
b) g(x) = (2x+1) (x² + x - 5)3
c) h(t) = sin(t+)
d) i(x) = sinx cos6x
Sol: a)
xxxxxF  ²
2
1
3
2
5
3
)( 35
b)
4
)5²(
4
1
)(  xxxG
c)
)cos(
1
)(  ttH
d)
xxI 7 cos
7
1
)( 
T.P: Détermination de primitives
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I considéré :
1) I = ]0 ;+[ ;
x
xxf 4 ²9)( 
( Indication: donner des primitives de x x² et
x
x1
sur I puis appliquer les propriétés sur
primitives et opérations)

Solution :
xxx
x
xF 88
3
3)( 3
3
2) (#1d p 119) I = I;R ; f(x) = x(3x² + 1)4
( Indication: Déterminer une fonction u dérivable sur I;R telle que f = k u’ u4 et en déduire une
primitive de f)
Solution :
Soit la fonction u : x 3x²+1 on obtient u'(x)=6x
4
)()('
6
1
)( xuxuxf 
donc
55 )1²3(
30
1
)(
30
1
)(  xxuxF
3) I = I;R ;
1
)( 4
3
x
x
xf
( Même démarche que précédemment)
Solution :
Soit la fonction u x x4+1 obtient u'(x)=4x3
)(2
)('
2
1
)(
)('
4
1
)( xu
xu
xu
xu
xf 
donc
1
2
1
)(
2
1
)( 4 xxuxF
4) (#2 p 121) I = ]0;1[ ;
22 )1(
12
)(  xx
x
xf
(Indication: Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x de I,
2
)1(
²
)(   x
b
x
a
xf
et en
déduire une primitive de f sur I)
)²1( 1 ²
1
)²1²( ²)²1(
)1(
12
)( 22  xxxx xx
xx
x
xf
)1( 1 )1( 1 1
11
)(   xxxx xx
xx
xF
 Exercices résolus p 119
 Exercices #1.1 #1.2 p 120
 Exercices #2.1 #2.2 p 121
 Exercices #3.1 #3.2 p 122
 Exercices #1, #6 #8 #9c #10cd #11c #13
 Exercices #16 #17 a
 Exercices #32 #37 ; #41 #42 #47 #53 #54 #59
DVM#6
#65 p 127 #69 p 128