AQUISAV - Evaluation

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Métier : CULTURE GÉNÉRALE
Domaine de compétences : SCI-Calcul algébrique
Intitulé de la compétence : Résoudre graphiquement un système d’inéquations du premier degré à deux
inconnues
Code : COM-201007-010933
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EVALUATION
EXERCICE 1
Résoudre graphiquement le système d’inéquations suivant :
EXERCICE 2
Résoudre graphiquement le système d’inéquations suivant :
EXERCICE 3
En utilisant les résultats de l’exercice 2, donner la solution du système suivant :
EXERCICE 4
On désire équiper un atelier avec des rabots électriques à 60 € l’un et des défonceuses à 120 € l’une.
On exige les trois conditions suivantes :
 au moins deux rabots
 plus de défonceuses que de rabots
 la dépense doit être inférieure ou égale à 900 €
Soit x le nombre de rabots et y le nombre de défonceuses :
1) Traduire les contraintes de l’énoncé par un système d’inéquations
2) Résoudre le système et énumérer les solutions possibles.
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EXERCICE 5
On note x la largeur d’une marche d’un escalier en cm et y sa hauteur en cm.
On admet qu’une marche d’escalier correspond aux normes lorsqu’elle vérifie
le système d’inéquations suivant :
1) Tracer, dans le plan rapporté au repère ci-dessous, la droite D d’équation y = 25 – 0,5x.
2) La partie hachurée sur le repère correspond à la partie du plan qui n’est pas solution du
système :
Compléter la résolution graphique du système d’inéquations en hachurant sur le repère qui
n’est pas solution de l’inéquation y 25 – 0,5x
3) Les marches de l’escalier menant au grenier d’une maison mesurent 28,5cm de large et 19cm
de haut. En utilisant la représentation graphique figurant sur le repère, préciser si ces marches
sont aux normes ou non.
4) Les marches de l’escalier d’entrée de la maison mesurent 37cm de large et 14cm de haut. En
utilisant la représentation graphique figurant sur le repère, préciser si ces marches sont aux
normes ou non.
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EXERCICE 6
Une entreprise fabrique deux objets A et B. Les coûts de la matière première et de la main d’œuvre
pour chaque objet sont mentionnés dans le tableau suivant :
Objet A
30€
100€
Coût de la matière première
Coût de la main d’œuvre
Objet B
60€
75€
On note x le nombre d’objets A et y le nombre d’objets B fabriqués en une journée.
1) Ecrire une relation traduisant la contrainte : « la dépense journalière en matière première ne
doit pas dépasser 540€ ».
2) Montrer que cette relation peut s’écrire : x + 2y
18
3) Montrer que l’équation x + 2y = 18 peut s’écrire y = -0,5x + 9
4) Dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité graphique 0,5cm, tracer la droite d’équation
y = -0,5x + 9.
5)
Résoudre graphiquement l’inéquation y
solution de l’inéquation.
-0,5x + 9 : hachurer la partie du plan qui n’est pas
6) La contrainte « la dépense journalière en main d’œuvre ne doit pas dépasser 1 275€ » revient à
résoudre l’inéquation : y
x + 17. Hachurer d’une couleur différente la partie du plan qui
n’est pas solution de cette inéquation.
7) Les deux contraintes se ramènent au système :
En exploitant le graphique, répondre aux questions suivantes :
L’entreprise peut-elle fabriquer, en une journée :
a) 9 objets A et 4 objets B ?
b) 7 objets A et 6 objets B ?
Justifier dans chaque cas la réponse en plaçant les points correspondants.
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EXERCICE 7
Pour pouvoir positionner un réservoir dans son emplacement, ses dimensions doivent respecter les
conditions suivantes :
 La largeur x du réservoir est inférieure ou égale à 60cm.
 La hauteur y du réservoir est inférieure ou égale à 60cm.
L’objectif est de fabriquer, à partir d’une plaque de tôle, un réservoir ayant la forme d’un
parallélépipède rectangle avec un volume maximal.
La base B de ce volume, est grisée sur le schéma ci-contre.
Les dimensions de ce réservoir sont :
 x : la largeur en cm,
 y : la hauteur en cm,
 Profondeur : 80cm.
1) La tôle dans laquelle le réservoir est découpé est de forme rectangulaire de largeur 120cm. Le
périmètre de la base B doit donc être inférieur ou égal à 120cm.
Traduire cette condition par une inégalité.
2) Représenter, dans un repère orthonormé, la droite D d’équation x + y=60.
3) Dans le repère, hachurer l’ensemble des points qui n’est pas solution vérifiant les inéquations
suivantes :
4) Est-il possible de fabriquer les réservoirs R1, R2 et R3 avec les dimensions de base ci-dessous ?
a) R1 : largeur de 50cm et hauteur de 40cm.
b) R2 : largeur de 30cm et hauteur de 30cm.
c) R3 : largeur de 20cm et hauteur de 35cm.
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CORRIGE
EXERCICE 1
Résoudre graphiquement le système d’inéquations suivant :

