IV) Primitives - Colegio Francia

IV) Primitives :
1) Définition :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de I; R . On appelle primitive de f sur I toute fonction F
dérivable sur I telle que F’(x) = f(x) , pour tout x de I.
2) Exemples :
a)
f(x) = x² ; F(x)= Error! x3 et G(x) = Error! x3 + 4 sont des primitives de f sur Error!.
1
b)
La fonction x 
admet pour primitive la fonction x  2 x sur ]0 ; + [
x
3) Théorème1 :
Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I .
4) Famille des primitives d’une fonction :
Théorème 2 : Soit F une primitive de f sur un intervalle I. Alors :
 Pour tout réel k , la fonction G : x  F(x) + k est aussi une primitive de f sur I.
 Toute primitive de f sur I est de ce type.
Démonstration : F’(x) = f(x) pour tout x de I
Supposons que G soit une autre primitive de f sur I alors G’(x) = f(x) =F’(x) sur I
donc F’(x)-G’(x) = (F-G)’(x) = 0 pour tout x de I donc F-G est constante sur I
F = G + k sur I
On dit que deux primitives diffèrent d’une constante.
Interprétation graphique :
5) Primitives prenant une valeur donnée en x0 :
Théorème 3 : Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I.
Etant donné un réel x0 de I et un réel quelconque y0 , il existe une unique primitive F de f sur I telle que :
F(x0) = y0 ( rem : en physique : condition initiale )
Remarques :
Cohérent avec l’interprétation graphique : une seule des courbe passe par un point donné de la
bande.
F(x0) = y0 impose k = - G(x0) + y0 si F(x) = G(x) + k.
Exemple1 : Trouver la primitive de f : x  2x+3 sur I; R qui prend la valeur 2 pour x = -1.
F(x) = x²+3x+k
F(–1) = 1– 3 + k = 2  k = 4
F(x) = x² + 3x + 4
Exemple 2 : Bouchon de champagne :
a = -g
v0 = 2 ms-1
x0= 1 m
1
alors v = - g t + v0 et x   gt ²  v0t  x0
2
6) Tableaux de primitives :
Autres exemples :
1
k
x
1
x  cos(ax+b) a pour primitive x  sin( ax  b)  k
a
1
x  sin(ax+b) a pour primitive x   cos( ax  b)  k
a
1
u²  k
u u’ a pour primitive
2
u'
a pour primitive 2 u  k
u
x  u(ax+b) a pour primitive Error! U(ax+b)
Exercice : Calculer des primitives des fonctions suivantes :
a) f(x) = 3x4 – 2x² +x – 1
b) g(x) = (2x+1) (x² + x - 5)3
c) h(t) = sin(t+)
d) i(x) = sinx cos6x
3
2
1
Sol: a) F ( x )  x 5  x 3  x ²  x
5
3
2
1
b) G ( x )  ( x ²  x  5) 4
4
1
c) H (t )   cos(t   )
x
1
x²
a pour primitive x  

1
d) I ( x )   cos 7 x
7
T.P: Détermination de primitives
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I considéré :
1) I = ]0 ;+[ ; f ( x )  9 x ² 
4
x
( Indication: donner des primitives de x x² et x 
primitives et opérations)
1
sur I puis appliquer les propriétés sur
x
Solution :
x3
F ( x)  3 
 8 x  x3  8 x
3
2) (#1d p 119) I = I; R ; f(x) = x(3x² + 1)4
( Indication: Déterminer une fonction u dérivable sur I; R telle que f = k u’ u4 et en déduire une
primitive de f)
Solution :
Soit la fonction u : x 3x²+1 on obtient u'(x)=6x
1
1
1
f ( x )  u ' ( x )u ( x ) 4 donc F ( x ) 
u( x )5 
(3x ²  1) 5
6
30
30
3
x
3) I = I; R ; f ( x ) 
( Même démarche que précédemment)
4
x 1
Solution :
Soit la fonction u x  x4+1 obtient u'(x)=4x3
1
1
1 u' ( x ) 1 u' ( x )
u( x ) 
x4  1
donc F ( x ) 
f ( x) 

2
2
4 u( x ) 2 2 u( x )
4) (#2 p 121) I = ]0;1[ ; f ( x ) 
2x  1
x ( x  1) 2
2
(Indication: Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x de I, f ( x ) 
déduire une primitive de f sur I)
 ( x  1)²  x ²
1
1
 
x ²( x  1)²
x ² ( x  1)²
x ( x  1)
1
1
x 1 x
1
F ( x)  


x x  1 x( x  1)
x( x  1)
f ( x) 
2x  1
2
2

 Exercices résolus p 119
 Exercices #1.1 #1.2 p 120
 Exercices #2.1 #2.2 p 121
 Exercices #3.1 #3.2 p 122
 Exercices #1, #6 #8 #9c #10cd #11c #13
 Exercices #16 #17 a
 Exercices #32 #37 ; #41 #42 #47 #53 #54 #59
DVM#6
#65 p 127 #69 p 128
a
b
et en

x ² ( x  1) 2