analyse de Fourier orientée traitement du signal

Cours de mathématiques du signal I.U.T. de Blois
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Traitement du signal - généralités
I - Les séries classiques :
1) Les définitions :
Définition : Soit (un) une suite numérique et (sn) la suite des sommes partielles : su
ni
i
in
==
=
∑
0.
On appelle série de terme général (un) que l'on note : un
n=
∞
∑
0 la limite (si elle existe) de la suite
(sn)
u u
n
nni i
in
=
∞
→∞=
=
∑ ∑
=
0 0
lim
Les un sont les termes de la série, la limite (si elle existe) est la somme de la série...
Remarque :
• Si la suite (sn) converge vers S alors : uS
n
n= =
∞
∑
0
• Si la suite (sn) diverge vers +∞ ou -∞ alors la série est divergente vers +∞ ou -
∞
• Si la suite (sn) n'a pas de limite alors la série est aussi divergente
Exemple 1 :
Considérons la suite (un) des nombres impaires qui est une suite arithmétique de premier
terme 1 et de raison 2 alors un=2n+1.
Alors su u n
ni
i
in
i
i
in
= = = +
=
=
=
=
∑ ∑
0 0
2
1( ) et donc
lim
n
n
s
→
∞
=
+∞
et la série est divergente..
Exemple 2 :
Considérons la suite géomètrique (un) de premier terme a et de raison q
(
)
q
≠
±
1
alors :
uaq aq aqq
nni
i
nn
= = = −−
=
+
∑ et sn0
1
11
• Si q
a
q
< = −
∞
∑11 alors u et la série converge
n
n=0
• Si q> =+∞
∞
∑
1 alors u et la série diverge
n
n=0
• Si q< − ∞
∑
1 alors u n'a pas de limite et la série diverge
n
n=0

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2) Propriétés :
Théorème :
(i) Si un
n=
∞
∑
0 est convergente alors
lim
n
n
u
→
∞
=
0
(condition nécessaire mais non suffisante)
(ii) Si
lim
n
n
u
→
∞
≠
0
alors la série un
n=
∞
∑
0 est divergente
(iii) Si un
n=
∞
∑
0 et vn n=
∞
∑
0 sont convergentes alors :
( ) u v
n n
n+ =
∞
∑
0 et λun n=
∞
∑
0 (λ∈R) sont
convergentes et ( ) u v u v
n n
nn nn n
+ = +
=
∞
=
∞
=
∞
∑ ∑ ∑
0 0 0 et λ λu u
n
nn n=
∞
=
∞
∑ ∑
=
0 0
(iv) Si, à partir d'un certain rang, 0≤un≤vn et si vn
n=
∞
∑
0 converge alors un n=
∞
∑
0converge (si de plus
pour toutes valeurs de n : 0≤un≤vn alors un
n=
∞
∑
0≤vn n=
∞
∑
0)
(v) Si, à partir d'un certain rang, un≤vn≤wn et si un
n=
∞
∑
0 et wn n=
∞
∑
0 converge vers le même limite
alors vn
n=
∞
∑
0 est convergente(si de plus pour toutes valeurs de n un≤vn≤wn alors
un
n=
∞
∑
0=vn n=
∞
∑
0=wn n=
∞
∑
0)
(vi) Si la suite (sn) des sommes partielles est une suite croissante majorée alors un
n=
∞
∑
0 est
convergente (ce sera le cas en particulier pour les séries à termes positifs , auquel cas la
croissance est assurée)
Remarque : les critères classiques de convergence seront vus ultérieurement dans le cours de
mathématiques...
3) Les séries absolument convergente :
Définition : Une série un
n=
∞
∑
0est absolument convergente si : un n=
∞
∑
0 est une série convergente
Remarques :
- toute série absolument convergente est évidemment convergente
- la condition (vi) du théorème précédent donne une condition de convergence absolue qui
permet de conclure rapidement dans la plupart des cas, il suffira en effet de chercher un
majorant (indépendant de n) des sommes partielles su
ni
i
n
==
∑
0 pour montrer que la série est
absolument convergente.

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- Attention : il existe des séries convergentes mais non absolument convergentes....
II - Les séries de fonctions :
1) Généralités :
Le terme général d'une série peut dépendre de la variable réelle x. On a alors une série de
fonctions u x
n
n=
∞
∑
0( ). Pour chaque valeur de x, on est ramené à une série numérique ordinaire.
Si, pour chaque x appartenant à un ensemble D, u x
n
n=
∞
∑
0( ) est convergente alors la série définit
une fonction : fDR
xfx u x
n
n
→
→=
=
∞
∑( ) ( )
0
Exemple : Considérons la série de fonctions : u x
x
n n
( ) =
1
défine sur R* alors pour chaque
valeur de x (un(x)) est une série géomètrique de premier terme la fonction u0(x)=1 et de raison
q
x
=
1
. D'après l'étude faite au premier paragraphe la série géomètrique converge pour
q< >1 1 c'est à dire pour x (
]
[
]
[
D=−∞−∪+∞; ;1 1 )
Sur D on a : f(x)= u x
x
x
x
n
n( ) =
∞
∑=−=−
0
1
111
Remarque : Le terme général de la série est défini sur R* et la somme de la série sur
]
[
]
[
D=−∞−∪+∞; ;1 1 sous ensemble de R*
Définition : On dit qu'une série de fonctions u x
n
n=
∞
∑
0( ) est majorable sur un domaine D si et
seulement si il existe une série numérique αn
n=
∞
∑
0 convergente telle que :
∀ ∈ ∀ ∈ ≤nN xD xn un( ) α (en d'autres termes chaque fonction un(x) est majorée par le
terme constant d'une série numérique convergente)

