Devoir surveillé 7 La machine est interdite. La machine est interdite.

MPSI ☺
2013-2014
Devoir surveillé 7
La présentation ainsi que la rédaction seront prises en compte dans la notation de la copie.
Bien lire le sujet il y a des questions indépendantes.
Dans le cas d’utilisation d’abréviations merci de les définir en 1ère page.( pas plus de 5)
Je ne lis pas le crayon à papier, les résultats doivent être soulignés : +1 si cette consigne est
vérifiée et si votre copie est propre, -1 dans le cas contraire.
La machine est interdite.
Exercice : Algèbre linéaire et polynômes
ℝሾܺሿ →
ℝሾܺሿ
On note u :൜
ܲ ↦ ܺܲ(2) + ܲ(1)
a. Montrer que u est un endomorphisme
b. Déterminer le noyau de u.
c. Déterminer l’image de u.
d. Montrer que Ker(u) et Im(u) sont supplémentaires dans ℝሾXሿ
Exercice une famille de polynômes
Vous devez impérativement
impérativement suivre l’ordre des questions.
1. Soit n∈ℕ. Montrer qu’il existe un unique polynôme ܶ௡ à coefficients entiers tels que :
∀a∈ℝ, ܶ௡ (cos(ܽ)) = cos (݊ܽ)
2. Expliciter ܶ௡ pour n∈{0,1,2,3}
3. Montrer que ∀n∈ℕ, ܶ௡ାଶ = 2ܺܶ௡ାଵ − ܶ௡
4. Déterminer le degré, le coefficient dominant, la parité de ܶ௡ .
5. Calculer ܶ௡ (1) et ܶ௡ (0)
6. Factoriser ܶ௡ dans ℝ[X] lorsque n≥ 1
7. Calculer
௡ିଵ
2݇ + 1
ෑ ܿ‫ ݏ݋‬൬
ߨ൰
2݊
௞ୀ଴
8. Déterminer le PGCD de ܶ௡ ݁‫ܶ ݐ‬௡ାଵ
9. Soit n∈ℕ. Pour x∈]-1,1[, donner une expression simple de ܶ′௡ (x)
10. Soit n∈ℕ*.
a. Montrer que arccos(x)~௫→ଵ ඥ2(1 − ‫)ݔ‬
b. Calculer ܶ ᇱ ௡ (1)݁‫ ܶ ݐ‬ᇱ ௡ (−1)
11. Montrer que, pour tout n∈ℕ* on a la relation :
(1-X²)ܶ′′௡ -Xܶ′௡ +n²ܶ௡ =0
Exercice « algèbre linéaire »
Soit E un Kev (K désigne ℝ ou ℂ)
Soit f∈L(E). On dit que f est cyclique s’il existe p∈ℕ*-{1} et un vecteur a de E vérifiant les
conditions suivantes :
• ݂ ௣ (a)=a
• La famille des vecteurs (a,f(a)…., f ୮ିଵ (a)) engendre E.
• Les éléments a,f(a)…., f ୮ିଵ (a) sont deux à deux distincts
La famille (a,f(a)…., f ୮ିଵ (a)) est alors appelé un cycle de E et l’entier p est appelé ordre du cycle.
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A.Exemples.
1. Un exemple dans ℝଷ . Dans cet exemple E=ℝଷ et f désigne l’application de E dans E
définie par ∀(x,y,z)∈ ℝଷ f(x,y,z)=(x,x-z,y-z)
a. Montrer que f ∈ L(E).
b. On note ݁ଵ =(1,0,0). Déterminer f(݁ଵ ), f²(݁ଵ )
c. Montrer que f est cyclique
d. Montrer que ݂ ଷ=id. En déduire que f est bijectif et exprimer ݂ ିଵ.
e.
(i) Montrer que Ker(f-id) ⨁Ker(f²+f+id)=E
(ii) Déterminer Ker(f-id) et Ker(f²+f+id) (On donnera une famille génératrice
pour les deux)
2. Un autre exemple
E désigne le sev de F(ℝ,ℝ) engendré par les applications sin et cos.
Soit p ≥ 3 . On note, pour tout élément g de E, ߬௣ (g) l’application x ↦ g ቀ‫ ݔ‬+
a. Montrer que ߬௣ : g ⟼ ߬௣ (g) est un endomorphisme de E
ଶగ
ቁ
௣
b. Exprimer pour tout entier naturel k : ߬௣௞ (sin) (il s’agit de l’itérée kième de
߬௣ appliquée en sin)
Montrer que : ∀(k,l)∈ℕ² ߬௣௞ (sin) =߬௣௟ (sin) ⇒ k≡ l ሾpሿ
c. Etablir que cos appartient au sev vect( sin, ߬௣ (sin) )
En déduire que ∀k ≥ 2 on a E= vect(sin, ߬௣ (sin),…., ߬௣௞ (sin))
d. Montrer que ߬௣ est cyclique et préciser l’ordre.
B. Cas général.
On revient au cas général
Soit E un Kev et f un endomorphisme de E. Soit a un vecteur de E et p≥ 2 tels que
(a,f(a)…., f ୮ିଵ (a)) est un cycle de E.
1. a. Montrer que ∀k∈ℕ, ݂ ௣ ቀ݂ ௞ (ܽ)ቁ = ݂ ௞ (ܽ)
b. En déduire que ݂ ௣ = ݅݀ puis que f est bijectif
c. Montrer que l’ordre p associé à f est unique.
d. Justifier que Im(id+f+…+f ୮ିଵ )⊂ ker(f-id)
Montrer que Ker(f-id) et Ker(id+f+…+f ୮ିଵ ) sont supplémentaires dans E.
2. On note C(f) l’ensemble des endomorphismes g de E qui commutent avec f
C(f) ={ g∈ L(E) / gof=fog}
a. Montrer que C(f) est un sev de L(E).
b. Soit g∈C(f).
(i) Justifier que ∃(ߙ଴ , … . , ߙ௣ିଵ)∈‫ ܭ‬௣ tels que :
௣ିଵ
݃(ܽ) = ෍ ߙ௞ ݂ ௞ (ܽ)
௞ୀ଴
୮ିଵ
On note h lᇱ endomorphisme h = ෍ α୩ f ୩
୩ୀ଴
(ii) Montrer que g=h
c. En déduire C(f) en précisant notamment une famille génératrice.