Le cours de LM125

Notes de cours
L1 — LM 125
Sophie Chemla
10 septembre 2009

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Table des mati` eres
1 Matrices 7
1.1 Matrices : d´ efinitions, op´ erations.................... 7
1.1.1 D´ efinitions ........................... 7
1.1.2 Op´ erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Produitdematrices ........................... 11
1.3 Matrices carr´ ees, matrices carr´ ees inversibles . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Algorithme de Gauss sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Interpr´ etation matricielle de la m´ ethode de Gauss . . . . . . . . . . . 24
1.6 Matricessemblables........................... 26
1.6.1 D´ efinition et propri´ et´ es..................... 26
1.6.2 Application au calcul des puissances d’une matrice . . . . . . 27
2 Syst` emes lin´ eaires 29
2.1 D´ efinition ................................ 29
2.2 Notationmatricielle........................... 31
2.3 Syst` emes ´ echelonn´ es r´ eduits ...................... 33
2.4 R´ esolution des syst` emes par l’Algorithme de Gauss . . . . . . . . . . 35
3 Espaces vectoriels et applications lin´ eaires 41
3.1 Cours sur les espaces vectoriels (g´ en´ eralit´ es).............. 41
3.1.1 D´ efinition d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 Exemples............................ 44
3.1.3 R` egles de calcul, combinaisons lin´ eaires............ 47
3.2 Cours sur les espaces vectoriels (constructions) . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 Sous-espace engendr´ e par une partie finie-Intersection . . . . 52
3.2.3 Somme de sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Applications lin´ eaires.......................... 60
3.3.1 D´ efinition et premi` eres propri´ etes ............... 60
3.3.2 L’espace vectoriel L(E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3 Exemples d’endomorphismes : homoth´ etie, projection . . . . 64
3.3.4 Applications lin´ eaires et sous espaces vectoriels . . . . . . . . 66
4 Espaces vectoriels de type fini, bases 69
4.1 Espaces vectoriels de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1 Ensemble fini de g´ en´ erateurs d’un espace vectoriel . . . . . . 69
4.1.2 D´ ependance et ind´ ependance lin´ eaire ............. 71
4.1.3 Notion de bases dans un espace vectoriel de type fini . . . . . 75
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4TABLE DES MATI ` ERES
4.1.4 Dimension d’un espace vectoriel de type fini . . . . . . . . . 83
4.1.5 Propri´ et´ es d’un espace vectoriel de dimension n(n>0) . . . 85
4.1.6 Sous espaces vectoriels de type fini . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.7 Rang d’une famille finie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Applications lin´ eaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.1 Construction et caract´ erisation................. 93
4.2.2 Rang d’une application lin´ eaire ................ 95
4.2.3 Th´ eor` emedurang ....................... 95
4.2.4 Application lin´ eaire entre deux espaces de mˆ eme dimension . 97
5 Applications lin´ eaires et matrices 99
5.1 Matrice associ´ ee ` a une application lin´ eaire............... 99
5.1.1 Cas d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n 101
5.2 Propri´ et´ e relative ` a la structure d’espace vectoriel de L(E,F). . . . . 101
5.2.1 Matrices associ´ ees ` a la somme de deux applications lin´ eaires
et au produit d’une application lin´ eaire par un scalaire . . . . 101
5.3 Produit de matrices et composition d’applications lin´ eaires . . . . . . 103
5.4 Traduction matricielle de l’action d’une application lin´ eaire sur un vec-
teur ................................... 106
5.5 Formule de changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5.1 Matrice de passage d’une base ` a une autre . . . . . . . . . . . 108
5.5.2 Formule de changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.6 Rang d’une matrice et applications lin´ eaires .............. 110
6 D´ eterminants 111
6.1 Th´ eorie des d´ eterminants........................ 111
6.1.1 D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es ............... 111
6.1.2 D´ eterminants de matrices particuli` eres ............ 113
6.1.3 D´ emonstration du th´ eor` eme d’existence et d’unicit´ e . . . . . . 114
6.1.4 Propri´ et´ es du d´ eterminant ................... 116
6.1.5 Interpr´ etation g´ eom´ etrique des d´ eterminants . . . . . . . . . . 120
6.1.6 D´ eterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2 Applications des d´ eterminants ..................... 121
6.2.1 Expression de l’inverse d’une matrice ` a l’aide du d´ eterminant 121
6.2.2 Application des d´ eterminants ` a l’ind´ ependance lin´ eaire de vec-
teurs............................... 122
6.2.3 Application ` a la d´ etermination du rang d’une matrice . . . . . 124
7 Diagonalisation 127
7.1 Endomorphisme diagonalisable, valeur propre, vecteur propre . . . . 127
7.1.1 Caract´ erisation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.2 Fonction polynˆ ome caract´ eristique............... 129
7.1.3 Caract´ erisation des valeurs propres d’un endomorphisme ` a l’aide
du polynˆ ome caract´ eristique .................. 131
7.1.4 Sous-espace propre associ´ e` a une valeur propre . . . . . . . . 131
7.2 Versionmatricielle ........................... 131
7.2.1 Notion de matrice diagonalisable, de valeur propre d’une ma-
trice, de vecteur propre d’une matrice . . . . . . . . . . . . . 131
7.2.2 Relation entre endomorphisme diagonalisable et matrice dia-
gonalisable ........................... 133

TABLE DES MATI ` ERES 5
7.3 Propri´ et´ es des sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4 Application au calcul des puissances d’une matrice diagonalisable . . 137