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2) Propriétés
Théorème :
(i) Si la série de fonctions (un(x)) est majorable sur D sur lequel les fonctions un(x) sont
définis et continues alors la série u x
n
n=
∞
∑
0( ) est convergente sur D vers une fonction f
continue sur D
(ii) Si fx u x
n
n
( ) ( )==
∞
∑
0 sur D et si les fonctions un(x) sont définies et dérivables et si la série
u x
n
n'( ) =
∞
∑
0 est majorable alors la série u x
n
n'( ) =
∞
∑
0 est convergente sur D vers f' fonction dérivée
de fx u x
n
n
'( ) '( )==
∞
∑0
(iii) Si u x
n
n=
∞
∑
0( ) est une série de fonctions continues et majorable sur D alors u x dx
n
a
b
n( )
∫
∑
=
∞
0
est convergente et égale à : u x dx
n
n
a
b( )
=
∞
∑
∫0
u x dx u x dx
n
a
b
nn n
a
b
( ) ( )
∫
∑ ∑
∫
=
∞
=
∞
=
0 0
Remarque : Attention cette inversion des symboles de sommations n'est valable que lorsque la
série est majorable....
III - Calcul de quelques intégrales :
1) Formules de trigonomètrie et analyse de fourier
[ ]
[ ]
[ ]
( )
cos(
)
cos
cos
sin
sin
cos( )cos cos sin sin
sin( )sin cos cos sin
sin( )sin cos cos sin
cos cos cos( cos( )
sin sin cos( )cos( )
sin cos sin( )sin( )
cos cos ²sin²cos²sin²
cos²cos (cos )
sin sin cos
cos
a
b
a
b
a
b
ababab
ababab
ababab
ababab
ababab
ababab
a a a a a
a a a
a a a
ax
+
=
−
− = +
+ = +
− = −
= + + −
= − − +
= + + −
= − = − = −
= + −
=
1
2
1
2
1
2
2 2 1 1 2
1
21 2 1 2
2 2
et sin²a=1
2
+ = + −b x ab x b
a
sin ² ² cos( )ϕ ϕ avec tan =

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2) cos cospx qxdx
a
a
+
∫
2
π
(p et q étant deux entiers)
a) p # q
cos cos cos( )cos( )sin( )sin( )
sin( )( ) sin( )sin( )( ) sin( )
px qxdx p q xdx p q xdx p q p q x p q p q x
p q p q ap q p q ap q p q ap q p q a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+ + + + +
∫ ∫ ∫
= + + −
=++ +−−
=++ + − ++
+−− + − −−
=
2 2 2 2 2
1
21 21 1
1
2121 1 210
π π π π π
π π
cos cospx qxdx
a
a+
∫= ≠
20 π pour p q
b)p=q#0
[ ]
[ ]
[ ] cos cos sin sin ( ) sin
2
2 2 2 22
1
221 21 221 21 22 2 2 2pxdx pxdx dx ppx x ppapa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+ + + ++
∫ ∫ ∫
= +
= + = + − + =
π π π πππ π π
cos ²pxdx
a
a+
∫=
2ππ
c)p=q=0
cos cos cos( )cos( )0 0 1
20 0 0 0 1 22
2 2 2 2 2
xxdx xdx xdx dx dx
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
= + + −
= + =
π π π π π π
3) sin sinpx qxdx
−
∫
π
π (p et q étant deux entiers)
a) p
# q
sin sin cos( )cos( )sin( )sin( )
sin( )( ) sin( )sin( )( ) sin( )
px qxdx p q xdx p q xdx p q p q x p q p q x
p q p q ap q p q ap q p q ap q p q a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+ + + + +
∫ ∫ ∫
= − − +
=−− −++
=−− + − −−
−++ + − ++
=
2 2 2 2 2
1
21 21 1
1
2121 1 210
π π π π π
π π
sin sinpx qxdx
a
a+
∫= ≠
20 π pour p q
b)p=q#0
[ ]
[ ]
[ ] sin cos sin sin ( ) sin
2
2 2 2 22
1
221 21 221 21 22 2 2 2pxdx pxdx dx ppx xppapa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+ + + ++
∫ ∫ ∫
= − +
= − + = − + − + =
π π π πππ π
π