Première inéquation : y < x + 3
La droite correspondant à cette inégalité est y = x + 3
x
y
-2
1
0
3
2
5
On colorie en vert la région du plan qui n’est pas solution, c'est-à-dire le plan situé au
dessus de la droite d’équation y = x + 3 car le signe de l'inéquation est "<" donc les
couples (x ; y) solutions sont situés en dessous de la droite.
 Deuxième inéquation : y >
x +1
La droite correspondant à cette inégalité est y =
x
y
-2
2
0
1
x+1
4
-1
On colorie en jaune la région du plan qui n’est pas solution, c'est-à-dire le plan situé en
dessous de la droite d’équation y = x + 3 car le signe de l'inéquation est ">" donc les
couples (x ; y) solutions sont situés au dessus de la droite.
 Troisième inéquation : y < - 2x +7
La droite correspondant à cette inégalité est y = -2x + 7
x
y
0
7
2
3
4
-1
On colorie en rose la région du plan qui n’est pas solution, c'est-à-dire le plan situé au
dessus de la droite d’équation y = x + 3 car le signe de l'inéquation est "<" donc les
couples (x ; y) solutions sont situés en dessous de la droite.
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L’ensemble solution est l’ensemble des couples
des coordonnées des points de la partie non
coloriée, c'est-à-dire les points qui sont à
l’intérieur du triangle blanc, non compris les
côtés du triangle (les inégalités sont strictes).
EXERCICE 2
Résoudre graphiquement le système d’inéquations suivant :

Première inéquation : 2x – y + 5 > 0
L’inéquation 2x – y + 5 > 0 peut s’écrire y < 2x + 5
La droite correspondant à cette inégalité est y = 2x + 5
x
y
-2
1
-1
3
0
5
On colorie en vert la région du plan qui n’est pas solution, c'est-à-dire le plan situé au
dessus de la droite d’équation y = 2x + 5 car le signe de l'inéquation est "<" donc les
couples (x ; y) solutions sont situés en dessous de la droite.
Vérification :
On choisit un point qui n’appartient pas à la partie colorée en vert, par exemple le
point A(0 ; 0).
2xA – yA + 5 = 2 x 0 - 0+ 5 = 5 > 0 donc 2xA – yA + 5 > 0.
Les coordonnées du point A vérifient les conditions de l’inéquation.
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
Deuxième inéquation : 2x + y – 5 < 0
L’inéquation 2x + y - 5 > 0 peut s’écrire y > - 2x + 5
La droite correspondant à cette inégalité est y = - 2x + 5
x
y
0
5
1
3
2
1
On colorie en rose la région du plan qui n’est pas solution, c'est-à-dire le plan
situé au dessous de la droite d’équation y = -2x + 5 car le signe de l'inéquation est ">"
donc les couples (x ; y) solutions sont situés au dessus de la droite.
Vérification :
On choisit un point qui n’appartient pas à la partie colorée en rose, par exemple le
point A (0 ; 0).
2xA + yA – 5 = 2 x 0 + 0 – 5 = -5 donc 2 xA + yA – 5 < 0.
Les coordonnées du point A vérifient la condition de l’inéquation.

