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4éme Année *** Section : Mathématiques
Série d’exercices
Proposé par : Prof : Dhahbi . A
Continuité et limites
EXERCICE 1 :
Etudier les limites suivant:
f -5 + 3x – 3x3 en - et + ; f
3
32
xxx
en - et + ; f
32 1
2
xx x
en - et +
f
x
1
- 2x – 7 en - et + ; f
73
2 xx
en + ; f
1
2 xx
en + ;
f
422 2 xx
+ x -1 en - et + ; f
127
523
2
2
xx
xxx
en 3. f
1
1
xxx
en 1+ et 1-
f
1532 2
2
xxx
en 1 ; f
2
2
x
en en 2+ et 2- ; f
46
2
3
xxx
en 2 ;
f
512
3
x
x
en 3 ; f
)
2
cos( x
x
en - ; f sin(
x
1
) en + ; f cos(
x
3
) en +
EXERCICE 2 :
Soit la fonction numérique f définie par : f (x) =
1
13
2
2
x
xx
.
a) Montrer que : 1 – f (x) =
2
13x
x
, pour tout x IR.
b) Montrer que : 0 1 – f (x)
x
3
, pour tout x
*
IR
. En déduire :
x
lim
f ( x )
EXERCICE 3 :
Dans chacun des cas suivants, déterminer le prolongement par continuité de la fonction f en x0.
a) f ( x ) =
223
2
xxx
, x0 = 2.
b) f ( x ) =
4
lim
x
x
tgx
4
1
, x0 =
4
.
c) f ( x ) =
4
6
2
3
x
xx
, x0 = 2.
EXERCICE N° 9 :
Soit la fonction numérique f définie sur IR* par : f ( x ) =
xxcos1
.
1°/ Déterminer
0
lim
x
f ( x ).
2°/ Déterminer
0
lim
x
f (sin x) et
0
lim
x
f (1 – cos x) .
3°/ a) Vérifier que pour tout x IR*, on a : 0 ≤ f ( x ) ≤
x
2
.
b) En déduire la limite de f en + .
EXERCICE N°10 :
1°/ Montrer que pour tout réel x, on a :
3
1
≤
xsin2 1
≤ 1.
2°/ En déduire Le comportement en + de la fonction f définie par : f ( x ) =
x
x
sin2 
.
Série d’exercices : continuité et limites 1 Dhahbi . A

Série d’exercices : 4éme Maths
EXERCICE N° 5 :
Soit la fonction numérique f définie sur ] - , - 6[ ] 0, + [ par :
f ( x ) =
xx 6
2
- x si x < 2.
f ( x ) =
4
1
( x + 7 – sin(
x
4
) si x ≥ 2
1°/ a) Calculer
x
lim
f ( x ) et
x
lim
( f ( x ) + 2x ).
b) Vérifier que pour tout x [2, + [ , on a : f ( x ) ≥
46x
puis
x
lim
f ( x ).
2°/ Montrer que f est continue en 2 .
3°/ a) Etudier la continuité de f sur ] - , - 6[ ] 0, 2 [ ] 2 , + [ .
b) La fonction f est elle continue sur ] - , - 6[ ] 0, + [ .
EXERCICE N°6 :
Soit la fonction numérique f définie sur IR par : f ( x ) =
1
2x
x
si x ≤ 0.
f ( x ) =
x
x1cos 
si x > 0
1°/ a) Calculer
x
lim
f ( x ).
b) Vérifier que pour tout x [0, + [ , on a :
x
2
≤ f ( x ) ≤ 0.
c) En déduire la limite de f en + .
2°/ Montrer que f est continue en 0.
EXERCICE N° 7 :
Dans le graphique (Figure 1 page 3) (C) est la courbe représentative, dans un repère orthonormé (O,
i
,
j
),
d’une fonction f définie sur Df et admettant les droites
321, et
comme asymptotes.
1°/ Par une lecture graphique :
a) Déterminer Df.
b) Les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
c)
x
lim
( f ( x ) – x ) et
x
lim
( f ( x ) - x). Justifier les réponses.
2°/ Soit la fonction g définie par g ( x ) =
)(
1xf
.
a) Déterminer l’ensemble de définition de g.
b) Montrer que g est prolongeable par continuité en 2 et en -2. Définir ce prolongement.
EXERCICE N° 8 :
Dans le graphique (Figure 1 page 3) (C) est la courbe représentative, dans un repère orthonormé (O,
i
,
j
),
d’une fonction f .
1°/ Par une lecture graphique :
a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f.
b)
 )4(
lim
x
f (x) ;
2
lim
x
f(x) ;
2
lim
x
f (x) ;
2
lim
x
f (x) et
x
lim
f (x).
c) f (]-4, -1[) et f ([2, + [).
Série d’exercices : continuité et limites 2 Dhahbi . A

