3. réciproque du théorème de pythagore

Collège La Forêt 4G1 – LE THEOREME DE PYTHAGORE
Activité 1 Carré et racine carrée
1. RAPPEL : TRIANGLE RECTANGLE
Définition
On dit qu’un triangle est rectangle quand l’un de ses 3 angles est droit.
Exemple
ABC est un triangle rectangle en A.
Æ;
BAC est l’angle droit.
[AB] et [AC] sont les cotés de l’angle droit.
[BC] est l’hypoténuse, c’est le plus grand côté.
2. THÉORÈME DE PYTHAGORE
Activité 2
Le théorème direct de Pythagore
Si un triangle est rectangle alors le carré de l’hypoténuse est égal à la
somme des carrés des 2 autres côtés.
SI ABC est rectangle en A ALORS on a : BC² = AB² + AC²
Exemple
TRI est un triangle rectangle en R avec TR = 6 cm et RI = 8 cm. Calculer TI.
On a alors :
TI² = TR² + RI²
TI² = 6² + 8²
TI² = 36 + 64
TI² = 100 donc (en utilisant la touche de la machine)
TI = 100 = 10 cm.
Remarque
Le théorème direct de Pythagore sert à calculer une longueur
Exemple
DEF est un triangle rectangle en E avec DE = 15 cm et DF = 39 cm. Calculer EF.
3. RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE
La réciproque du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle le carré d’un côté est égal à la somme des carrés
des 2 autres côtés, alors ce triangle est rectangle
SI dans le triangle ABC on a : BC² = AB² + AC² ALORS ABC est rectangle en A
Exemple :
TOC est un triangle tel que TO=7,7 cm, OC = 3,6 cm et TC = 8,5 cm.
On calcule :
D’une part : TC² = 8,5² = 72,25
D’autre part : TO² + OC² = 7,7² + 3,6² = 59,29 + 12,96 = 72,25
Puisque TC² = TO² + OC²,
Alors d’après la réciproque de Pythagore le triangle TOC est rectangle en O
Remarques
1. La réciproque du théorème de Pythagore sert à prouver qu’un triangle est rectangle
2. Si le carré du plus grand coté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres cotés, alors
le triangle n’est pas rectangle, d’après le théorème direct.
B
A
c
B
A
c
T
R
I
8 cm
6 cm
T
0
C
7,7 cm
3,6 cm
8,5 cm
B
A
C
L‘hypoténuse
Les côtés de l’angle droit
L‘angle droit