Troisième inéquation : y > - 1
La droite correspondant à cette inégalité est y = - 1
Tous les points dont l’ordonnée est égale à -1 appartiennent à cette droite, ce qui
donne une droite parallèle à l’axe des abscisses.
On colorie en jaune la région du plan qui n’est pas solution, c'est-à-dire le plan située
en dessous de la droite y = -1.
Vérification :
On choisit un point n’appartenant pas à la droite : A (0 ; 0)
yA = -1 donc yA > - 1. Les coordonnées du point A vérifient la condition de
l’inéquation.
L’ensemble solution est l’ensemble des couples des
coordonnées des points de la partie non coloriée,
c'est-à-dire les points qui sont à l’intérieur du triangle
blanc, non compris les côtés du triangle
(les inégalités sont strictes).
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EXERCICE 3
En utilisant les résultats de l’exercice 2, donner la solution du système suivant :
L’ensemble solution est l’ensemble des couples des coordonnées des points de la partie non
coloriée, c'est-à-dire les points qui sont à l’intérieur du triangle blanc, y compris les segments
[B C] et [BD] et non compris le segment [CD].
EXERCICE 4
On désire équiper un atelier avec des rabots électriques à 60 € l’un et des défonceuses à 120 €
l’une. On exige les trois conditions suivantes :
 au moins deux rabots
 plus de défonceuses que de rabots
 la dépense doit être inférieure ou égale à 900 €
Soit x le nombre de rabots et y le nombre de défonceuses :
1) Traduire les contraintes de l’énoncé par un système d’inéquations
Contraintes de l’énoncé :
2) Résoudre le système et énumérer les solutions possibles.
Résolution du système

Première inéquation : x ≥ 2
La droite correspondant à cette inégalité est x = 2.
Tous les points du plan dont l’abscisse est égale à 2 appartiennent à cette droite qui
est parallèle à l’axe des ordonnées.
Tous les points du plan dont l’abscisse est inférieure à 2 ne vérifient pas
l’inéquation donc on colorie en vert le demi-plan à gauche de la droite.

Deuxième inéquation : y > x
La droite correspondant à cette inégalité est x = 2.
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x
y
0
0
2
2
4
4
On colorie la région du plan qui n’est pas solution, c'est-à-dire le plan situé en dessous
de la droite y = x.
Vérification :
On choisit un point qui appartient à la partie colorée en rose, par exemple le point
E(4 ; 2).
xE = 4 et yE = 2 donc yE < xE .
Les coordonnées du point E ne vérifient pas la condition posée par l’inéquation.

