I – Résoudre les équations et inéquations et systèmes suivants :

Exercices sur les exponentielles
Exercice I – Résoudre les équations et inéquations et systèmes suivants :
e2x – ex –12 > 0 ; ex –3 e –x –4 = 0 ;
;
3
4
e
12e
;
1xy
²ae.e
;0
2
5
ee
2
5
eyx
yx
yx
xx2x3
)Ry(
e
1
ey2;)Ra(ae x
x1x2x2
Exercice II – Vérifier que
5e2
6
1
e52
e2
5e2
1e2 xx
x
x
x
pour tout réel x.
Exercice IiI. Déterminer l'ensemble de définition de f
a)
1x2
exf 
b)
x
1
exf 
; c)
1e
x3
xf x
d)
1e
5
xf x
e)
)2e(lnxf x
f)
3exf x
g)
2e
2e
xf x
x
h)
1e
1e
lnxf x
x
i)
)2e(ln
1
1e
e
xf xx
x
Exercice IV. Vérifier que pour tout x appartenant au domaine de définition :
a)
5e2
6
1
e52
e2
5e2
1e2
xx
x
x
x
b)
3e2
6
2
e32
4
3e2
e4
xxx
x
c)
5e2
6
1
e52
e2
5e2
1e2
xx
x
x
x
pour tout réel x.
Exercice V – Calculer les limites suivantes :
2e
e2e
lim;eelim;xelim;
x3
1e
lim;
x
e
lim;
x
e
lim;
x
e
lim x
xx3
x
x1x
x
x
x
x3
0x
x3
x
1x
x
2
x
x
2
2e
1e
lim;
xx
ee
lim;
x
1e
lim;
1x
ee
lim;
1x
)1e(
lim;
xsin
1e
lim x
x
x
2
33x
0x
x
0x
x
1x
2
x
x
xsin
0x 
Exercice VI – Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
x
1
x2xxx e)x(f;1e)x(f;)e()x(f;exe)fx  
Exercice VII – Déterminer toutes les primitives de chacune des fonctions
suivantes :

;e)1x2()x(f;xe2)x(f;e)x(f 3xxxx 2 
x
x
x
x3
e1
e
)x(f;
e
1e
)x(f 
;
Exercice VII- a)Calculer les intégrales suivantes:
 dxe)1x(;dx
x
ex
2
12
x
1
b) A l'aide de deux intégrations par parties calculer:
4
3
4
xdxcose;dxex x
1
0
2
Exercice IX – Variations et courbe :
1e
1e
)x(f;ex)x(f;ex)x(f;
2xe
)x(f;e)x(f
1e)x(f;)e2(lnx)x(f;e)x(f;ee)x(f;e)x(f;e)x(f
x
x
x
1
x
x
x
2x 1x
x
x
1
xxxx
x
2
2
Exercice X – a ) Démontrer que  xIR ; -1 <
1e
1e x2
x2
< 1
b) Etudier les variations de f : x
1e
1e
)x(f x2
x2
(de IR dans ]-1,1[ ) et
tracer sa courbe représentative.
c) Montrer que f admet un réciproque g. Pour un y donné dans ]-1,1[ ,
calculer g(y)
d) Montrer que g est dérivables sur ]-1,1[ et calculer g ' (y).
Exercice XI- Dans cet exercice, on se propose d'encadrer l'intégrale
1
0
xdx
x1
e
K
2
1. En étudiant les variations des fonctions g et h définies respectivement par :
g(x)=e-x+x-1 et h(x) = 1- x +x²/2 -e-x sur l'intervalle [0 ; 1], démontrer que
2
x
x1ex1 2
x 
pour tout x de [0 ; 1].
2. Déduire de 1. un encadrement de
2
x
e
pour x élément de [0 ; 1] puis montrer
que pour tout x de
[0 ; 1] , on a
)x1(2 x
x1
x1
e
x1 4x2
.
3. a) Montrer que pour tout x de [0 ; 1]:
x1 1
1xxx
x1
x23
4
b) déduire alors de 2. que
22ln 24
5
K
2
1
. Déduire un encadrement de K à
3.10-2.

Exercice XII - On considère la suite (
n
u
) définie pour n
*
IN
par
1n2
neu 
1- Montrer que cette suite est une suite géométrique dont on donnera la raison
2- On pose
n
1i
in1n uu...uS
Exprimer
n
S
en fonction de n
Déterminer la valeur minimale de n telle que
6
n10S
a) On pose
nn ulnv
. Calculer
n
1i
i
'nvS
b) Calculer le produit
n1n u.........uP 
Exercice XIII - On considère la fonction f définie par f(x)=
x2
1
e
Partie A : Etudier les variations de f et tracer la courbe (C) représentative de f
dans un repère (
j,i;O 
) . té 2 cm.
Partie B
1- a) Etudier le sens de variation de g : x g(x)= f(x)-x
b) En déduire que l'équation f(x) = x admet une solution positive unique
Etablir que
2
3
4
5
2- a) Prouver que pour tout élément x de J=
2
3
,
4
5
f(x) appartient aussi à J
b) Démontrer que, pour tout élément x de ,
2
1
)x('f 
c) En déduire que, pour tout élément x de :
 x
2
1
)x(f
3- On considère la suite définie par :
)u(fu,INntoutpouret
4
5
un1n0  
a) Montrer, à l'aide de 2)a) que pour tout entier n
n1n u
2
1
u
b) En déduire que, pour tout
2n
n2
1
u
c) Déterminer un entier n tel que un soit une valeur approchée de  à 10-3 près.
Exercice XIV- Ne connaissant pas de primitive de la fonction f définie par
x1
e
)x(f
x
, on se propose de calculer une valeur approchée de l'intégrale
2
1
0
x
dx
x1
e
I
.

1.- Montrer que pour tout réel x de
]
2
1
;0[
,
x
2
)x(f1 
..
2.- a) démontrer que pour tout x de
]
2
1
;0[
,
x1
x
x1
x1
12
.
b) En déduire que
2
1
0
2
1
0
2x dx)x(fxdxe)x1(I
.
c) Calculer
 2
1
0
xdxe)x1(J
d) Déduire de 1) que
 2
1
0
2
e12
1
dx)x(fx
24
1
.
Exercice XV- A- On considère la fonction numérique g définie par
xlne)x(g x
.
1.- Etudier les variations de g.
2.- Etudier les branches infinies de la courbe représentative C de g
3.- Tracer C.
4.- Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique x0. En déduire le
signe de g(x).
déterminer l'entier n tel que
100
1n
x
100
n0
B.- Considérons la fonction f définie par
1)0(f
1xsi)xln1(xe)x(f x
Soit C' sa courbe représentative
1.- Etudier la continuité et la dérivabilité de f.
Préciser la tangente à sa courbe au point d'abscisse 0.
2.- Etudier la branche infinie.
3.- Etudier les variations de f. Montrer que f(x0)= - x0 + (x0 -1) ln x0.
Donner une valeur approchée à 10 – 1 près de f(x0).
4. Tracer C'.
5.- Calculer
1;0oùdx)x(f)(S 1 
.
Déterminer la limite de S() lorsque  tend vers 0.
Exercice XVI- Soit f la fonction définie par
0)1(f
1)0(f
1xet0xsie)x(f xln
1
a) Etudier la continuité de f en 0 et en 1.
b) Déterminer les limites suivantes
1x
)x(f
lim;
x
1)x(f
lim,)x(flim
1x0x
x
.
c) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation
d) Représenter f dans un repère orthonormé.