I – Résoudre les équations et inéquations et systèmes suivants :

Exercices sur les exponentielles
Exercice I – Résoudre les équations et inéquations et systèmes suivants :
e2x – ex –12 > 0 ; ex –3 e –x –4 = 0 ;

5
5
e x .e y  a ²
e3x  e2 x  e x   0 ; 
;
2
2

xy

1

e x  y  12

 xy 4 ;

e
3

2
1
e x  2 x 1  a (a  R ) ; 2 y  e x  ( y R )
ex
Exercice II – Vérifier que
2e x  1
x
2e  5

2  e x
2  5e
 1
x
6
x
2e 5
pour tout réel x.
Exercice IiI. Déterminer l'ensemble de définition de f
1
2
a) f x   e x 1 b) f x   e x
f) f x  e x  3
e) f x   ln (e x  2)
ex
i) f x  
3x
e
x
d) f x  
1
g) f x  
e
x
2
5
e
x
1
h) f x   ln
ex  2
ex  1
ex  1
1

ex  1
; c) f x  
ln (e x  2)
Exercice IV. Vérifier que pour tout x appartenant au domaine de définition :
a)
c)
2e x  1

2e x  5
2e x  1
2e
x

5
2  e x
2  5e  x
2  e x
2  5e
x
1
1
6
2e x  5
6
2e x 5
b)
4e x
2e x  3

4
2  3e  x
2
6
2e x  3
pour tout réel x.
Exercice V – Calculer les limites suivantes :
lim
ex
x   x2
lim
x 0
; lim
ex 1
x  
esin x  1
sin x
x
; lim
; lim
e 3x
x   x
(ex  1)
x   x2  1
; lim
; lim
e3x  1
3x
x 0
ex  e
x 1 x  1
; lim
x 0
2
e3x  2ex
; lim ex  x ; lim e x 1  ex ;lim
x  
x  ex  2
x  
ex  1
x
; lim
x 0
ex  3  e3
x2  x
; lim
ex  1
x   ex  2
Exercice VI – Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
x
fx )  xe  e
x
x 2
x
; f ( x )  (e ) ; f ( x )  e  1 ; f ( x ) 
1
ex
Exercice VII – Déterminer toutes les primitives de chacune des fonctions
suivantes :
2
e3 x  1
ex
; f (x) 
;
f (x)  e x ; f (x)  2xe x ; f (x)  (2x  1)ex  x 3; f ( x ) 
ex
1  ex
2
Exercice VII- a)Calculer les intégrales suivantes:
1
x 
ex
1
2
dx ;
( x  1)e x dx
b) A l'aide de deux intégrations par parties calculer:
1
 x e dx ; 
2
3
4
 4
0
e x cos xdx
Exercice IX – Variations et courbe :
f (x)  e
x
; f (x)  e
f (x )  e x ; f (x ) 
2
x 2 x
x
; f (x)  e  e
x
1
x
; f ( x )  e x ; f ( x )  x  ln (2  e ) ; f ( x ) 
1
ex
; f (x)  x ex ; f (x)  x e x ; f (x) 
x2
Exercice X – a ) Démontrer que  xIR ; -1 <
b) Etudier les variations de f : x  f ( x ) 
ex  1
ex  1
e2x  1
e2x  1
e2x  1
e2x  1
x 1
e x 2
<1
(de IR dans ]-1,1[ ) et
tracer sa courbe représentative.
c) Montrer que f admet un réciproque g. Pour un y donné dans ]-1,1[ ,
calculer g(y)
d) Montrer que g est dérivables sur ]-1,1[ et calculer g ' (y).
Exercice XI- Dans cet exercice, on se propose d'encadrer l'intégrale
K
1 x 2

e
dx
0 1 x
1. En étudiant les variations des fonctions g et h définies respectivement par :
g(x)=e-x+x-1 et h(x) = 1- x +x²/2 -e-x sur l'intervalle [0 ; 1], démontrer que
1 x  e
x
x2
pour tout x de [0 ; 1].
 1 x 
2
2. Déduire de 1. un encadrement de e  x pour x élément de [0 ; 1] puis montrer
que pour tout x de
2
e x
x4
 1 x 
[0 ; 1] , on a 1  x 
.
1 x
2(1  x )
2
x4
1
 x3  x 2  x  1 
1 x
1 x
1
5 ln 2
K

