MN - Question de logique

Mauvaise Nouvelle - Question de logique
Question de logique
Par Guillaume de Mazalle
Une fois n'est pas coutume, Mauvaise Nouvelle parle mathématiques. La zone d'écriture et donc d'essai a fait
fleurir des réflexions de logique dans les esprits des commentateurs d' un article politique de C. Auzies
. Poursuivons un instant ces réflexions.
Des axiomes
La démarche mathématique consiste à raisonner à partir de propositions initiales, considérées comme vraies.
Longtemps, ces propositions ont été appelées axiome , c'est-à-dire, une vérité évidente en elle-même qu'il est
inutile et impossible de prouver. L'exemple le plus célèbre étant "le plus court chemin d'un point à un autre est la
ligne droite". Depuis le XIX ème siècle, cet énoncé n'est plus considéré comme exact, puisqu'il ne s'applique pas
dans les espaces courbes : le plus court chemin entre Paris et Marseille est une courbe, par exemple. Désormais,
la droite n'est le plus court chemin entre deux points que dans le cas d'un espace dit "euclidien", espace qu'Euclide
utilisait déjà, mais implicitement sans l'avoir défini.
Une fois cette logique assimilée, il devient possible de définir une multitude de théories basées sur quelques
propositions, avec pour seule condition l'absence de contradictions entre ces propositions, en un mot une sorte de
"cohérence". Bien évidemment, les mathématiques étant au service des sciences, ces propositions cherchent à
retranscrire, à modéliser une observation, et sont les hypothèses, de la physique notamment. Il n'est donc pas
l'affaire du mathématicien de trancher la véracité des propositions. On notera, d'ailleurs, que les objets
mathématiques les plus étranges sont nés de théories physiques et spécialement de la relativité générale, pour
laquelle ont été créés les espaces de Minkowski, où le temps est une dimension au même titre que l'espace.
La logique pure
Au milieu du XIX ème siècle, le mathématicien britannique George Boole donne naissance à une nouvelle branche
des mathématiques qui s'intéresse à la logique pure. Celle-ci ne se développera que très peu du vivant de son
fondateur, avant de connaitre son essort un siècle plus tard avec l'arrivée de l'informatique, qui ne connait que le
vrai et le faux, le 1 et le 0.
L'algèbre de Boole formalise des règles de calculs et énonce des théorèmes qui facilitent l'analyse des
propositions, et permet son automatisation. Les bases de données constituent l'élément le plus marquant de ce
traitement de masse. Celles-ci permettent d'effectuer des opérations prédéfinies sur les données qu'on lui fournit,
c'est-à-dire que le mode de traitement, la logique du calcul existe en dehors et avant même que les données lui
soient fournies.
Toutefois, depuis la Grèce antique, bien avant George Boole, la réflexion déductive est à la base des techniques
mathématiques. Ainsi, la simple application d'un théorème repose sur elle, sur le syllogisme. Voyons un exemple
avec le bien connu théorème de Pythagore :
Tout triangle rectangle a une hypoténuse telle que la mesure de son carré est égale à la somme des carrés
des mesures des deux autres côtés.
● Le triangle que l'on étudie est un triangle rectangle.
● Donc le triangle que l'on étudie a une hypoténuse telle que la mesure de son carré est égale à la somme des
carrés des mesures des deux autres côtés.
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