Troisième inéquation : 60 x + 120 y ≤ 900
L’inéquation 60x + 120y ≤ 900 peut s’écrire y ≤ 7,5 – 0,5x
La droite correspondant à cette inégalité est y = 7,5 – 0,5x
x
y
0
7,5
1
7
3
6
On colorie en jaune la région du plan qui n’est pas solution, c'est-à-dire le plan situé au
dessus de la droite d’équation y = 7,5 – 0,5x.
Vérification :
On choisit un point qui n’appartient pas à la partie colorée en jaune, par exemple le
point F (5 ; 7).
60xF + 120yF = 60 x 5 + 120 x 7= 1140 donc 60 xF + 120yF > 900.
Les coordonnées du point F ne vérifient pas la condition de l’inéquation.
Il y a huit solutions pour respecter les contraintes représentées par les points suivants :
REMARQUE : on ne prend que des nombres entiers, car il s’agit de nombres de machines !
K : 2 rabots et 6 défonceuses
L : 2 rabots et 5 défonceuses
M : 2 rabots et 4 défonceuses
N : 2 rabots et 3 défonceuses
O : 3 rabots et 4 défonceuses
P : 3 rabots et 5 défonceuses
Q : 3 rabots et 6 défonceuses
R : 4 rabots et 5 défonceuses
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Le point N correspond à la dépense minimale : 480 €
Le point Q correspond à la dépense maximale : 900 €
EXERCICE 5
On note x la largeur d’une marche d’un escalier en cm et y sa hauteur en cm.
On admet qu’une marche d’escalier correspond aux normes lorsqu’elle vérifie
le système d’inéquations suivant :
1) Tracer, dans le plan rapporté au repère ci-dessous, la droite D d’équation y = 25 – 0,5x.
2) La partie hachurée sur le repère correspond à la partie du plan qui n’est pas solution du
système :
Compléter la résolution graphique du système d’inéquations en hachurant sur le repère qui
n’est pas solution de l’inéquation y 25 – 0,5x
Voir graphique ci-dessus.
3) Les marches de l’escalier menant au grenier d’une maison mesurent 28,5cm de large et 19cm
de haut. En utilisant la représentation graphique figurant sur le repère, préciser si ces marches
sont aux normes ou non.
Le point de coordonnées (28,5 ; 19) appartient à la partie hachurée donc ces marches ne sont
pas aux normes.
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4) Les marches de l’escalier d’entrée de la maison mesurent 37cm de large et 14cm de haut. En
utilisant la représentation graphique figurant sur le repère, préciser si ces marches sont aux
normes ou non.
Le point de coordonnées (37 ; 14) n’appartient pas à la partie hachurée donc ces marches
sont aux normes.
EXERCICE 6
Une entreprise fabrique deux objets A et B. Les coûts de la matière première et de la main d’œuvre
pour chaque objet sont mentionnés dans le tableau suivant :
Coût de la matière première
Coût de la main d’œuvre
Objet A
30€
100€
Objet B
60€
75€
On note x le nombre d’objets A et y le nombre d’objets B fabriqués en une journée.
1) Ecrire une relation traduisant la contrainte : « la dépense journalière en matière première ne
doit pas dépasser 540€ ».
30x + 60y 540
2) Montrer que cette relation peut s’écrire : x + 2y 18
30x + 60y 540 peut s’écrire x + 2y 18 en divisant par 30.
3) Montrer que l’équation x + 2y = 18 peut s’écrire y = -0,5x + 9
x + 2y = 18
2y = 18 – x
Soit y = 9 – 0,5x
4) Dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité graphique 0,5cm, tracer la droite d’équation
y = -0,5x + 9.
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+B
+A
5) Résoudre graphiquement l’inéquation y -0,5x + 9 : hachurer la partie du plan qui n’est pas
solution de l’inéquation.
La région du plan qui n’est pas solution est hachurée en bleu.
6) La contrainte « la dépense journalière en main d’œuvre ne doit pas dépasser 1 275€ » revient à
résoudre l’inéquation : y
x + 17. Hachurer d’une couleur différente la partie du plan qui
n’est pas solution de cette inéquation.
La région du plan qui n’est pas solution est hachurée en rouge.
7) Les deux contraintes se ramènent au système :
En exploitant le graphique, répondre aux questions suivantes :
L’entreprise peut-elle fabriquer, en une journée :
a) 9 objets A et 4 objets B ?
Elle peut fabriquer 9 objets A et 4 objets B car le point A de coordonnées (9 ; 4) est
dans la zone non hachurée.
b) 7 objets A et 6 objets B ?
Elle ne peut pas fabriquer 7 objets A et 6 objets B car le point B de coordonnées
(7; 6) est dans la zone hachurée.
Justifier dans chaque cas la réponse en plaçant les points correspondants.
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EXERCICE 7
Pour pouvoir positionner un réservoir dans son emplacement, ses dimensions doivent respecter les
conditions suivantes :
 La largeur x du réservoir est inférieure ou égale à 60cm.
 La hauteur y du réservoir est inférieure ou égale à 60cm.
L’objectif est de fabriquer à partir d’une plaque de tôle un réservoir ayant la forme d’un
parallélépipède rectangle avec un volume maximal.
La base B de ce volume, est grisée sur le schéma ci-contre.
Les dimensions de ce réservoir sont :
 x : la largeur en cm,
 y : la hauteur en cm,
 Profondeur : 80cm.
1) La tôle dans laquelle le réservoir est découpé est de forme rectangulaire de largeur 120cm. Le
périmètre de la base B doit donc être inférieur ou égal à 120cm.
Traduire cette condition par une inégalité.
2y + 2x
2) Représenter dans un repère orthonormé, la droite D d’équation x + y=60.
3) Dans le repère, hachurer l’ensemble des points qui n’est pas solution vérifiant les inéquations
suivantes :
Voir graphique ci-dessus.
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4) Est-il possible de fabriquer les réservoirs R1, R2 et R3 avec les dimensions de base ci-dessous ?
a) R1 : largeur de 50cm et hauteur de 40cm.
Non car le point (50 ; 40) est dans la zone hachurée qui n’est pas solution.
b) R2 : largeur de 30cm et hauteur de 30cm.
Oui car le point (30 ; 30) est sur la droite x + y = 60 qui fait partie de la zone solution.
c) R3 : largeur de 20cm et hauteur de 35cm.
Oui car le point (20 ; 35) est dans la zone non hachurée qui est solution.
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