b) déduire alors de 2. que
. Déduire un encadrement de K à
2
24
2
3. a) Montrer que pour tout x de [0 ; 1]:
3.10-2.
1
Exercice XII - On considère la suite ( u n ) définie pour n IN* par
u n  e2n 1
1- Montrer que cette suite est une suite géométrique dont on donnera la raison
n
2- On pose Sn  u1  ...  u n 
u
i
i 1
Exprimer Sn en fonction de n
Déterminer la valeur minimale de n telle que Sn  106
n
a) On pose vn  ln u n . Calculer S'n

v
i
i 1
b) Calculer le produit Pn  u1.........u n
1
Exercice XIII - On considère la fonction f définie par f(x)= e 2 x
Partie A : Etudier les variations de f et tracer la courbe (C) représentative de f
 
dans un repère ( O ; i , j ) . té 2 cm.
Partie B
1- a) Etudier le sens de variation de g : x  g(x)= f(x)-x
b) En déduire que l'équation f(x) = x admet une solution positive unique 
Etablir que
5
3

4
2
5 3
2- a) Prouver que pour tout élément x de J=  ,  f(x) appartient aussi à J
4 2
b) Démontrer que, pour tout élément x de , f ' ( x ) 
c) En déduire que, pour tout élément x de : f ( x )  
1
2

1
x
2
5
et pour tout n  IN, u n 1  f (u n )
4
1
a) Montrer, à l'aide de 2)a) que pour tout entier n u n 1    u n  
2
1
b) En déduire que, pour tout u n   
2n  2
3-
On considère la suite définie par :
u0 
c) Déterminer un entier n tel que un soit une valeur approchée de  à 10-3 près.
Exercice XIV- Ne connaissant pas de primitive de la fonction f définie par
f(x) 
I
e x
, on se propose de calculer une valeur approchée de l'intégrale
1x
1 e x
2
dx .
0 1x

1
2
1.- Montrer que pour tout réel x de [0 ; ] , 1  f(x) 
1
2
2.- a) démontrer que pour tout x de [0 ; ] ,
b) En déduire que I 
c) Calculer J 
d) Déduire de
2
x
..
1
x2
.
1 x 
1x
1x
1
1
2 (1  x)e  x dx 
2 x 2 f(x)dx .
0
0


1
2 (1  x)e  x dx
0
1
1
1
 2 x 2 f(x)dx 
1) que
0
24
12 e


.
Exercice XV- A- On considère la fonction numérique g définie par g(x)  e x  ln x .
1.- Etudier les variations de g.
2.- Etudier les branches infinies de la courbe représentative C de g
3.- Tracer C.
4.- Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique x0. En déduire le
signe de g(x).
déterminer l'entier n tel que
n
n1
 x0 
100
100
x


B.- Considérons la fonction f définie par f(x)  e  x(1  ln x) si x  1

 f(0)  1
Soit C' sa courbe représentative
1.- Etudier la continuité et la dérivabilité de f.
Préciser la tangente à sa courbe au point d'abscisse 0.
2.- Etudier la branche infinie.
3.- Etudier les variations de f. Montrer que f(x0)= - x0 + (x0 -1) ln x0.
Donner une valeur approchée à 10 – 1 près de f(x0).
4. Tracer C'.
5.- Calculer S() 
1
 f(x)dx
où   0;1.
Déterminer la limite de S() lorsque  tend vers 0.
Exercice XVI- Soit f la fonction définie par
1

f(x)  e ln x si x  0 et x  1

f(0)  1
f(1)  0


a) Etudier la continuité de f en 0 et en 1.
b) Déterminer les limites suivantes
lim f(x) , lim
x  
x  0
f(x)  1
x
; lim
f(x)
x 1 x  1
.
c) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation
d) Représenter f dans un repère orthonormé.