Série d’exercices : 4éme Maths
2°/ Soit la fonction g définie par : f (x) si x < 2
g ( x ) =
f(x) =
4
2
2
x
x
+ b si x > 2
a) Montrer que pour tout x [2, + [, g (x) =
24
2
x
x
+ b. En déduire
2
lim
x
g (x).
b) Déterminer b pour que g soit prolongeable par continuité. Définir ce prolongement.
Pour une bonne réussite
Signature : Dhahbi.A
Série d’exercices : continuité et Limites 3 Dhahbi . A

4éme Année *** Section : Mathématiques
Série d’exercices N°2
Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893
Continuité et limites
Rappel de cours
Théorème : L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires.
Soit f une fonction continue sur [a,b] . Soit [m , M ] = f ( [a,b] ) alors k [m , M ], il existe au moins
un x0  [a,b] tel que f ( x0 ) = k
COROLAIRE : si f est continue sur[a,b] et si f(a).f(b) < 0 ) alors ( il existe au moins un c  ]a,b[ / f(c) = 0
Théorème : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soit a et b deux réels
donnés de I tels que a < b. Alors pour tout réels k compris entre f ( a ) et f ( b ) l’équation f ( x ) = k admet
une solution unique dans [ a,b].n
EXERCICE N°1 :
Soit la fonction f définie sur IR par f ( x ) = x³ + 3x – 1
1°/ Montrer que f est strictement croissante sur IR.
2°/ Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution a dans l’intervalle [0 ,1].
3°/ Donner une valeur approché de a à 10-1 prés.
EXERCICE N°2 :
Soit la fonction f définie sur IR par f (x) =
x
-
x
1
- 1.
1°/ Montrer que f est strictement croissante sur] 0, + [. Déterminer f (]0, + [).
2°/ Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution a dans l’intervalle [2 ,3].
3°/ Donner une valeur approché de a à 10-1 prés.
4°/ Représenter dans un repère orthogonal, les fonctions g et h définie sur ]0, + [ par :
g ( x ) =
x
- 1 et h ( x ) =
x
1
.Vérifier le résultat des questions 1°/ a) et 2°/ .
EXERCICE N°3 :
Soit la fonction f définie sur [ 0, 1] par f ( x ) = cos(
2
x)
1°/ a) Montrer que f est strictement décroissante sur [0, 1].
b) En déduire que f( [0,1]) = [ 0,1]
2°/ On pose g ( x ) = f ( x ) - x.
a) Déterminer le signe de g ( 0 ) . g ( 1 ).
b) En déduire que l’équation f ( x ) = x admet une unique solution a dans l’intervalle [0 ,1].
3°/ Donner une valeur approché de a à 10-1 prés.
Série d’exercices : continuité et limites 1 Dhahbi . A

Série d’exercices : 4éme Maths
EXERCICE N°4 :
Soit la fonction f définie sur IR par f ( x ) = tanx - x – 1.
1°/ Montrer que f est strictement croissante sur [0,
2
[.
2°/ Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle ] 0 ,
2
[
3°/ Donner une valeur approché de α à 10-1 prés.
EXERCICE N° 5 :
Soit la fonction numérique f définie sur IR par : f ( x ) = x2sin(
x
) + 1 si x < 0.
f ( x ) =
x
x
2
2
si x > 0
1°/ a) Montrer que pour tout réel x strictement négatif, on a : x ≤ x sin(
x
) ≤ -x .
b) En déduire que pour tout réel x strictement négatif, on a : - x2 + 1 ≤ f ( x ) ≤ x2 + 1 .
c) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0.
2°/ Calculer
x
lim
f (x) puis montrer que
x
lim
f (x) = -1.
3°/ Montrer qu’il existe un réel x0 ] -2, -1[ tel que f (x0) = 0.
4°/ a) Vérifier que pour tout réel x strictement positif, f ’(x) =
2
)2(
2
xx 
.
b) Montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution α. En déduire que α ] 0,1[.
EXERCICE N° 6 :
Dans le graphique ci- contre :
C est la courbe représentative, dans un repère
orthonormé ( O ,
i
,
j
), d’une fonction f
définie sur IR par f ( x ) = x3 – 3x.
1°/ Justifier, graphiquement, que l’équation
f ( x ) = 3 admet une solution unique x0
dans IR et en donner un encadrement à 10-1 prés.
2°/ Déterminer les abscisses des points d’intersection de (C) et la droite ’ : y = 2
EXERCICE N° 7:
Dans le graphique ci- contre :
C est la courbe représentative, dans un repère
orthonormé (O,
i
,
j
), d’une fonction
f définie sur IR par f ( x ) = -
2
1
x4 + 2x2 - 1.
1°/ Justifier, que f est continue sur IR.
2°/ a) Calculer f (-2) et f(-1) .
b) En déduire que l’équation f ( x ) = 0
admet au moins une solution dans [-2, -1].
Pour une bonne réussite
Série d’exercices : continuité et limites 2 Dhahbi . A